Các dạng bài tập Hình học 12 – Học kì 2

HÌNH HỌC 12 – HK2 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM 
1 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 
PHẦN 1 - CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP 
DẠNG 1: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua điểm 𝑴 và song song với mp(𝜷) 
 𝛼 ∥ 𝛽 ⇒ 𝛼 :𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷′ = 0, thay tọa độ 𝑀 vào (𝛼) giải được 𝐷′ và kết luận 
DẠNG 2: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua 3 điểm 𝑨;𝑩;𝑪 
 Tính các vectơ 𝐴𝐵 ;𝐴𝐶 ⇒ VTPT 𝑛 𝛼 = 𝐴𝐵 ,𝐴𝐶 
 Viết phương trình (𝛼) qua 𝐴 hoặc 𝐵 hoặc 𝐶 có VTPT 𝑛 𝛼 
DẠNG 3: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua điểm 𝑴 và vuông góc đường thẳng ∆ 
 VTPT 𝑛 𝛼 = VTCP 𝑢 ∆ = 𝐴;𝐵;𝐶 
 Kết luận 𝛼 :𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 
DẠNG 4: Viết phương trình mp(𝛼) chứa đường thẳng 𝒅 và vuông góc mp(𝜷) 
 VTPT 𝑛 𝛼 = 𝑢 𝑑 , 𝑛 𝛽 = (𝐴;𝐵;𝐶) 
 Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼 
 Kết luận 𝛼 :𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 
DẠNG 5: Viết phương trình mp(𝛼) chứa đường thẳng 𝒅 và song song với 𝒅′ (𝒅;𝒅′𝐜𝐡é𝐨 𝐧𝐡𝐚𝐮) 
 VTPT 𝑛 𝛼 = 𝑢 𝑑 ,𝑢 𝑑 ′ = (𝐴;𝐵;𝐶) 
 Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼 
 Kết luận 𝛼 :𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 
DẠNG 6: Viết phương trình mp(𝛼) chứa đường thẳng 𝒅 và một điểm 𝑴 ∉ 𝒅 
 Lấy 𝐴 ∈ 𝑑, tính 𝐴𝑀 ⇒ VTPT 𝑛 𝛼 = 𝑢 𝑑 ,𝐴𝑀 = (𝐴;𝐵;𝐶) 
 Kết luận 𝛼 :𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 
DẠNG 7: Viết phương trình mp(𝛼) chứa hai đường thẳng 𝒅𝟏;𝒅𝟐 cắt nhau 
 VTPT 𝑛 𝛼 = 𝑢 𝑑1 ,𝑢 𝑑2 = (𝐴;𝐵;𝐶) 
 Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑1 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼 hoặc 𝑀 ∈ 𝑑2 ⇒ 𝑀 ∈ 𝛼 
 Kết luận 𝛼 :𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 
DẠNG 8: Viết phương trình mp(𝛼) chứa hai đường thẳng 𝒅𝟏 ∥ 𝒅𝟐 
 Lấy bất kỳ điểm 𝑀 ∈ 𝑑1;𝑁 ∈ 𝑑2 và tính 𝑀𝑁 ⇒ VTPT 𝑛 𝛼 = 𝑢 𝑑1 ,𝑀𝑁
 = (𝐴;𝐵;𝐶) 
 Kết luận 𝛼 :𝐴 𝑥 − 𝑥𝑀 + 𝐵 𝑦 − 𝑦𝑀 + 𝐶 𝑧 − 𝑧𝑀 = 0 
DẠNG 9: Viết phương trình mp(𝛼) tiếp xúc mặt cầu (𝑺) 
 Tìm tọa độ tâm 𝐼 và bán kính 𝑅 của mặt cầu (𝑆) 
 Nếu mp(𝛼) tiếp xúc mặt cầu (𝑆) tại 𝑀 ∈ (𝑆) thì mp(𝛼) đi qua 𝑀 và có VTPT 𝑛 𝛼 = 𝑀𝐼 
 Nếu 
 𝛼 ∥ 𝛽 
 𝛼 ∥ 𝑑1;𝑑2 (𝑑1 chéo 𝑑2)
 ⇒ 
𝑛 𝛼 = 𝑛 𝛽 = 𝐴;𝐵;𝐶 
𝑛 𝛼 = 𝑢 𝑑1 ,𝑢 𝑑2 = (𝐴;𝐵;𝐶)
 ⇒ 𝛼 :𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 rồi 
sau đó áp dụng điều kiện tiếp xúc 𝑑 𝐼; 𝛼 = 𝑅 để giải tìm 𝐷 
DẠNG 10: Viết phương trình mp(𝛼) đi qua hai điểm 𝑴;𝑵 và tạo với (𝜷) một góc 𝝋 
 Gọi 𝛼 :𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 (∗), thay tọa độ 𝑀,𝑁 vào (∗) sau đó biến đổi nó về phương trình 
chỉ chứa hai tham số 𝐴;𝐵 ⇒ VTPT của (𝛼) là 𝑛 𝛼 và VTPT của (𝛽) là 𝑛 𝛽 
 Áp dụng công thức cos𝜑 =
 𝑛 𝛼 .𝑛 𝛽 
 𝑛 𝛼 . 𝑛 𝛽 
 tìm 𝐴;𝐵 (khi gặp 1 phương trình chứa hai ẩn 𝐴;𝐵 thì ta 
thường chọn 𝐴 = 1 và giải tìm 𝐵), kết luận. 
ĐIỂM + VECTƠ PHÁP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG = 
𝑛 𝛼 
𝛼 
𝑢 𝑑2 
𝑑2 𝑑1 𝑢 𝑑1 M
. 
A 
B 
C 
𝑛 𝛼 
𝜶 
𝑛 𝛼 
𝜶 
𝑢 ∆ 
𝑀. 
𝑛 𝛼 
𝜶 
𝑢 𝑑 
𝑑 
𝜷 
𝑛 𝛽 
M 
𝑛 𝛼 
𝜶 
𝑢 𝑑 
𝑑 M 
𝑑′ 𝑢 𝑑 ′ 
𝑛 𝛼 
𝛼 
𝑢 𝑑 
𝑑 
M. 
A 
𝑛 𝛼 
𝜶 
𝑑2 
𝑑1 
𝑢 𝑑1 M 
N. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
HÌNH HỌC 12 – HK2 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM 
2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898 
PHẦN 2 - CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THƯỜNG GẶP 
DẠNG 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴 và thỏa mãn yêu cầu đơn giản. 
 Tìm VTCP theo yêu cầu đề bài, cần lưu ý các kiểu sau: 
① ∆ đi qua 𝐴;𝐵 ⇒ 𝑢 ∆ = 𝐴𝐵 ② ∆ ⊥ 𝑃 ⇒ 𝑢 ∆ = 𝑛 𝑃 ③ ∆ ∥ 𝑑 ⇒ 𝑢 ∆ = 𝑢 𝑑 
④ 
∆ ⊥ 𝑎
∆ ⊥ 𝑏
 ⇒ 𝑢 ∆ = 𝑢 𝑎 ,𝑢 𝑏 ⑤ 
∆ ⊥ 𝑎 
∆ ∥ (𝑃)
 ⇒ 𝑢 ∆ = 𝑢 𝑎 ,𝑛 𝑃 
 Viết phương trình ∆ qua 𝑀 và có VTCP 𝑢 ∆ dưới dạng PTTS hoặc PTCT 
DẠNG 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴, cắt và vuông góc 𝒅 
 Gọi 𝐴 ∈ 𝑑 (theo 𝑡), tính 𝐴𝑀 = VTCP 𝑢 ∆ 
 ∆ ⊥ 𝑑 ⇔ 𝐴𝑀 .𝑢 𝑑 = 0 ⇝ giải tìm 𝑡 ⇒ 𝐴𝑀 . 
 Viết phương trình ∆ ≡ 𝐴𝑀 
DẠNG 3: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴, cắt 𝒅′ và vuông góc 𝒅 
 Viết ptmp(𝑃) đi qua 𝑀 và vuông góc 𝑑 
 Tìm giao điểm 𝑁 = 𝑑′ ∩ 𝑃 . 
 Viết phương trình ∆ ≡ 𝑀𝑁 
DẠNG 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm 𝑴, cắt hai đường thẳng 𝒂;𝒃 
 Lấy bất kỳ điểm 𝐴 ∈ 𝑎;𝐵 ∈ 𝑏 (chọn luôn trên đề). Tính 𝐴𝑀 ;𝐵𝑀 
 Gọi (𝑃) chứa 𝐴𝑀; 𝑎 ⇒ 𝑛 𝑃 = 𝐴𝑀 ,𝑢 𝑎 và (𝑄) chứa 𝐴𝑀; 𝑏 ⇒ 𝑛 𝑄 = 𝐴𝑀 ,𝑢 𝑏 
 Gọi ∆ = 𝑃 ∩ 𝑄 ⇒ 𝑢 ∆ = 𝑛 𝑃 ,𝑛 𝑄 ⇝ Kết luận 
DẠNG 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc mp(𝑷), cắt hai đường thẳng 𝒂;𝒃 
 Gọi 
𝑎 ⊂ 𝛼 
 𝛼 ⊥ 𝑃 
 ⇒ 𝑛 𝛼 = 𝑛 𝑃 ,𝑢 𝑎 . Chọn 𝐴 ∈ 𝑎 ⇒ 𝐴 ∈ 𝛼 ⇝ viết ptmp 𝛼 
 Gọi 
𝑏 ⊂ 𝛽 
 𝛽 ⊥ (𝑃)
 ⇒ 𝑛 𝛽 = 𝑛 𝑃 ,𝑢 𝑏 . Chọn 𝐵 ∈ 𝑏 ⇒ 𝐵 ∈ 𝛽 ⇝ viết ptmp(𝛽) 
 Tìm giao điểm 𝑀 ∈ 𝛼 ∩ 𝛽 ⇝ Viết ∆ qua 𝑀 có VTCP 𝑛 𝑃 
DẠNG 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu của 𝒅 lên mp(𝑷) 
 Chọn bất kỳ hai điểm 𝐴;𝐵 ∈ 𝑑 ⇝ tìm hình chiếu 𝐴′ ;𝐵′ lên mp(𝑃) bằng cách viết đường thẳng đi 
qua 𝐴;𝐵 vuông góc với 𝑃 , sau đó tìm giao điểm 𝐴′ ;𝐵′ 
 Kết luận: ∆ ≡ 𝐴′𝐵′ 
DẠNG 7: Viết phương trình ∆ đi qua 𝑨 ∈ 𝑷 , ∆ ⊂ (𝑷) và vuông góc 𝒅. 
 Tính VTCP 𝑢 ∆ = 𝑢 𝑑 , 𝑛 𝑃 
 Kết luận 
DẠNG 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường 𝒂;𝒃 chéo 
nhau 
 Gọi 𝐴 ∈ 𝑎;𝐵 ∈ 𝑏 sao cho 𝐴𝐵 là đường vuông góc chung của 𝑎; 𝑏 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝑢 𝑎 ,𝑢 𝑏 
 Mặt khác, 𝐴 ∈ 𝑎;𝐵 ∈ 𝑏 có tọa độ theo 𝑡; 𝑡′ ⇒ 𝐴𝐵 có tọa độ theo 𝑡; 𝑡′ 
 Vì 𝐴𝐵
 ⊥ 𝑎
𝐴𝐵 ⊥ 𝑏
 ⇔ 
𝐴𝐵 .𝑢 𝑎 = 0
𝐴𝐵 .𝑢 𝑏 = 0
 ta giải được 𝑡; 𝑡′ ⇝tìm được tọa độ 𝐴;𝐵 
 Kết luận ∆ ≡ 𝐴𝐵 đi qua 𝐴 hoặc 𝐵 có VTCP 𝐴𝐵 = 𝑢 𝑎 ,𝑢 𝑏 
ĐIỂM + VECTƠ CHỈ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = 
𝑀 
𝐴 
𝑢 𝑑 
𝑢 ∆ 
.𝑀 𝑁. 
𝑢 𝑑 
∆ 
𝑃 
𝑃 𝑄 
𝑎 𝑏 
𝐴. 
.𝐵 
.𝑀 
𝑢 ∆ 
𝑢 𝑎 
𝑢 𝑏 
𝑛 𝑃 𝑛 𝑄 
𝛼 𝛽 
𝑎 𝑏 
𝑛 𝛼 𝑛 𝛽 𝑃 
𝑛 𝑃 
∆ 
𝑢 𝑎 
𝑢 𝑏 
.𝐴 
𝑢 𝑑 
∆ 
𝑃 
𝑛 𝑃 
𝑢 ∆ 
𝐴 
𝐵 
𝑢 𝑎 
𝑢 𝑏 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com