Phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc lên đường thẳng

PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ
PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẳNG
1.ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
1.1.Ví dụ mở đầu
	Trong mặt phẳng cho một đường thẳng cố định và một véc tơ sao cho không là véc tơ chỉ phương của .Với mỗi điểm M , ta xác định M’ như sau: vẽ d đi qua M nhận làm véc tơ chỉ phương và M’ = d . Khi đó M’ duy nhất. 
 1.2.Định nghĩa 1
	Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.
êĐiểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)
êĐiểm M’ trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M.
Ta còn nói phép biến hình biến M thành M’. Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết: F(M) = M’ hoặc M’ = F(M) hoặc F: M M’.
Ví dụ 1: Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo phương lên đường thẳng .Ta có thể kí hiệu là: (M) = M’.
M
M'
Ví dụ 2: Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu là véc tơ pháp tuyến của thì ta gọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đường thẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao). Kí hiệu là: 
*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.Ảnh của một hình qua một phép biến hình
	Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M’=F(M) với MH} gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H’.
1.4.Tích của hai phép biến hình 
*Định nghĩa 2
Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình F và G là phép biến hình H có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình G và F. Ký hiệu là: H = FG.
 Như vậy, theo định nghĩa:H(M) = FG(M) = F(G(M)). (Có thể mở rộng cho tích của một số phép biến hình). 
2.PHÉP CHIẾU THEO PHƯƠNG LÊN ĐƯỜNG THẲNG (PHÉP CHIẾU SONG SONG)
2.1.Định nghĩa 
	Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ không là véc tơ chỉ phương của đường thẳng . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:
 	(I)
gọi là phép chiếu theo phương lên đường thẳng . Kí hiệu là: . 
}KÝ HIỆU
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By + C = 0. Ký hiệu = (A; B) là véc tơ pháp tuyến của và = (B; -A) là véc tơ chỉ phương của .
-Với mỗi điểm M(xM ; yM), ta ký hiệu (M) = AxM + ByM + C là số thực khi thay tọa độ của M vào vế trái ; 
-Nếu M0(x0;y0) thì = Ax0 + By0 + C;
-Nếu M(x; y) bất kì thì (): =(M): = Ax + By + C .
îBài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x = x0 + at , y = y0 + bt và đường thẳng : Ax + By +C = 0. Hãy xác định tọa độ giao điểm d và biết rằng Aa +Bb 0.
 Giải: Đặt = (a;b) là véc tơ chỉ phương của d, tacó . = Aa +Bb 0. Ta cần xác định giá trị t0 thỏa mãn : A(x0 + at0) +B(y0 + bt0) + C = 0
(Aa +Bb)t0 + (Ax0 + By0 + C) = 0t0 = - = - .
Thay giá trị t0 vào phương trình d ta xác định được tọa độ giao điểm: 
	x’0 = x0 + at0 , y’0 = y0 + bt0.
2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phương 
Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau
*ĐỊNH LÍ 1
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 và = (a;b) sao cho . = Aa +Bb 0. Khi đó có biểu thức véc tơ là: (Ia)
trong đó k = - , () = Ax + By +C.
*Chú ý: Ta xác định = (A; B) theo phương trình của và giữ nguyên nó trong mệnh đề 1. Chẳng hạn : : 6x – 9y +2 = 0 thì ta lấy =(6; - 9) mà không lấy =(2; - 3). Muốn lấy =(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng : .
2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phương 
Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau
*HỆ QUẢ : Nếu biến M(x;y) thành M’(x’;y’) thì : (Ib)
trong đó k = - , () = Ax + By +C và = (a;b).
Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng có phương trình :
d: 2x + y - 1 = 0 và : 2x – y + 3 = 0.
Giải
Kí hiệu = =(1;-2) và =(2; - 1) ta có: . =4 0. Lấy M0(0;1) trên d 0 = 2.0 -1.1 +3 = 2. Khi đó k0 =- = - 
Vậy hay d = (-; 2).
Ví dụ 2
Tìm giao điểm của hai đường thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và : 4x+5y -6 = 0.
Giải
 Xét = =(3;-2) và =(4; 5) . =2 0. Lấy M0(1;-1) d0 = -7. Khi đó k0 = - = .Vậy hay d = (;-8).
3.PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẲNG
3.1.Định nghĩa 	
Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ pháp tuyến. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho: 	(II)
gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng . Kí hiệu là: .
*Lưu ý : ta thường sử dụng H thay cho M’ trong phép chiếu vuông góc. 
3.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu vuông góc
*ĐỊNH LÍ 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0. Khi đó biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi: = 	(IIa)
trong đó k = -, () = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai ý: cùng phương với (1), và H (2).Thật vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M nghĩa là (M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIa) HM.
