Phương pháp cơ bản tìm cực trị Đại số - Chương I: Cơ sở lý thuyết

và chỉ khi ay = bx
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
 + 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
 8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
 Cho tam thức bậc hai 
Khi đó:
Nếu thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, 
Nếu thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, , 
Nếu thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm.
Chương II: Phương pháp giải toán cực trị
Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó .Do đó đối với nhiều học sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết phương pháp giải và kinh nghiệm. Nó đòi hỏi người làm toán phải nhìn bài toán theo những góc độ khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống.
Sau đây, tác giả xin được đưa ra một số phương pháp giải toán cực trị được đúc rút từ kinh nghiệm giải toán :
1. Phương pháp dùng bất đẳng thức
2. Phương pháp xét biểu thức phụ 
3. Phương pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
4. Phương pháp chia khoảng để tìm cực trị
5. Phương pháp dùng tam thức bậc hai	
6. Phương pháp tham biến
7. Phương pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn
8. Phương pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện
I.Phương pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị
VD1:
Tìm GTNN của A = + 
Giải:
A = + 
 = + = 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3) 0
Lập bảng xét dấu:
x
1 – 2x
+
0
-
-
2x - 3
-
-
0
+
(1 – 2x)(2x – 3)
-
0
+
0
-
Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3) 0 x 
Vậy GTNN của A bằng 2 với x 
VD2:
Tìm GTNN của hàm số
f(x) = + + + + 
Giải:
Ta có: 
f(x) = ( + + + + ) + 3
 + 3
 = 15 + 3 15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz không đổi (với a2 + b2 + c2 0).Giá trị đó đạt được khi nào?
Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có:
( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2) (ax + by + cz)2.
Do đó
S = x2 + y2 + z2 .
S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi , hay nói cách khác Smin = .
Khi 	x= ; y = ; z = .
VD4:
Tìm GTLN của:
a) A = + biết x + y = 4
b) B = + 
Giải:
Điều kiện x 1, y 2
Ta có = 
 = 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Max B = 
VD5:
Tìm GTLN, GTNN của 
A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 5
Giải:
Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
A2 = 
 = (2 + 3) (2x2 + 3y2) 5.5 = 25
A2 = 25 
Do A2 25 nên -5 A 5
MinA = -5 
MaxA = 5 
VD6:
Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 .
Khi nào đạt giá trị đó?
Giải: Biểu thức có dạng:
Đối với hai số dương và x, ta có bất đẳng thức Cô-si:
Khi đó: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( đạt được khi 
VD7:
 Tìm giá trị lớn nhất của:
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) .
Giải:
a) Do , nên ta có:
Vậy f(x) lớn nhất là khi .
b) 
 *) Nêú 1 thì f(x)
 *) Nếu -1 < x < 1 thì 
Vậy f(x) lớn nhất là khi 
c) Ta có: suy ra 
 Vậy f(x) lớn nhất là khi 
d) f(x) = . Ta có: .
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là , khi .
VD8:
 Tìm giá trị dương nhỏ nhất của 
 .
Giải:
Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: 
Vậy f(x) dương bé nhất là khi 
VD9: 
Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 .
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:
Từ đó suy ra 
Suy ra 
Vậy bé nhất bằng , khi 
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
 trong đó 
Bài 2. Tìm GTNN của:
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
Bài 4. Tìm GTNN của:
A = x + y biết x , y là các số dương thoả mãn (a và b là hằng số dương)
Bài 5. Tìm GTLN của:
 biết rằng 
II.phương pháp xét biểu thức phụ
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A = 
Giải:
Điều kiện: 
Dễ thấy A 0
Ta xét biểu thức:
B = = 
Ta có: 
MinB = 
MaxA = 
MaxB = 2 
Khi đó minA = 
Nhận xét:
Trong ví dụ trên, để tìm cực trị của A, do A 0 nên ta có thể xét biểu thức phụ . Các biểu thức phụ thường xét có thể là -A, A2, .Trong ví dụ dưới đây, ta xét biểu thức phụ B sai khác với A một hằng số.
