Phương pháp giải toán Đại số 11 - Nguyễn Chí Thành

 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	ĐS: 	a) 	b) 	c) 	 d) x = 5, y = 2.
	e) x = 4, y = 8.	f) x = 7, y = 4 	
Tìm số tự nhiên k sao cho lập thành một cấp số cộng.
	ĐS: k = 4; 8.
Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học
Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
	ĐS: 	· Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:	
	· Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:	
	Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
	a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý.	b) Có 1 nam và 3 nữ.	c) Có 2 nam và 2 nữ.	
	d) Có ít nhất 1 nam.	e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 
Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?
	ĐS: 20 ; 10.
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
	ĐS: 1200.
Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được:
 	a) 4 viên bi cùng màu? 	b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
	ĐS: a) 20.	b) 150.
Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn?
	ĐS: 4651200.
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:
 	a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
 	b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
	ĐS: a) 112	b) 150.
Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 544320.	(HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số:
 	a) Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?
 	b) Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
	ĐS: a) 360.	b) 2448.	(ĐH Cần Thơ, 2001)
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1).
 	b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
	ĐS: a) 33600	b) 11340.	(ĐH QG, Tp.HCM, 2001)
Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy?
	ĐS: 1800.	(ĐH Sư phạm Vinh, 1998)
Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
 	a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?
 	b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?
	ĐS: a) 2974.	b) 15048.	(ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)
Một đồn tàu có 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
 	a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa.
 	b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.
	ĐS: a) 99.	b) 24.	(ĐH Luật Hà Nội, 1999)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá.
	ĐS: 3780.	(HVKT Quân sự, 2001)
Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học
Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
	ĐS: 	· Số giao điểm:	
	· Số tam giác:	
Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
	a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
	b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
	c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
	d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
Cho đa giác lồi có n cạnh (n ³ 4)
	a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
	b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
	ĐS: a) Û n = 5
	b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: 
Cho một đa giác lồi có n-cạnh .
 	a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?
 	b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
 	c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?
	ĐS: a) 	 b) 	 c) . 
Tìm số giao điểm tối đa của:
 	a) 10 đường thẳng phân biệt? 	b) 10 đường tròn phân biệt?
 	c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên?
	ĐS: a) 45.	b) 90.	c) 335.
Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2).
	ĐS: 5950.	(ĐH SP Quy Nhơn, 1997)
Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H.
 	a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H?
 	b) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H?
	ĐS: a) 1140; 20.	 	b) 320 ; 80.	(HVNH, 2000, khối D)
Có 10 điểm A, B, C, ... trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
 	a) Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua A hay B?
 	b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB?
	ĐS: a) 45; 28.	b) 120 ; 36 ; 8.
Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi:
 	a) Có bao nhiêu đường thẳng?	b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác?
	ĐS: a) .	b) .
Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi:
 	a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?	b) Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện?
	ĐS: a) b) 
Cho p điểm trong đó có q điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoài ra không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu:
 	a) Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm?
 	b) Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó?
	ĐS: a) b) 
V. Nhị thức Newton
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nÎN và với mọi cặp số a, b ta có:
2. Tính chất:
	1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
	2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
	3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = ( k =0, 1, 2, , n)
	4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 
	5) ,	
	* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
	(1+x)n = 	Þ	
	(x–1)n = 	Þ	
Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:	
	a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	k) 
	ĐS: 
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:	
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
	ĐS: a) 45	b) 495	c) –10	d) 15	e) –8064	f) 210
Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: . Xác định hệ số ak: 
	a) ?
	b) ?
	c) ?
	d) ?
	e) ?
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) a46 = 18654300
Trong khai triển , tìm số hạng chứa (k, m < n)
	ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa xk.
	Ta có: (x + y + z)n = 
	mà (y + z)n–k = 	
 	Þ số hạng chứa là: 
Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:	
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	a) Cho biết trong khai triển tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 11. Tìm hệ số của .
	b) 	Cho biết trong khai triển tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm hạng tử không chứa x.
	c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển là 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x4.
	d) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết rằng:
	.
	e) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết rằng:
	ĐS: a) 	b) n = 9 ; 84	c) n = 8; 	d) n = 10; 
	 e) n = 11; 
a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: 
	b) Tìm số mũ n của biểu thức . Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6?
	c) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển 
	d) Tìm số hạng chứa a7 trong khai triển 
	e) Tìm số hạng giữa của khai triển 
	f) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: .
	g) Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển 
	ĐS: a) 	b) n = 9 Þ T6 = 	 c) 
	d) 	e) 	f) 495.	g) 1820.
