Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
A. Lời đầu
Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn .
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ 
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu thì ta có thể đặt hoặc 
Ví dụ 1 : 
Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :
)( ) = 0 
Kết hợp với điều kiện của t suy ra : 
Vậy phương trình có 1 nghiệm : 
Ví dụ 2 : 
Lời giải : ĐK : 
Khi đó VP > 0 .
Nếu 
Nếu .
Đặt , với ta có :
) ( ) = 0 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 3 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
phương trình đã cho trở thành :
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 4 (TC THTT): 
HD :
Nếu : phương trình không xác định .
Chú ý với ta có :
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với 
Đặt 
khi đó phương trình đã cho trở thành : 
2. Nếu thì ta có thể đặt : 
Ví dụ 5 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành :
kết hợp với điều kiện của t suy ra 
Vậy phương trình có 1 nghiệm : 
TQ : 
Ví dụ 6 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
phương trình đã cho trở thành :
(thỏa mãn)
TQ : 
với a,b là các hằng số cho trước :
3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : (1)
Lời giải : 
Do không là nghiệm của phương trình nên :
(1) (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
phương trình đã cho trở thành :
Kết hợp với điều kiện su ra : 
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
4. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận :
Ví dụ 9 : 
Lời giải : 
phương trình đã cho tương đương với : 
(1)
Đặt :
(1) trở thành :
Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp : 
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :
khi đó : 
Đặt . Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 10 : (1)
lời giải : ĐK : 
Đặt 
Lúc đó :
(1) 
Phương trình trở thành :
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được :
Do nên không thỏa điều kiện .
Với thì :
( thỏa mãn điều kiên 
Ví dụ 11 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
* Với , ta có :
(vô nghiệm vì : )
* Với , ta có :
Do không là nghiệm của phương trình nên : 
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
Ví dụ 12 : 
Lời giải :
Đặt . 
Phương trình đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc 
Giải ra được : .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 13 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
Giải ra : hoặc (loại)
* ta có :
Vậy là các nghiệm của phương trình đã cho .
ví dụ 14 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành :
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : (1)
Lời giải : ĐK : .
Đặt .
phương trình (1) trở thành :
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt để đưa về dạng : 
TQ : 
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 : (1)
Lời giải : ĐK : 
Viết lại (1) dưới dạng :
(2)
Đặt . 
Khi đó (2) trở thành :
:Leftrightarrow 
Do vậy hoặc 
*. Ta có :
* . Ta có :
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : 
Ví dụ 17 : 
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt (2) .
phương trình đã cho trở thành :
(3)
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
Ví dụ 18 : 
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt 
Khi đó : .
phương trình đã cho trở thành :
Vì nên :
t^2 + t - 1003 < 0
Do đó phương trình tương đương với :
Do vậy (thỏa (1)) 
2. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 9 : 
Lời giải : 
Đặt 
* 
*
Ví dụ 20 : (1)
Lời giải : ĐK : hoặc (*) 
Đặt ta có :
(1) trở thành :
(Do )
Tìm x ta giải :
(Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm : 
Ví dụ 21 : 
Lời giải : ĐK : 
Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới :
(2)
Đặt và 
Thì :
(2) 
* ta có :
* ta có : 
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 
Ví dụ 22 : 
lời giải : ĐK : 
Đặt :
:Rightarrow 
Từ phương trình ta được :
( Do )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 : 
Lời giải : 
Đặt ta có :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có :
Nên :
từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :
Ví dụ 24 : (1)
Lời giải : 
Đặt 
Suy ra : 
khi đó từ (1) ta có :
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình :
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 : 
Lời giải :ĐK : 
Đặt . Ta có :
\Leftrightarrow 
TQ : 
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND : 
* Cách giải :
Đặt : 
Như vậy ta có hệ :
Ví dụ 26 : (1)
Lời giải : ĐK :
Đặt 
Khi đó :
(1) 
(Do hệ : : vô nghiệm )
hoặc 
Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .
Ví dụ 27 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt :
Với : 
(*)
Như vậy ta được hệ :
Giải (1) :
(1)
()
Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .
Ví dụ 28 : 
Lời giải :
Đặt :
[tex]\Rightarrow 
(2) 
(1) 
2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 : 
CG : Đặt ta có hệ :
[COLORdarkslategray]Ví dụ 29 :[/color] 
Lời giải :
Đặt : ta có : 
(1) :Leftrightarrow 
(2): Vô nghiệm .
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
Dạng 2 : 
CG : ĐẶt 
PT :Leftrightarrow 
Ví dụ 30 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt : (1)
PT 
Lấy (3) trừ (2) ta được :
(1) 
(Do ) 
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 : 
Lời giải : ĐK : 
Đặt. 
Chọn a, b để hệ :
() (*)
là hệ đối xứng .
Lấy ta được hệ :
Giải hệ trên ta được : 
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : 
Dạng 4 :
Nội dung phương pháp : 
Cho phương trình : 
Với các hệ số thỏa mãn :
Cách giải : 
Đặt 
Ví dụ 32 : 
Lời giải : ĐK : 
PT :Leftrightarrow 
- Kiểm tra : 
Đặt : 
(1)
Mặt khác : (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ : 
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 : 
Lời giải : 
PT 
- Kiểm tra : 
Đặt : 
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
Ví dụ 34 : 
Lời giải : 
PT 
- Kiểm tra :
Đặt : 
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :