Phương pháp giải toán Hình học 11 - Nguyễn Chí Thành

 M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
	a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
	b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.
	a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di động.
	b) E thuộc đoạn AM và EM = EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.
	a) Chứng minh: PQ // SA.
	b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC.
	c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) 	và của Qy với (SCD).
Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp: 
	· Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. 
	· Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến.
	Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của DSAB.
	a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
	b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC.
	a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD).
	b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
	HD:	b) (a+b).
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
	a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
	b) Tính diện tích thiết diện đó.
	HD:	b) 
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều. Ngoài ra SAD= 900. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC.
	a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB.
	b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện.
	HD:	b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích 
III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
	d // (P) Û d Ç (P) = Ỉ
2. Tính chất
	· Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d¢ nằm trong (P) thì d song song với (P).
	· Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.
	· Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
	· Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d¢ nào đó nằm trong (P).
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
	a) Gọi O, O¢ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO¢ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
	b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = AE, BN = BD. Chứng minh MN // (CDFE).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
	a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
	b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).
	c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G1G2 // (SBC).
Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của DABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).
	HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O¢ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:
	a) Điều kiện cần và đủ để OO¢ // (BCD) là 
	b) Điều kiện cần và đủ để OO¢ song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD) 
	là BC = BD và AC = AD.
	HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A¢ của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA¢ và Mx cắt (BCD) tại M¢. Chứng minh B, M¢, A¢ thẳng hàng và BM¢ = M¢A¢ = A¢N.
c) Chứng minh GA = 3GA¢.	
Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước.
Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA.
	a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).
	b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
	c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
	HD:	c) MN // BC
Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B= 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ^ OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
	a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
	b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.
	HD:	b) SMNPQ = . SMNPQ đạt lớn nhất khi x = 
Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC.
	a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC).
	b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
	a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD).
	b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C¢ là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C¢M và song song với BC.
	a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
	b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành.
	c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA.
	HD:	a) Đường thẳng qua C¢ và song song với BC.
	b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA.
	c) Hai nửa đường thẳng.
IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
	(P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Ỉ
2. Tính chất
	· Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
	· Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).
	· Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
	· Cho một điểm A Ï (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
	· Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
	· Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
	· Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
	· Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d¢ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A¢, B¢, C¢ sao cho:
	Khi đó, ba đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song 
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
	a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
	b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: .
	a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
	b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.
	HD:	a) IJ song song với mp qua AB và song song CD.
	b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
	a) CMR: (OMN) // (SBC).
	b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB).
	c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).
	HD:	c) Chú ý:	
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M¢, N¢.
	a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).
	b) Chứng minh: (DEF) // (MNN¢M¢).
	c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
	HD:	c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.
Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ .
	a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.
	b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. CMR các đường phân giác ngoài của các góc BAC, CAD, DAB đồng phẳng.
	HD:	Cùng nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (BCD).
Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp:
	· Tìm phương của giao tuyến bằng cách sử dụng định lí: Nếu 2 mặt phẳng song song bị cắt bởi 1 mặt phẳng thứ ba thì 2 giao tuyến song song.
	· Sử dụng định lí trên để xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi 1 mặt phẳng song song với 1 mặt phẳng cho trước.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC.
	a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).
	b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.
	HD:	a) Xét 2 trường hợp: I Ỵ OA, I Ỵ OC . Thiết diện là tam giác đều.
	b) 
Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN nằm trong (Q).
	a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q).
	b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC).
Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng tại A¢, B¢, C¢, D¢.
	a) Chứng minh (Ax,By) // (Cz,Dt).
	b) Chứng minh A¢B¢C¢D¢ là hình bình hành.
	c) Chứng minh: AA¢ + CC¢ = BB¢ + DD¢.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.
	a) Chứng minh (G1G2G3) // (BCD).
	b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G1G2G3). Tính diện tích thiết diện khi biết diện tích tam giác BCD là S.
	c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G1M luôn song song với mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M.
	HD:	b) 
Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢. Gọi H là trung điểm của A¢B¢.
	a) Chứng minh CB¢ // (AHC¢).
	b) Tìm giao điểm của AC¢ với (BCH).
	c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC¢ và song song với AH và CB¢. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.
	HD:	c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC¢, B¢C¢, A¢B¢, AB, AC theo các tỉ số 1, 1, 3, , 1.
Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢.
	a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA¢) và (B¢D¢C) song song.
	b) Chứng minh đường chéo AC¢ đi qua các trọng tâm G1, G2 của 2 tam giác BDA¢, B¢D¢C. Chứng minh G1, G2 chia đoạn AC¢ làm ba phần bằng nhau.
	c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(A¢B¢G2). Thiết diện là hình gì?
	HD:	c) Hình bình hành.
Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a. Trên AB, CC¢, C¢D¢, AA¢ lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = C¢N = C¢P = AQ = x (0 £ x £ a).
	a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố định.
	b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố định. 
	Tìm x để (MNPQ) // (A¢BC¢).
	c) Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.