Trong khai triển của nhị thức: , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau?
	ĐS: Ta có: Tk+1 = = 	
	Þ Þ k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T10 = 
Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau:
 	a)	b) 
	ĐS: a) 	b) 
a) Tìm số hạng của khai triển là một số nguyên.
 	b)	Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển 
 	c)	Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển 
 	d)	Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển 
	ĐS: a) 	b) 
	c) 	d) 32 số hạng
a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển nếu 
	b) Trong khai triển theo lũy thừa tăng của x, cho biết : . Tìm n và x?
	c) Trong khai triển cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 44. Tìm n.
	ĐS: a) 	b) 	c) n = 11
Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp
Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ):
 	a) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
	b) 	HD: Sử dụng: , với x = 2
	c) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
	d) 	HD: Sử dụng: , với x = 2
	e) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
 	f) 	HD: Sử dụng: , với x = 3
	g) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ):
 	a) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
	b) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
 	c) 	HD: Sử dụng: , với x = 3
	d) 	HD: Sử dụng: , với x = 6
	d) 	HD: Sử dụng: , với x = 2
Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển ):
 	a)	 HD: , với x = 1
	b) 	 HD: , với x = 1
 	c)	 HD: , với x = 10
 	d)	 
	HD: , với x = 3
	e) 
	 HD: , với x = 2
Dùng đẳng thức , chứng minh rằng:
 	a)	
	(Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)).
 	b)	
 	c)	
Tính giá trị các biểu thức A, B bằng cách tính A + B, A – B:	
a) A = 	B = 
b) A = 	B = 
	HD:  a) Ta có : = . Thay x = 1 ta được A + B = 32n = 9n
	Mặt khác, = . Thay x = 1 ta được A – B = 1
	Từ đó suy ra: A = ,	B = 
	b) Khai triển , với x = 1 Þ A + B = 
	 Khai triển , với x = 1 Þ A – B = 1
	Þ 
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.
	ĐS: a = 210.	(HV hành chính QG, 2000)
Chứng minh:
 	a) 
	HD: a) Chú ý: 
	Þ S = 
Tính các tổng sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ):
 	a) 	 HD: Lấy đạo hàm: , với x = 1
	ĐS: 
Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ):
 	a)	HD: , với x = 1
	b) 	HD: , với x = 1
	c) 	HD: 
	d) 	HD: , với x = 1
Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng tích phân của khai triển ):
 	a) 	HD: 
	b) 	HD: 
	c) 	HD: 
	d) 	HD: 
	e) 	HD: 
	f) HD: 
Dạng 3: Toán chia hết
Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r
	nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r +  + nbqrn–1 + rn
	Do đó an và rn có cùng số dư khi chia cho b. Tức là: an º rn(mod b)
	Vậy nếu aº r (mod b) thì an º rn (mod b)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với "n Î Z+, ta có:
	a) 4n + 15n – 1 9	b) 16n – 15n – 1 225
	HD: a) Ta có 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 +  + 3n + 1 º 3n + 1 (mod 9)
	(vì 3k 9 , "k ³ 2)
	4n + 15n – 1 º 3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9)
	Vậy 4n + 15n – 1 9
	b) 16n = (1 + 15)n = 1 + n.15 + +  + n.15n–1 + 15n 
	º 1 + 15n (mod 152)
	Do đó: 16n – 15n – 1 º 1 + 15n – 15n – 1 º 0 (mod 225)
	Vậy 	16n – 15n – 1 225
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với "n Î Z+, ta có:	26n+1 + 36n+1 + 56n + 1 7
	HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + 1 = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + 1
	= 2.64n + 3.729n + 15625n + 1 
 	= 2[(7.9 + 1)n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + 7
	Do đó với mọi số tự nhiên p và q thì:
	(7p+1)q – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+  + (7p+1) + 1]
	nên biểu thức đã cho luôn chia hết cho 7.
B. XÁC SUẤT
I. Biến cố và xác suất
1. Biến cố 
	· Không gian mẫu W: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
	· Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A Ì W.
	· Biến cố không: Æ	· Biến cố chắc chắn: W
	· Biến cố đối của A: 
	· Hợp hai biến cố: A È B	· Giao hai biến cố: A Ç B (hoặc A.B)
	· Hai biến cố xung khắc: A Ç B = Æ
	· Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
	· Xác suất của biến cố: P(A) = 	
	· 0 £ P(A) £ 1;	P(W) = 1;	P(Æ) = 0
	· Qui tắc cộng: Nếu A Ç B = Æ thì P(A È B) = P(A) + P(B)
	Mở rộng: A, B bất kì: P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
	· P() = 1 – P(A)
	· Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố:
	a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.
	b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.
	c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.
	ĐS: a) n(W) = 36. n(A) = 5 Þ P(A) = 	b) 	c) 
Một lớp học có 25 học sinh, trong đó gồm có 15 em học khá môn Toán, 17 em học khá môn Văn.
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn.
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn.
	ĐS: a) n(AÇB) = n(A) + n(B) – n(AÈB) = 15 +17 – 25 = 7 Þ P(AÇB)=	 b) 
Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
ĐS: a) 	b) 
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.
ĐS: 
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
ĐS: 
Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng.
ĐS: 
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm.
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm.
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.
d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm.
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.
ĐS: a) 	b) 	c) 
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được:
ít nhất 2 bóng tốt	b) ít nhất 1 bóng tốt.
Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi.
Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.
Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đó khác phái.
Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để :
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi	b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi
c) Không có học sinh trung bình.
Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:
Số đó là số lẻ.
Số đó chia hết cho 5
Số đó chia hết cho 9.
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
	· X = {x1, x2, ,xn}
	· P(X=xk) = pk	p1 + p2 +  + pn = 1
2. Kì vọng (giá trị trung bình)
	· m = E(X) = 
3. Phương sai và độ lệch chuẩn
	· V(X) = = 	· s(X) = 
Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất để cả hai người cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94.
Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X:
X
1
2
3
P
0,3
0,5
0,2
	Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi đỏ lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Một cơ quan có 4 cổng ra vào.
	a) Hỏi một người khách có thể chọn bao nhiêu cách ra vào cơ quan đó?
	b) Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau (cổng vào khác cổng ra)?
	ĐS: 
Có 10 môn học buổi sáng và 7 môn học buổi chiều.
	a) Hỏi có mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 môn và buổi chiều chỉ học 1 môn?
	b) Hỏi có mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 môn và buổi chiều không học môn nào?
	ĐS: 
Một người có 6 cái áo, 5 cái quần và 3 đôi giày. Trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng, 2 quần đen, 2 đôi giày đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo – quần – giày, nếu:
	a) Chọn áo, quần, giày nào cũng được?
	b) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào, giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen?
	ĐS: 
Một nhóm học sinh gồm có 30 em giỏi Toán và 20 em giỏi Văn. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh sao cho có ít nhất 3 em giỏi Toán?
	ĐS: 
Một đồn cảnh sát có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 5 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
	ĐS: 
Trong số 107 số điện thoại 7 chữ số thì những số có 7 chữ số khác nhau chiếm tỉ lệ bao nhiêu?
	ĐS: 
Hội đồng quản trị của một công ty gồm 15 người. Từ hội đồng đó bầu cử ra một chủ tịch, một phó chủ tịch và 2 ủy viên kiểm tra) Hỏi có bao nhiêu cách?
	ĐS: 16380
Trong bình hoa có 10 bông hồng đỏ và 5 bông hồng trắng. Có bao nhiêu cách lấy ra từ bình hoa 4 bông hồng cùng màu?
	ĐS: 215
Một bộ sách gồm 30 tập. Hỏi có bao nhiêu cách sắp bộ sách đó lên kệ sách dài sao cho tập 1 và tập 2 không đứng kề nhau.
	ĐS: 30! – 2 . 29! = 28 . 29!
Hai nhân viên bưu điện cần phải chuyển 10 lá thư đến 10 địa chỉ. Hỏi họ có bao nhiêu cách phân công công việc đó?
	ĐS: 210
Cần phát 12 đề thi gồm 6 đề A và 6 đề B cho 12 học sinh, mỗi học sinh đều được 1 đề. Có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh ấy thành hai dãy mỗi dãy 6 học sinh sao cho các học sinh ngồi kề nhau thì không cùng đề với nhau còn các học sinh ngồi trước cùng đề với học sinh ngồi ngay phía sau.
	ĐS: 2 . 6! 6!
Có thể chia 12 quyển sách khác nhau cho 4 đứa trẻ theo bao nhiêu cách biết rằng:
a) Mỗi đứa trẻ được 3 quyển sách?
 	b) Hai đứa lớn nhất được 4 quyển sách mỗi đứa và hai đứa bé nhất được 2 quyển sách mỗi đứa?
 	ĐS: 	a) 369600; 	b) 207900.
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách:
a)	Vào 5 ghế thành 1 dãy
 	b)	Vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế nà