- Nếu M.Khi đó từ (IIa) suy ra (1). Từ k = - k= - () (3). Nhân vô hướng hai vế của (IIa) với và so sánh với (3) ta có : . = - () 
A(xH- x) +B(yH- y) = - ( Ax + By +C) AxH + ByH +C=0 (2) đúng. 
*Chú ý : Trong định lí 1 chọn = ta có ngay định lí 2.
3.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu vuông góc
*HỆ QUẢ 1: Nếu biến M(x;y) thành H(xH;yH) thì : (IIb)
trong đó k = -, () = Ax + By +C.
(Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên).
Ví dụ 1: Cho điểm M(1;2) và : 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên .
Giải:	Tính giá trị k0 =- =- =-.
 biến M(x;y) thành H(xH;yH) H (-;).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9). Hãy xác định tọa độ chân đường cao AH của tam giác.
Giải: Phương trình đường thẳng BC: : 2x - 3y + 19 =0.
M0 A(0;1) suy ra k0 =-=- =- .
Suy ra tọa độ của H : H().
*Ý NGHĨA
Từ nay ta có thêm một phương pháp mới để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ưu điểm của phép chiếu theo phương là: Ta có thể chọn điểm M0(x0;y0) bất kì d sao cho việc tính toán = Ax0 + By0 + C là thuận tiện và dễ dàng nhất: Nếu . = Aa +Bb = 0 và 0 thì hai đường thẳng song song tức là hệ vô nghiệm ; Nếu . = Aa +Bb = 0 và = 0 thì hai đường thẳng trùng nhau, tức là hệ có vô số nghiệm.
*NHẬN XÉT
Từ phép chiếu theo phương lên đường thẳng , chúng ta có thể mở rộng nghiên cứu phép đối xứng trượt với trục đối xứng .
3.4.Các hệ quả khác
*HỆ QUẢ 2
 Hai điểm M1 và M2 cùng phía đối với đường thẳng :(M1).(M2) > 0.
*HỆ QUẢ 3
	Với mỗi điểm M(x; y) ta có : d(M, ) =MH = = .
*ĐỊNH LÍ 3
	Cho một tam giác mà ba cạnh có phương trình :
D1: A1x +B1y+C1=0; D2: A2x +B2y +C2=0; D3: A3x +B3y +C3=0. Gọi d1 là đường phân giác trong của góc đối diện cạnh 1. Khi đó
a)Nếu T1 = . < 0 thì phương trình d1 là : ;
b) Nếu T1 = . > 0 thì phương trình d1 là : .
îKÝ HIỆU: 
Với = (a1, a2) và = (b1, b2) ta ký hiệu T = = = a1b2- a2b1 là định thức cấp hai tạo bởi và .
}Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:
Cho D1: 3x + 4y – 6 = 0 ; D2: 4x +3y – 1 = 0 ; D3: y = 0 . Gọi A = D1 D2 ;
B = D2 D3 ; C = D3 D1. Hãy viết phương trình đường phân giác trong của góc A. 	(Đề 16 – Bộ đề thi tuyển sinh)
}Ta sẽ giải ví dụ 3 trước và chứng minh định lí 3 sau: 
Giải : Do A đối diện với D3 nên ta xét T3 = . = = 12 > 0. Do đó phương trình đường phân giác trong của góc A là 
d3: d3: x + y – 1 = 0.
(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phương trình d3 theo phương pháp cũ).
}Bây giờ ta chứng minh định lí 3
 Gọi A, B, C lần lượt là các đỉnh của tam giác đối diện với các cạnh D1, D2, D3 và d1 là đường phân giác trong của góc A.
- Phép chiếu theo phương lên D2 biến B thành A, ta có:
 nhân các vế lần lượt với A1, B1 cộng lại và cộng thêm C1, và do B thuộc D1 ta có: D1(A) = - = - (a)
- Tương tự (đối với C): D1(A) = - 	 (b)
- Với chú ý rằng thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có:
(D1(A))2 = - > 0 T1.D2(B)D3(C) < 0. 	 (c)
- Ta giả thiết M thuộc d1 và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng), khi đó: 	d(M, D2) = d(M, D3) 	 (d) 
đồng thời 
 hoặc D2(M)D3(M)D2(B)D3(C) > 0 (e)
- Nhân hai vế của (c) và (e) suy ra T1.(D2(M).D3(M)) < 0 	(f)
Cuối cùng tùy theo dấu của T1 mà từ (f) và (d) khẳng định của định lí 3. 
(Dựa vào định thức cấp ba và việc tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng , ta cũng có thể chứng minh được định lí 5)(Xem: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- Tạ Mân- Đào Tam- Lê Thống Nhất (1998), "CÁC BÀI GIẢNG LUYỆN THI MÔN TOÁN TẬP 3". NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC.).