VD2:
Tìm GTNN của:
A = với 0 < x <1
Giải:
Để áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta xét biểu thức:
B = 
áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số dương và , ta có:
B 
B = 2
Giải (1):
2x2 = (1 – x)2 
Do 0 < x < 1 nên x = 1 – x 
Vậy minB = 2 
Bây giờ ta xét hiệu A- B
A – B = 
 = 2 + 1 =3
Do đó minA = 2 + 3 khi và chỉ khi x = - 1
VD3:
TìmGTLN, GTNN của:
Giải:
Xét 
Do 
Suy ra minA = với x = 
MaxA = 2 với x = 0
VD4:
Tìm GTNN của:
Giải:
TXĐ: (1)
Xét hiệu 
Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0
Xét 
Hiển nhiên nhưng dấu “ = ” không xảy ra ( vì A > 0 )
Ta biến đổi dưới dạng khác:
Do A > 0 nên minA = với x = 0
Bài tập đề nghị:
Bài 1. TìmGTLN, GTNN của:
Bài 2. TìmGTLN, GTNN của:
Bài 3. Tìm GTNN của:
III. Phương pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của 
A= (x4 + 1) (y4 + 1) biết x, y > 0, x + y = 
Giải:
A= (x4 + 1) (y4 + 1)
 = x4 + y4 + x4y4 + 1
Ta có x + y = 
 x2+ y2 = 10 – 2xy
 x4 + y4 + 2 x2y2 = 100 – 40xy + 4x2y2
 x4 + y4 = 100 – 40xy + 2x2y2
Đặt xy = t thì x4 + y4 = 100 – 40t + 2t2
Do đó A = 100 – 40t + 2t2 + t4 + 1
 = t4 + 2t2 – 40t + 101
a) Tìm GTNN
A = t4 – 8t2 + 16 + 10t2 – 40t + 40 +45
 = (t2 – 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 45
MinA = 45 t = 2 
Khi đó xy = 2 , x + y = nên x và y là nghiệm của phương trình
X2 - X + 2 =0 
Tức là x = , y = 
Hoặc x = , y = 
b) Tìm GTLN
Ta có (1)
Viết A dưới dạng:
A = t(t3 + 2t – 40 ) + 101
Do (1) nên t3 , 2t 5
 t3 + 2t – 40 + 5 – 40 < 0
t > 0 nên A 101
Max A = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0 , y= 
 hoặc x = , y = 0
VD2:
Tìm GTNN của: 
Giải:
Đặt 
Suy ra minA = 2 
VD3:
Tìm GTLN, GTNN của:
 A = biết 
Giải:
Đặt , ta có 
Do nên 
MaxA = 1 hoặc hoặc 
Ta có: 
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
 với 
Bài 2. Tìm GTNN của:
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
IV. phương pháp chia khoảng để tìm cực trị
VD1
Tìm GTLN của 
A = x2 (3 – x) với x 0
Giải:
a) Xét 0 x 3 
Viết A dưới dạng:
A = 4(3 – x)
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm , , 3 – x ta được:
Do đó A 4 (1)
b) Xét x > 3, khi đó A 0 (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận:
VD2:
Tìm GTNN của:
 biết 
Giải:
Với x < 2 thì (1)
Với xét 
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Suy ra minA = - 32 với x = 4
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của:
Bài 2. Tìm GTLN của:
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
 biết 
V. Phương pháp dùng tam thức bậc hai
1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN của:
A = x + 
Giải:
Điều kiện: x 2
Đặt = y 0 
Ta có y2 = 2 – x
A = 2 - y2 + y = - (y- )2 + 
MaxA = 
2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN, GTNN của
A = x2 + y2 
Biết rằng x2 (x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
Giải:
Từ (1) suy ra
(x2 + y2)2 – 4 (x2 + y2) + 3 = - x2 0
Do đó A2 – 4A + 3 0 (A – 1)(A – 3) 0 
 1 A 3
Min A = 1 x = 0, khi đó y = 1
MaxA = 3 x = 0, khi đó y = 
3. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của:
A = 
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm
a = (1)
Do x2 + x + 1 0 nên
(1) ax2 + ax + a = x2 – x – 1
 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
Trường hợp 1:
Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2:
Nếu a 1 thì điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm là 0, tức là:
 	 (a +1)2 – 4(a – 1)2 0 
 	 (a + 1 + 2a – 2) (a + 1 – 2a +2) 0
 	 (3a – 1) (a – 3) 0
 (a 1)
Với a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là :
Với a = thì x = 1 
Với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có:
MinA = khi và chỉ khi x = 1
MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
Nhận xét:
a) Phương pháp giải như trên còn gọi là phương pháp miền giá trị của hàm số. Đoạn là tập giá trị của hàm số A = 
b) Cách khác tìm GTLN của A:
A = 
MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
c) Cách khác tìm GTNN của A:
A = 
MinA = khi và chỉ khi x = 1
VD2:
Tìm GTLN và GTNN của:
A = 
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phươg trình sau đây có nghiệm
 a = (1)
Do x2 + 1 > 0 nên 
(1) x2(a – 2) – 4x + a – 5 = 0 (2)
Trường hợp 1:
Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = - 
Trường hợp 2:
Nếu a 2 thì phương trình (2) có nghiệm 
 = 4 – (a – 2)(a – 5) 0
Với a = 1 thì x = -2
Với a = 6 thì x = 
Kết hợp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có:
MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2
MaxA = 6 khi và chỉ khi x = 
VD3:
Tìm GTLN và GTNN của:
B = 2x2 + 4xy + 5y2 biết rằng x2 + y2 = a ( a là hằng số, a 1)
Giải:
Vì a 1 nên ta có: 
 = 
Trường hợp 1:
Nếu y = 0 thì = 2
Trường hợp 2:
Nếu y 0 ta đặt t = thì = 
Theo VD2 điều kiện để phương trình ẩn t trên có nghiệm là 
 nên ( vì a 1)
Từ đó suy ra
MaxB = 6a khi và chỉ khi 
Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị 
MinB = a khi và chỉ khi 
Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị 
VD4:
Tìm GTLN và GTNN của:
c = 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt z = thì z2 + y2 = 1 (1)
Ta cần tìm GTLN và GTNN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7
Điều kiện: 
Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1), ta được:
25z2 – 8dz + d2 – 9 = 0
Để phương trình này có nghiệm z thì 0 d2 25 d 5
Maxd = 5 Maxc = 6 và đạt được khi
 z = = (thoả mãn )
d = 
Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y. Thay vào (1) ta tính được z = 
(thoả mãn )
Lúc đó Mind = Minc = 
VD5:
Cho biểu thức A = 
Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng , GTLN bằng 3
Giải:
Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A. Ta có:
a = x2 + mx + n = ax2 + 2ax + 4a
 (a – 1)x2 + (2a – m) + (4a – n) = 0 (1)
Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN của A nên ta chỉ xét a 1. 
Điều kiện để (1) có nghiệm là:
 	 (2)
Nghiệm của bất phương trình (2) là a1 a a2
Trong đó a1, a2 là các nghiệm của phương trình:
 (3)
Theo đề bài, ta phải có 
Theo hệ thức Vi- et đối với phương trình (3) :
Thay n = 6 + m vào 4n – m2 = 12 ta được:
4n – m2 – 12 = 0 nên m = 6 hoặc m = -2
Với m = 6 thì n = 12, khi đó 
 có GTNN là và GTLN là 3
Với m = -2 thì n = 4, khi đó
 có GTNN là và GTLN là 3
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của:
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của:
Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của:
Bài 6. Tìm GTNN của:
Bài 7. Tìm GTNN của:
 với x > 0
VI. Phương pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức
Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x). Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực. Ta đưa thêm tham biến t để xét biểu thức . Nếu hoặc với mọi x thuộc tập xác định của Q(x) và tồn tại giá trị t0 để thì t0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x)
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
Q = 
Giải:
Xét f(x) = Q(x) - t
Vì với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = hay g(x) = (1)
Xét tam thức g(x) = 
 = với (*)
Nếu a = 0 thì g(x) = bx + c luôn cùng dấu khi b = 0 (g(x) = c) và khi 
 c = 0 (g(x) = 0)
Nếu a > 0 thì với mọi x khi và g(x) = 0 khi và chỉ khi 
Nếu a < 0 thì với mọi x khi và g(x) = 0 khi và chỉ khi 
áp dụng vào (1) ta có:
 khi t = -1 hoặc t = 9
Với t = -1 thì a = 1 – t = 2 > 0 nên g(x) 0 
Suy ra f(x) = 0 
Với t = 9 thì a = 1 – t = -8 < 0 nên 
Suy ra Q(x) có GTLN là 9 và xảy ra khi f(x) = 0 
 Như vậy phương pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một biểu thức Q(x), tức là xét một bất phương trình Q(x) t hoặc Q(x) t về việc xét một phương trình , nên có thể nói phương pháp tham biến là chiếc cầu nối giữa bất phương trình và phương trình.
 Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q(x) sang biểu thức hai biến Q(x,y) bằng phương pháp tham biến, lúc đó f(x,y) = Q(x,y) – t
Và xét tử thức của f(x,y) theo một biến nào đó sao cho tử thức luôn cùng dấu và tồn tại giá trị bằng 0
VD2:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
Q = Với ( x,y ) khác ( 0, 0 )
Giải:
Vì x2 + y2 luôn luôn dương trừ giá trị x = y = 0 nên dấu của f( x,y) chính là dấu của tử thức g(x,y) = 
Hay g(x,y) = (1)
Nếu t = 3 thì g(x,y) = 
Vì nên g(x,y) = 0 khi và chỉ khi y = 0, (x = 0 đã bị loại trừ)
Xét (1) theo biến y ta có:
 với mọi x khi t = -1 hoặc t = 4
Với t = -1 thì a = 3 – t = 4 > 0 nên 
Suy ra Q(x,y) có GTNN là -1 và xảy ra khi 
Với t = 4 thì a = 3 – t = -1 < 0 nên 
Suy ra 
ưu thế của phương pháp tham biến càng được thể hiện qua ví dụ sau:
VD3:
Tìm u, v để biểu thức Q = 
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Giải:
Đặt f(x) = Q(x) – t = 
Vì x2 + 1 > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) = 
 hay g(x) = 
Để GTLN của Q(x) là 4 và GTNN của Q(x) là -1 xảy ra đồng thời thì dựa 
vào (*) ta phải có:
Hay 
nghĩa là (u,v) = (4,3) hoặc (4,-3)
Bài tập đề nghị:
Bài 1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q sau đây:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Bài 2.Tìm m để biểu thức Q = chỉ nhận giá trị thuộc 
VII.phương pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn
Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sở lý thuyết đã được cung cấp ở chương I, tác giả xin đưa ra một số ví dụ minh hoạ
VD1: 
Tìm GTNN của biểu thức sau với x 
1) 
2) 
Giải:
1) 
Cách 1: Xét các khoảng giá trị của x
Với x 1
Với thì D = 1
Với x > 1997 thì D = 2x – 3993 > 1
Do đó minD = 1 xảy ra khi 
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức + 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
MinD = 1 xảy ra khi 
2) 
Điều kiện : 
Cách 1: 
Vì F < 0 nên xảy ra 
Vì nên = 0 
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
Cách 2: vì Do đó 
Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
VD2:
Tìm GTLN của biểu thức 
Giải:
 với điều kiện 
áp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có:
Do đó 
Vậy maxK = 
Xảy ra khi x = 2, y = 4, z = 6
VD3:
Tìm GTNN của biểu thức sau 
Giải:
 xác định khi -1 < x < 1 
Ta có 
Vậy minH = 4 khi x = 
VD4:
Tìm GTNN của biểu thức sau 
K = 
Giải:
Điều kiện : 
K = 
K = 
 = 
minK = 2 
Vì nên 
Vậy minK = 2 xảy ra khi 
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A = 
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức:
B = 
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức:
C = 
Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức:
VIII.phương pháp giải toán cực trị đại số với các biến có
 điều kiện
Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có một điều kiện ràng buộc, chẳng hạn như bài toán sau:
VD1: 
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dương thoả mãn điều kiện x + y = s, trong đó s là số dương cho trước
Giải:
Cách 1: áp dung trực tiếp bất đẳng thức Cô-si
Vậy GTLN (xy) = khi và chỉ khi 
Cách 2:
Đưa về xét cực trị của hàm một biến
Vậy GTLN (xy) = khi và chỉ khi 
Cách 3:
Sắp thứ tự giá trị các biến (theo điều kiện hoặc khi vai trò của chúng như nhau) và so sánh với giá trị không đổi xen giữa chúng.
Giả sử . Từ x + y = s ta có:
 nên 
Vậy GTLN (xy) = khi và chỉ khi 
Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một điều kiện nữa
VD2:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dương thoả mãn hai điều kiện 
x + y = s
y a
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Giải:
Nếu thì theo cách giải ở VD1 ta có GTLN (xy) = khi và chỉ khi a
Xét trường hợp a > 
Theo cách 2 ở VD1, đặt y = a + t với t 0
Từ đó 
 (vì )
Đẳng thức xảy ra khi t = 0, y = a và GTLN (xy) = a (s – a)
Theo cách 3 ta thấy nên
Đẳng thức xảy ra khi y = a và x = s – a 
Vậy GTLN (xy) = a (s – a)
VD3:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dương thoả mãn hai điều kiện 
(1) x + y +z = s
(2) z a
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Giải:
Nếu thì áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Lúc đó, GTLN(xyz) = 
Xét trường hợp 
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: (*)
Ta có: 
áp dụng cách giải 3, từ ta có 
 (**)
Từ (*),(**) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a và 
Lúc đó, GTLN(xyz) = 
VD4:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dương thoả mãn các điều kiện 
(1) x + y +z = s
(2) z a
(3) y b với b là số dương cho trước, 
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Giải:
Nếu thì giải như VD3
Xét trường hợp 
Lúc đó:
 x= s – (y + z) < s – (a + b) < a + 2b – (a + b) = b
áp dụng cách giải 3 với ta có
 (***)
Lại có 
Từ ta có 
Từ đó và (***) ta suy ra
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a, y = b, x = s – a – b 
Lúc đó: GTLN(xyz) = ab(s – a – b)
Như vậy, từ một bài toán cực trị đại số với các biến có một điều kiện ta đã đề xuất và giải các bài toán cực trị đại số với các biến bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện hơn
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của xy + yz + xz với x, y, z là các số dương thoả mãn các điều kiện 
(1) x + y +z = s
(2) z a
(3) y b với b là số dương cho trước, 
 trong đó s, a là những số dương cho trước và a < s
Bài 2. Tìm GTLN của tích xyzt với x, y, z, t là các số dương thoả mãn các điều kiện :
(1) x + y +z + t = s
(2) t a
(3) z b
(4) y c 
 trong đó s, a, b, c là những số dương cho trước và c < b < a < s
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức x + y thoả mãn điều kiện 
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức A = 
thoả mãn điều kiện x + y + z = 3
 chương III. Một số sai lầm khi giải toán cực trị
Một trong những phương pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng thức quen thuộc. Nhưng cũng chính phương pháp này lại dễ gây ra những sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.
Bài toán 1. Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dương 
Tìm GTLN của
S = 
Có bạn đã giải như sau:
 (1)
Nhân từng vế của (1) ta có:
 (2)
Từ đó S 
Nhận xét: Cách giải trên cho đáp số sai vì điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng không đạt được đồng thời. Cụ thể:
 đạt được khi và chỉ khi
Như vậy không tồn tại (x,y,z) để tại đó . Do đó không thể kết luận 
Lời giải đúng:
Với x,y,z , ta có:
S = 
Vậy 
Với mọi x,y,z thoả mãn 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Kết luận: đạt tại x = y = z = 
Nhắc lại định nghĩa maxf(x,y,) và minf(x,y,) 
1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,) hay maxf = M trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) M với M là hằng số
Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = M
 2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,) hay minf = m trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) m với m là hằng số
Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = m
Một số chú ý:
Nếu không chỉ ra được bộ giá trị (x0, y0 ,) để f(x0, y0 ,) = M thì không khẳng định được maxf = M, mặc dù có f(x,y,) M với mọi (x, y,) thuộc D. Khi đó ta phải tìm một cách giải khác
Bội giá trị (x0, y0 ,) để f(x0, y0 ,) = M thường được tìm bằng cách áp dụng điều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức đã dùng. Chẳng hạn:
 a) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:
 +) a + b 2 ( a 0, b 0)
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
 +) + 2 (ab 0) 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
 b) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
 (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2)
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
 c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
 + 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng mà không kết hợp điều kiện ràng buộc của bài toán thì dễ mắc sai lầm
Trong các định nghĩa trên thì M và m phải là các hằng số
Thật vậy, xét bài toán sau đây:
Bài toán 2. Cho x,y,z 0. Tìm GTLN của 
f(x,y,z) = 
Xét lời giải:
Với mọi x,y,z 0 ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Tức là x = y = z = 0. Khi đó vế phải của bất đẳng thức bằng 0. Suy ra 
Vậy khi x = y = z = 0 (!)
Nhận xét:
Cách giải trên mắc sai lầm ở chỗ là đã sử dụng mệnh đề sai sau đây "Nếu 
với mọi x, y, z thuộc D và = A
 thì với mọi x, y, z thuộc D "
Để bác bỏ mệnh đề trên, ta có thể xét phản ví dụ sau:
Bài toán 3. Cho . Tìm GTLN của f(x)
Xét lời giải:
 với mọi 
Dấu bằng xảy ra khi f(0) = g(0) = 0, từ đó suy ra với mọi 
Nhận xét:
Điều này sai vì với mọi 
Bài toán 4.
Giả sử hai số thực x, y thoả mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức
 A = 
Xét lời giải:
Ta có A = = 
Do x > y và xy = 1 nên
A = 
 (*)
Vậy A có GTNN khi 
 = 2 
Giải phương trình được x – y = 2, mà xy = 1 nên (x;y) là () và 
minA = 
Nhận xét: B