	HD:	a) MP và NQ cắt nhau tại tâm O của hình lập phương.
	b) (MNPQ) đi qua trung điểm R, S của BC và A¢D¢. x = .
	c) Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O. 
	Chu vi nhỏ nhất: 3a;	chu vi lớn nhất: 2a(+ 1).
Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢.
	a) Tìm giao tuyến của (AB¢C¢) và (BA¢C¢).
	b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA¢ và BC. Tìm giao điểm của B¢C¢ với mặt phẳng (AA¢N) và giao điểm của MN với mp(AB¢C¢).
Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC¢), (BCA¢) và (CAB¢) có một điểm chung O ở trên đoạn GG¢ nối trọng tâm DABC và trọng tâm DA¢B¢C¢. Tính .	HD:	
BÀI TẬP ÔN 
Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết .
	a) Tính 2AC2 – AD2 theo a.
	b) (P) là 1 mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = BM (0 < x < a). Xác định x để diện tích ấy lớn nhất.
	c) Tìm x để tổng bình phương các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất.
	d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Tìm (P) để OA2 + OB2 + OC2 + OD2 nhỏ nhất.
	HD:	a) Gọi F là trung điểm của AD. 
	Xét CEF=60; CEF=120 Þ 2AC2 – AD2 = 6a2 hoặc –2a2.
	b) S = x(a – x)	c) x = 
	d) OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 4OG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2.
	O di động trên đoạn IJ nối trung điểm của AB và CE. Tổng nhỏ nhất khi O là hình chiếu của G lên IJ ( G là trọng tâm tứ diện ABCD).
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng (P) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q.
	a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là hình thang cân.
	b) Đặt AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra: .
	c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s = x + y.
	HD:	b) SDAMN = SAMI + SANI	c) .
Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt tại A¢, B¢, C¢.
	a) Tìm giao điểm D¢ của SD với (P).
	b) Tìm điều kiện của (P) để A¢B¢ // C¢D¢.
	c) Với điều kiện nào của (P) thì A¢B¢C¢D¢ là hình bình hành? CMR khi đó:
	d) Tính diện tích tứ giác A¢B¢C¢D¢.
	HD:	b) (P) // SE.	
	c) (P) // (SEF). Gọi G¢ = A¢C¢ÇB¢D¢. Chứng minh: 
	d) SA¢B¢C¢D¢ = .
Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cắt (P) tại A và B. Đường thẳng (D) thay đổi luôn song song với (P), cắt d1 tại M, d2 tại N. Đường thẳng qua N và song song d1 cắt (P) tại N¢.
	a) Tứ giác AMNN¢ là hình gì? Tìm tập hợp điểm N¢.
	b) Xác định vị trí của (D) để MN có độ dài nhỏ nhất.
	c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là đường thẳng cố định khi M di động.
	d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp B.AMNN¢ với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (BMN).
	HD:	a) Hình bình hành. Tập hợp các điểm N¢ là d3, giao tuyến của (P) với mặt 	phẳng qua d2 và song song với d1.
	b) MN nhỏ nhất khi AN¢ vuông góc d3 tại N¢.
	d) 
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di động trên AD và SC sao cho: (x > 0).
	a) CMR: MP luôn song song với một mặt phẳng cố định (P).
	b) Tìm giao điểm I của (SBD) với MP.
	c) Mặt phẳng qua M và song song với (P) cắt hình chóp SABCD theo một thiết diện và cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ song song với (SAD).
	d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích DSAB (k > 0 cho trước).
	HD:	a) Mặt phẳng (SAB).	c) Phương của SB; x = 1.
	d) x = (0 < k < 1).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = SB = SC = SD = a. Gọi M là một điểm trên đoạn AO. (P) là mặt phẳng qua M và song song với AD và SO. Đặt (0 < k < 1).
	a) Chứng minh thiết diện của hình chóp với (P) là hình thang cân.
	b) Tính các cạnh của thiết diện theo a và k.
	c) Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được 1 đường tròn. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện theo a.
	HD:	b) a; (1 – k)a; 	c) k=
Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn AB¢, AC¢, B¢C sao cho .
	a) Tìm x để (MNP) // (A¢BC¢). Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi mp(MNP), biết tam giác A¢BC¢ là tam giác đều cạnh a.
	b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.
	HD:	a) x = 	b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC¢ và AB.
Cho lăng trụ ABCD.A¢B¢C¢D¢, có đáy là hình thang với AD = CD = BC = a, AB = 2a Mặt phẳng (P) qua A cắt các cạnh BB¢, CC¢, DD¢ lần lượt tại M, N, P.
	a) Tứ giác AMNP là hình gì? So sánh AM và NP.
	b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi (P) di động.
	c) CMR: BM + 2DP = 2CN.
	HD:a) Hình thang. AM = 2NP. b) Đoạn thẳng song song với cạnh bên.
	c) DP = .
CHƯƠNG III: 
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán 
	· Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
	· Lưu ý:
	+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: 
	+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: 
	+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: 
	+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. 
	Ta có:	;	
	+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
	+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
	+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: 
	+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. Ta có:
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
	· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song vớ