Ôn thi Toán đại học, cao đẳng - Chuyên đề: Hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A
B
C
H
M
2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường
A
B
C
b
c
a
a) Định lí hàm số cosin
A
C
B
R
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC)
b
c
a
b) Định lí hàm số sin
c) Công thức tính diện tích của tam giác
A
B
C
b
c
a
 – nửa chu vi
 – bán kính đường tròn nội tiếp 
d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
A
B
C
N
K
M
.	 .
.
3/ Định lí Talet
(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
A
B
C
N
M
4/ Diện tích của đa giác
a/ Diện tích tam giác vuông
Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông.
A
C
B
b/ Diện tích tam giác đều
(cạnh)2
đều
Diện tích tam giác đều: 
(cạnh)
đều
Chiều cao tam giác đều: 
A
B
C
c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật
Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân .
Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.
A
B
C
D
O
A
B
H
C
D
d/ Diện tích hình thang
Diện tích hình thang: 
SHình Thang .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
A
B
D
C
e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác.
II. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Quan Hệ Song Song
a/ Chứng minh đường thẳng với 
Chứng minh: và 
Chứng minh: và 
b/ Chứng minh 
Chứng minh chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với .
Chứng minh và cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.
c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
Hai có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song thì .
.
2. Quan Hệ Vuông Góc
a/ Chứng minh đường thẳng 
Chứng minh vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong .
Chứng minh: 
Chứng minh: 
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3: 
b/ Chứng minh đường thẳng 
Chứng minh và .
Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
Chứng tỏ góc giữa và bằng.
c/ Chứng minh 
Chứng minh (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia)
Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng.
3/ Góc Và Khoảng Cách.
a/ Góc giữa hai đường thẳng
Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương
f
 với hai đường thẳng đó:
f
a
b/ Góc giữa đường thẳngvà mặt phẳng 
Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
(với là hình chiếu vuông góc của lên ).
a
b
f
c/ Góc giữa hai và 
Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến ,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng
M
e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.
M
f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
M
Là khoảng cách MH từ một điểm M trên đến 
chứa và song song với .
Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 
lần lượt chứa và .
4/ Hinh Chóp Đều
a/ Định nghĩa.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
b/ Hai hình chóp đều thường gặp
* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều. Khi đó:
Đáylà tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại.
Chiều cao: .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: .
Tính chất: .
Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.
* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều.
Đáylà hình vuông.
Các mặt bên là các tam giác cân tại.
Chiều cao: .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: .
5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp
a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chópcó cạnh bên thì chiều cao là.
b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chópcó mặt bên vuông góc với mặt đáythì chiều cao của hình chóp là chiều cao của.
c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chópcó hai mặt bên vàcùng vuông góc với mặt đáythì chiều cao là .
d/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy.
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềucó tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngthì có đường cao là.
6/ Thể Tích Khối Đa Diện
1/ Thể tích khối chóp: 
 Diện tích mặt đáy.
 Chiều cao của khối chóp.
C
D
S
O
2/ Thể tích khối lăng trụ: 
 Diện tích mặt đáy.
 Chiều cao của khối chóp.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên.
C’
B’
A’
C
B
A
C’
A’
B’
B
C
A
3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: 
Thể tích khối lập phương: 
S
A’
B’
C’
A
B
C
a
a
a
c
b
a
4/ Tỉ số thể tích: 
5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC
Với là diện tích hai đáy và chiều cao.
B. BÀI TẬP MẪU 
S
A
C
B
300
a
Thí dụ 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và vuông góc với.Tính thể tích khối chópvà khoảng cách 
Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp.
* Ta có: 
* Trong đó: 
* Tìm ?
Trongvuông tại, ta có: 
* Thayvào (đvtt) 
Tính khoảng cách từđến.
* Ta có: 
* Tìm ?
Ta có: vuông tại.
* Thếvào.
Thí dụ 2. Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật có. Haivà cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnhhợp với đáy một góc. Tính thể tích khối chóptheo.
Bài giải tham khảo
S
A
D
B
C
600
.
Hình chiếu củalênlà.
. 
Mà: .
Tìm
Trongvuông tại: .
Ta lại có: .
Thayvào (đvtt).
Thí dụ 3. Hình chópcó, đáylà tam giác vuông tạilà tam giác vuông cân tạivà nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọilà trung điểm cạnh.
a/ Chứng minh rằng, đường thẳng.
b/ Biếthợp vớimột góc. Tính thể tích khối chóp.
Bài giải tham khảo
S
A
B
C
I
K
600
2a
a/ CM: 
Dovuông cân tại cólà trung tuyếncũng đồng thời là đường cao.
Ta có: (đpcm)
b/ Tính thể tích khối chóp
Gọilà trung điểm của đoạn.
vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong .
Trongvuông tạicó là đường trung bình.
.
Mặt khác: .
Mà: 
Tìm
Trongvuông tại, ta có: .
Tìm ?
.
Thếvào
Thí dụ 4. Cho hình lăng trụcó đáylà tam giác đều cạnh bằng. Hình chiếu vuông góc của xuốnglà trung điểm của. Mặt bêntạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ này.
Bài giải tham khảo
A’
B’
C’
A
B
C
M
I
H
a
Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng .
Dođều nên:.
Tìm ?
Dolà đường trung bình trong đều , đồng thời là trung tuyến nên cũng là đường cao.
Do đó: và 
Mà: .
Trong vuông tại, ta có: .
Thayvào.
Thí dụ 5. Cho hình lăng trụ đứngcó đáylà tam giác vuông tại. Đường chéocủa mặt bên tạo với mặt phẳng một góc . Tính thể tích của khối lăng trụ theo .
Bài giải tham khảo
B’
 A
C
B’
A’
C’
a
600
30o
Ta có: . Do đólà hình chiếu vuông góc của lên . 
Từ đó, góc giữavà là .
Trong tam giác vuông: .
Trong tam giác vuông: .
Trong tam giác vuông : .
Vậy, thể tích lăng trụ là: (đvdt).
Thí dụ 6. Cho hình chóp đềucó cạnh đáy, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng. Tính thể tích của hình chóp. 
Bài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp
S
A
B
C
D
O
2a
M
600
Gọilà tâm của mặt đáy thì
nênlà đường cao của hình chóp và gọilà trung điểm đoạn.
Ta có: 
(góc giữa mặtvà mặt đáy)
Ta có: 
Tìm
Trongvuông tại, ta có: 
.
Mặt khác: .
Thếvào (đvtt).
C. BÀI TẬP
Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)
Cho hình chópcó đáy là tam giác vuông cân tại, góc giữa vàbằng. Gọilà trung điểm của cạnh. Tính thể tích khối chóp theo .
HD: Cm : , Kẻ, 
ĐS: 
Bài 2. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)
Cho hình chópđáy là hình vuôngcạnh, mặt bênlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọilần lượt là trung điểm của. Tính thể tích khối tứ diện.
S
H
A
D
C
B
M
N
P
K
HD: Gọilà trung điểm củathì
S
A
D
C
B
M
N
I
O
Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)
Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật vớivà vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọilần lượt là trung điểm củavàlà giao điểm của và. Tính thể tích khối tứ diện.
HD: Gọilà tâm của của đáy.
Trong, ta cólà đường trung bình nên:
Tìm 
A
B
C
D
M
I
Dolà trọng tâmnên
 vuông tại I
Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)
Cho lăng trụ tam giáccó , góc giữa đường thẳng và bằng , tam giácvuông tạivà góc . Hình chiếu vuông góc của điểm lên trùng với trọng tâm của. Tính thể tích của khối tứ diệntheo .
HD: 
Gọi là trung điểm của. Khi đó,là trọng tâm của.
A’
B’
C’
A
B
C
G
N
M
Do hình chiếu điểm lên lànên .
Ta có: .
Tìm ?
600
B
A
C
N
M
G
Trong vuông tạivà có nên nó là nữa tam giác đều cạnh là .
Tìm ?
Đặt. Trongvuông tạicónên nó cũng là nữa tam giác đều với đường cao là.
Dolà trọng tâm.
Trongvuông tại: 
Thếvào
Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách đều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD: 
Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC
HD:
Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b, . Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300. 
Chứng minh tam giác vuông tại A
Tính độ dài đoạn AC’
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC
HD: 
Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)
Cho hình lập phươngcó cạnh bằng 1. Gọilần lượt là trung điểm củavà . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngvà.
HD: PP tọa độ ĐS: 
Bài 9. Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông tại. Biết rằng: , góc giữa hai mặt phẳngvàbằng. Tính thể tích khối chóptheo.
ĐS: .
Bài 10. Cho hình chópcó đáylà tam giác vuông cân tại. Cho , . Tính thể tích của khối chóp .
ĐS: