Ôn tập Tích phân

= e/ cot gxf(x)
1 sin x
=
+
f/ f(x) tg x .cot g x
3 6
p pỉ ư ỉ ư= + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 g/ 2f(x) (x 2)sin 2x= + 
ĐS: a/ 1 si n3x 1ln C;
48 sin3x 1
-
- +
+
 b/ I 2sinx 2sin3x sin5x C;= - + + 1K cos3x 2 cosx C;
3
= - + + 
 c/ 1 2 cos x 1ln C;
8 1 cos x cosx 1
ỉ ư-
+ +ç ÷- -è ø
 d/ x cot gx ln sin x C;- + + 
 e/ sin xln C;
1 sin x
+
+
 f/ 
cos x
1 3x ln C;
3 cos x
3
pỉ ư-ç ÷
è ø+ +
pỉ ư+ç ÷
è ø
 g/ 21 1 3x cos2x xsin 2x cos2x C.
2 2 4
- + - + 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 67 
Vấn đề 9: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ 
Để xác định nguyên hàm của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong 
các phương pháp cơ bản sau: 
 1. Phương pháp đổi biến. 
 2. Phương pháp tích phân từng phần. 
 3. Sử dụng các phép biến đổi. 
 Hai công thức thường sử dụng: 
 1. 2
2
xdx x a C
x a
= ± +
±
ị 
 2. 2
2
dx ln x x a C.
x a
= + ± +
±
ị 
1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 
Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ bằng phương pháp đổi biến 
Dạng 1: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b
cx d
+
+
 có dạng: 
 n axx bI R x, dx với ad bc 0.
cx d
ỉ ư+
= - ¹ç ÷
+è øị
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 
 Đặt: 
n
nn
n
ax b ax b b dtt t x
cx d cx d ct a
+ + -
= Þ = Û =
+ + -
· Bước 2: Bài toán được chuyển về: I S(t)dt.= ị 
Chú ý: Với hai dạng đặc biệt: a x a xI R x, dx hoặc I R x, dx
a x a x
ỉ ư ỉ ư+ -
= =ç ÷ ç ÷
- +è ø è øị ị
 chúng ta 
đã biết với phép đổi biến: x = acos2t. 
Trường hợp đặc biệt, với a xI dx
a x
+
=
-ị , ta có thể xác định bằng cách: 
Vì a x
a x
+
-
 có nghĩa khi 2a x a nên x a 0, do đó (a x) a x.- £ + = + 
Khi đó: 2 22 2 2 2
x x a x dx xdxI dx dx a
a x a xa x a x
+ +
= = = +
- -- -
ị ị ị ị 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 68 
Trong đó: 
2 2
dx
a b+
ị được xác định bằng phép đổi biến x = asint. 
 2 2
2 2
xdx a a x C.
a x
= - - +
-
ị 
Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: 
23 3
dxI
x 1[ x 1) 1]
=
+ + +
ị 
Giải: 
Đặt: 33t x 1 t x 1= + Þ = + . Suy ra: 
2
2
2 223 3
dx 3t dt 3tdt3t dt dx &
t(t 1) t 1x 1[ (x 1) 1]
= = =
+ ++ + +
Khi đó: 
2
2 23
2 2
3tdt 3 d(t )I ln(t 1) C ln[ (x 1) 1] C.
2t 1 t 1
= = = + + = + + +
+ +ị ị 
Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: dxI
2x 2x 1
=
+ị 
Giải: 
Đặt: 2t 2x 1 t 2x 1= + Þ = + . Suy ra: 2 2
dx tdt dt2tdt 2dx &
(t 1)t t 12x 2x 1
= = =
- -+
Khi đó: 2
dt 1 t 1 1 2x 1 1I ln C ln C.
2 t 1 2t 1 2x 1 1
- + -
= = + = +
+- + +ị 
Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: 
3 2 4
xdxI
x x
=
-
ị 
Giải: 
Ta nhận xét: 
21 1
3 2 432 4x x , x x và x x= = = , từ đó 12 là bội số chung nhỏ nhất của các 
mẫu số, do đó đặt x = t12 
Suy ra: 
17 14 4
11 9 4
8 3 5 53 2 4
xdx 12t dt 12t dt tdx 12t dt & 12 t t dt
t t t 1 t 1x x
ỉ ư
= = = = + +ç ÷- - -è ø-
Khi đó: 
4 10 5
9 4 5
5
t t t 1I 12 t t dt 12 ln | t 1 | C.
10 5 5t 1
ỉ ư ỉ ư
= + + = + + - +ç ÷ç ÷- è øè øị 
Dạng 2: Tính tích phân bất định dxI
(x a)(x b)
=
+ +ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta xét hai trường hợp: 
· Trường hợp 1: Với 
x a 0
x b 0
+ >ì
í + >ỵ
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 69 
 Đặt: t x a x b= + + + 
· Trường hợp 2: Với 
x a 0
x b 0
+ <ì
í + <ỵ
 Đặt: t (x a) (x b)= - + + - + 
Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: 
2
dxI
x 5x 6
=
- +
ị 
Giải: 
Biến đổi I về dạng: dxI
(x 2)(x 3)
=
- -ị 
Ta xét hai trường hợp: 
· Với 
x 2 0
x 3
x 3 0
- >ì
Û >í - >ỵ
. Đặt: t x 2 x 3= - + - 
 suy ra : 1 1 ( x 2 x 3)dx dx 2dtdt dx
t2 x 2 2 x 3 2 (x 2)(x 3) (x 2)(x 3)
- + -ỉ ư= + = Û =ç ÷- - - + - -è ø
 Khi đó: dtI 2 2 ln | t | C 2 ln | x 2 x 3 | C
t
= = + = - + + +ị 
· Với 
x 2 0
x 2
x 3 0
- <ì
Û <í - <ỵ
. Đặt: t x 2 3 x= - + - 
 suy ra : 1 1 [ 2 x 3 x]dx dx 2dtdt dx
t2 2 x 2 3 x 2 (x 2)(x 3) (x 2)(x 3)
- + -é ù= + = Û = -ê ú- - - - - -ë û
 Khi đó: dtI 2 2 ln | t | C 2 ln | 2 x 3 x | C
t
= - = - + = - - + - +ị 
Dạng 3: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 2a x- có dạng: 
2 2I R(x, a x )dx, với ad bc 0.= - - ¹ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 
 2 2
x | a | sin t với t
(hoặc có thể t x a x )2 2
x | a | cos t với 0 t
p pé = - £ £ê = + -
ê
= £ £ pë
· Bước 2: Bài toán được chuyển về: I S(sin t, cos t)dt.= ị 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 70 
Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: 
3
2
x dxI .
1 x
=
-
ị 
Giải: 
· Cách 1: Đặt: x sin t, t
2 2
p p
= - < < 
 Suy ra: 
3 3
3
2
x dx sin t.cosdt 1dx cos tdt & sin tdt (3sin t sin3t)dt
cos t 41 x
= = = = -
-
 Khi đó: 1 3 1I (3sin t sin3t)dt tgt C cos t cos3t C
4 4 12
= - = + = - + +ị 
 3 3 23 1 1 1cost (4cos t 3cosxt) C cos t cost C cos t 1 cost C
4 12 3 3
ỉ ư= - + - + = - + = - +ç ÷
è ø
 2 2 2 2 21 1 1(1 sin t) 1 C (1 x ) 1 1 x C (x 2) 1 x C
3 3 3
é ù é ù= - - + = - - - + = - + - +ê ú ê úë û ë û
Chú ý: Trong cách giải trên sở dĩ ta có: 
2
2 2
cos t cos t
t cos t 0
2 2 cos t 1 sin t 1 x
ì =p p ï- Þ í
ï = - = -ỵ
· Cách 2: Đặt 2 2 2t 1 x x 1 t= - Þ = - 
 Suy ra: 
3 2 2 2
2
2 2 2
x dx x .xdx x .xdx (1 t )( tdt)2xdx 2tdt & (t 1)dt
t1 x 1 x 1 x
- -
= = = = = -
- - -
 Khi đó: 2 3 2 2 21 1 1I (t 1)dt t t C (t 3)t C (x 2) 1 x C
3 3 3
= - = - + = - + = - + - +ị 
Dạng 4: Xác định nguyên hàm các hàm số hữu tỉ đối với x và 2 2a x+ có dạng: 
2 2I R(x, a x )dx,với ad bc 0.= + - ¹ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 
 2 2
x | a | tgt với t
(hoặc có thể t x a x )2 2
x | a | cot gt với 0 t
p pé = - < <ê = + +
ê
= < < pë
· Bước 2: Bài toán được chuyển về: I S(sin t, cos t)dt.= ị 
Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: 2I 1 x dx.= +ị 
Giải: 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 71 
· Cách 1: Đặt: x tgt, t .
2 2
p p
= - < < Suy ra: 22 3
dt dtdx & 1 x dx .
cos t cos t
= + = 
 Khi đó: 3 4 2 2
dt cos tdt cos tdtI
cos t cos t (1 sin t)
= = =
-ị ị ị 
 Đặt: u = sint. Suy ra: 2 2 2 2
cos tdt dudu cos tdt &
(1 sin t) (u 1) (u 1)
= =
- + -
 Khi đó: 2 2
du 1 u 1 2uI ln C
4 u 1 (u 1)(u 1)(u 1) (u 1)
é ù+
= = - +ê ú- + -+ - ë û
ị 
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
1 sin t 1 2sin tln C
4 sin t 1 (sin t 1)(sin t 1)
x x1 2
1 1 x 1 xln Cx x x4 1 1 1
1 x 1 x 1 x
1 x 1 xln 2x 1 x C
4 x 1 x
1 1(2 ln | x 1 x | 2x 1 x ) C (ln | x 1 x | x 1 x ) C.
4 2
é ù+
= - +ê ú- + -ë û
é ù
+ê ú
+ +ê ú= - +
ỉ ưỉ ưê ú- + -ç ÷ç ÷ê ú+ + +è øè øë û
ỉ ư+ +ç ÷= + + +ç ÷- +è ø
= + + + + + = + + + + +
· Cách 2: Đặt: 
2
2 2 2 2 t 1t x 1 x t x 1 x (t x) 1 x x
2t
-
= + + Þ - = + Þ - = + Þ = 
2 2
2 t 1 t 11 x t
2t 2t
- +
Þ + = - = 
 Suy ra: 
2 2 2
2 2 22
x x 1 x 2t t 1dt 1 dx dx dx dx dt
1 x t 1 2t1 x
+ + +ỉ ư= + = = Û =ç ÷ + ++è ø
2 2 2 2
2
2 3 3
t 1 t 1 1 (t 1) 1 2 11 x dx . dt dt t dt
2t 4 4 t2t t t
+ + + ỉ ư+ = = = + +ç ÷
è ø
 Khi đó: 23 2
1 2 1 1 1 1I t dt t 2 ln | t | C
4 t 4 2t 2t
ỉ ư ỉ ư= + + = + - +ç ÷ ç ÷
è ø è øị 
2 2 2
2
2 2
1 1 1t 4 ln | t | C 4x 1 x 4 ln x 1 x C
8 8t
1 (ln x 1 x x 1 x ) C.
2
é ùỉ ư é ù= - + + = + + + + +ë ûç ÷ê úè øë û
= + + + + +
· Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 
 Đặt : 
2
2
xdxduu x 1
x 1
dv dx v x
ìì =ï ï= + Þ +í í
=ï ïỵ =ỵ
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 72 
 Khi đó: 
2
2
2
x dxI x x 1
x 1
= + -
+
ị 
 Với 
2 2
2
2 2 2
x dx [(x 1) 1]dx dxJ x 1dx
x 1 x 1 x 1
+ -
= = = + -
+ + +
ị ị ị ị 
 2I ln x x 1 C (2)= - + + + 
 Thay (2) vào (1) ta được: 
 2 2 2 2I x x 1 (I aln) x x 1 C 2I x x 1 ln x x 1 C= + - - + + + Û = + + + + + 
 2 2x 1I x 1 ln x x 1 C.
2 2
Û = + + + + + 
Chú ý: 
1. Trong cách giải thứ nhất sở dĩ ta có: 
 2
2
1 x1 x cos t và sin t
cos t 1 x
+ = =
+
 là bởi: 
2
2
cos t cos t
t cos t 0 x2 2 sin t tgt.cos t
1 x
ì =
p p ï
- Þ í
= =ï
+ỵ
2. Cả ba phương pháp trên (tốt nhất là phương pháp 2) được áp dụng để giải bài toán 
tổng quát: 
 2 2 2 2
2
a x dxx adx ln x x a x a C; ln x x a C.
2 2 x a
+ = + + + + + = + + +
+
ị ị 
3. Với tích phân bất định sau tốt nhất là sử dụng phương pháp 1: 
2 2 2k 1
dx , với k Z.
(a x ) +
Ỵ
+
ị 
4. Với tích phân bất định: (x a)(x b)dx+ +ị ta có thể thực hiện như sau: 
 Đặt: 
2a b (b a)t x & A
2 4
+ -
= + = - 
 suy ra: 2dt dx & (x a)(x b)dx t Adt= + + = + 
 Khi đó: 2 2 2A tI t Adt ln t t A t A C
2 2
= + = + + + + +ị 
2(b a) a b 2x a bln x (x a)(x b) (x a)(x b) C.
8 2 4
- + + +
= + + + - + + + + 
Dạng 5: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 2x a- có dạng: 
2 2I R(x, x a )dx,với ad bc 0.= - - ¹ị 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 73 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 
 2 2
| a |x với t ; \ {0}
sin t 2 2 (hoặc có thể t x a )
| a |x với t [0; ] \ { }.
cos t 2
é p pé ù= Ỵ -ê ê úë û = -ê
pê = Ỵ pêë
· Bước 2: Bài toán được chuyển về: I S(sin t, cos t)dt.= ị 
Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: 
2 2
xdxI
2x 1 3 x 1
=
- + -
ị 
Giải: 
· Cách 1: Đặt: 2 2 2t x 1 t x 1= - Þ = - 
 Suy ra: 22 2 2 2
xdx xdx tdt2tdt 2xdx &
2t 3t 12x 1 3 x 1 2(x 1) 3( x 1 1
= = =
+ +- + - - + - +
 Khi đó: 2
tdtI
2t 3t 1
=
+ +ị 
 Ta có: 2
t t a b (a 2b)t a b
(2t 1)(t 1) 2t 1 t 1 (2t 1)(t 1)2t 3t 1
+ + +
= = + =
+ + + + + ++ +
 Đồng nhất đẳng thức, ta được: 
a 2b 1 a 1
a b 0 b 1
+ = = -ì ì
Ûí í+ = =ỵ ỵ
 Khi đó: 2
t 1 1 .
2t 1 t 12t 3t 1
= - +
+ ++ +
 Do dó: 
21 1 1 1 (t 1)I dt ln | 2t 1 | ln | t 1 | C ln C
2t 1) t 1 2 2 | 2t 1 |
+ỉ ư= - + = - + + + + = +ç ÷+ + +è ø
ị 
2 2
2
1 ( x 1 1)ln
2 2 x 1 1
- +
=
- +
· Cách 2: Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trường hợp: 
– Với x > 1: 
 Đặt: 1x , t [0; )
cos t 2
p
= Ỵ . Suy ra: 2
sin tdtdx ,
cos t
= 
2 22
2 22 2
2
1 sin t. dtxdx (1 tg t)tgt.dt (1 tg t)tgt.dtcos t cos t
2 2(1 tg t) 1 3tgt 2tg t 3tgt 12x 1 3 x 1 1 3tgt
cos t
+ +
= = =
+ - + + +- + - - +
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 74 
 Khi đó: 
2
2
(1 tg t)tgt.dtI .
2tg t 3tgt 1
+
=
+ +ị 
 Đặt: u = tgt. Suy ra: 
2
2
2 2 2
dt (1 tg t)tgt.dt u.dudu (1 tg t)dt &
cos t 2tg t 3tgt 1 2u 3u 1
+
= = + =
+ + + +
 Khi đó: 
21 1 1 1 (u 1)I dt ln 2u 1 ln u 1 C ln C
2u 1 u 1 2 2 | 2u 1 |
+ỉ ư= - + = - + + + + = +ç ÷+ + +è øị 
2 2 2
2
1 (tgt 1) 1 ( x 1 1)ln C ln C.
2 2tgt 1 2 2 x 1 1
+ - +
= + = +
+ - +
– Với x < –1 (tự làm) 
Dạng 6: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2ax bx c+ + có dạng: 
2I R(x, ax bx c)dx, với ad bc 0= + + - ¹ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: 
· Cách 1: Đưa I về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết. 
 Ta xét các trường hợp sau: 
 Ÿ Trường hợp 1: Nếu a > 0 và D < 0. 
 – Bước 1: Ta có: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +ỉ ư+ + = - +ê úç ÷-Dè øë û
 – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2ax bt +=
-D
 – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2I S(t, 1 t )dt= +ị 
 Ÿ Trường hợp 2: Nếu a 0. 
 – Bước 1: Ta có: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +ỉ ư+ + = - -ê úç ÷Dè øë û
 – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2ax bt +=
D
 – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2I S(t, 1 t )dt= -ị 
 Ÿ Trường hợp 3: Nếu a > 0 và D > 0. 
 – Bước 1: Ta có: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +ỉ ư+ + = -ê úç ÷Dè øë û
 – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2ax bt +=
D
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 75 
 – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2I S(t, t 1)dt= -ị 
· Cách 2: Sử dụng phép thế Euler: 
 Ta xét các trường hợp sau: 
 1. Nếu a > 0, đặt 2ax bx c t x a hoặc t x a.+ + = - + 
 2. Nếu c > 0, đặt 2ax bx c tx c hoặc tx c.+ + = + - 
 3. Nếu tam thức 2ax bx c+ + có biệt số D > 0 thì 
 2 1 2ax bx c a(x x )(x x ).+ + = - - Khi đó đặt: 
2
1ax bx c t(x x ).+ + = - 
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: 2I x 2x 2dx.= + +ị 
Giải: 
· Cách 1: Sử dụng phép đổi biến: t x 1 dt dx.= + Þ = 
 Khi đó: 2I t 1dt.= +ị 
 Tích phân trên chúng ta đã biết cách xác định trong ví dụ 6. 
· Cách 2: Sử dụng phép đổi biến: 
2 2
2 2 2
2
t 2 (t 2t 2)dtx 2x 2 t x x 2x 2 (t x) x dx
2(t 1) 2(t 1)
- + +
+ + = - Þ + + = - Û = Þ =
+ +
 Khi đó: 
2 2 4
2
2 3
t 2 (t 2t 2)dt 1 (t 4)dtI x 2x 2dx t . .
2(t 1) 42(t 1) (t 1)
é ù- + + +
= + + = - =ê ú+ + +ë û
ị ị ị 
 Sử dụng đồng nhất thức: 
 4 4 4 3 2t 4 [(t 1) 1] 4 (t 1) 4(t 1) 6(t 1) 4(t 1) 5.+ = + - + = + - + + + - + + 
 Do đó: 
2
2
1 6 4 1 t 4I [t 1 4 ]dt [ 3t 6 ln | t 1 | ] C
4 t 1 4 2 t 1(t 1)
= + - + - = - + + + +
+ ++ị 
2 2
2
2
2
1 ( x 2x 2 x)[ 3( x 2x 2 x)
4 2
46 ln x 2x 2 x 1 ] C.
x 2x 2 x 1
+ + +
= - + + + +
+ + + + + + +
+ + + +
Dạng 7: Tính tích phân bất định 
2
dxI
( x ) ax bx c
=
l + m + +
ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
– Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 1t
x
=
l + m
– Bước 2: Bài toán được chuyển về: 
2
dtI
t t
=
a + b + g
ị 
Chú ý: Phương pháp trên có thể được áp dụng cho dạng tổng quát hơn là: 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 76 
n 2
(Ax B)dxI
( x ) ax bx c
+
=
l + m + +
ị 
Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: 
2
dxI
(x 1) x 2x 2
=
+ + +
ị 
Giải: 
Đặt: 1 1t x 1
x 1 t
= Þ = -
+
suy ra: 2
1dx dt,
t
= -
22
2
2 2 2
dt1 khi t 0t( )dtdx dt 1 tt
dt1 1(x 1) x 2x 2 khi t 01 t. 1
t t 1 t
ì- >ï- +ï= = - = í
+ + + ï <+ +
ï +ỵ
Khi đó: 
Ÿ Với t > 0, ta được: 
 2 22
dt 1 1I ln t 1 t C ln 1 C
x 1 (x 1)1 t
= - = - + + + = - + + +
+ ++
ị 
2 2
2
1 x 2x 2 x 1 1 x 2x 2ln C ln C ln C.
x 1 x 11 x 2x 2
+ + + + - + +
= - + = + = +
+ ++ + +
Ÿ Với t < 0, ta được: 
 2 22
dt 1 1I ln t 1 t C ln 1 C
x 1 (x 1)1 t
= = + + + = + + +
+ ++
ị
21 x 2x 2ln C.
x 1
- + +
= +
+
Tóm lại với t 0 x 1¹ Û ¹ - ta luôn có: 
21 x 2x 2I ln C.
x 1
- + +
= +
+
3. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần ít được sử 
dụng, tuy nhiên chúng ta cũng cần xem xét. 
Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: 2I x adx= +ị 
Giải: 
Đặt: 
2
2
xdxduu x a
x a
dv dx v x
ì =ìï ï= + Þ +í í
=ï ïỵ =ỵ
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 77 
Khi đó: 
2
2
2
x dxI x x a
x a
= + -
+
ị (1) 
Với 
2 2
2
2 2 2
x dx [(x a) a]dx dxJ x adx a
x a x a x a
+ -
= = = + -
+ + +
ị ị ị ị 
 2I a ln x x a C.= - + + + (2) 
Thay (2) vào (1) ta được: 
2 2 2 2x aI x x a (I aln x x a C) I x a ln x x a C.
2 2
= + - - + + + Û = + + + + + 
4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 
Dạng 1: Tính tích phân bất định x aI dx, với a 0
x a
-
= >
+ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Vì điều kiện 
x a
x a'
³é
ê < -ë
Ta xét hai trường hợp: 
· Với x a³ thì: 
2 2 2 2 2 2
x a x a 2xdx dxdx dx a
x a x a 2 x a x a
- -
= = -
+ - - -
ị ị ị ị 
 2 2 2 2x a ln x x a C.= - - + - + 
· Với x < –a thì: 
2 2 2 2 2 2
x a a x dx 2xdxdx dx a
x a x a x a 2 x a
- -
= = -
+ - - -
ị ị ị ị 
 2 2 2 2ln x x a x a C.= + - - - + 
Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: x 1I dx
x 1
-
=
+ị 
Giải: 
Vì điều kiện 
x 1
x 1
³é
ê < -ë
. Ta xét hai trường hợp: 
· Với x 1³ . Ta có: 2 2
2 2 2
x 1 2xdx dxI dx x 1 ln x x 1 C
x 1 2 x 1 x 1
-
= = - = - - + - +
- - -
ị ị ị 
· Với x < –1. Ta có: 
 2 2
2 2 2
1 x dx 2xdxI dx ln x x 1 x 1 C
x 1 x 1 2 x 1
-
= = - = + - - - +
- - -
ị ị ị 
Dạng 2: Tính tích phân bất định dxI , với a 0 vàb c 0.
ax b ax c
= ¹ - ¹
+ + +ị 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 78 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 
 1I ( ax b ax c)dx
b c
= + + +
- ị
1/ 2 1/ 21 [ (ax b) d(ax b) (ax c) d(ax c)]
a(b c)
= + + + + +
- ị ị 
 3 32 [ (ax b) (ax c) ] C
2a(b c)
= + + + +
-
Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: dxI x 1
x 1
= + -
+ị 
Giải: 
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 
1/ 2 1/ 2
3 3
1 1I ( x 1 x 1)dx [ (x 1) d(x 1) (x 1) d(x 1)]
2 2
1[ (x 1) (x 1) ] C
3
= + + - = + + + - -
= + + - +
ị ị ị
Chú ý: Một phép biến đổi rất phổ biến đối với các hàm số vô tỉ là phương pháp phân 
tích, chúng ta sẽ đi xem xét các dạng cơ bản sau: 
Dạng 3: Tính tích phân bất định 
2
v(x)dxI
u (x)
=
± a
ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
· Bước 1: Phân tích: 
2
2 2 2 2
v(x) a[u (x) ] bu(x) c
u (x) u (x) u (x) u (x)
+ a
= + +
+ a + a + a + a
 Sử dụng phương pháp hằng số bất định ta xác định được a, b, c. 
· Bước 2: Áp dụng các công thức: 
 1. 2
2
xdx x a C.
x a
= ± +
±
ị 2. 22
dx ln x x a C
x a
= + ± +
±
ị 
 3. 2 2 2x ax adx x a ln x x a C.
2 2
± = ± ± + ± +ị 
Ví dụ 13: Tính tích phân bất định: 
2
2
(2x 1)dxI
x 2x
+
=
+
ị 
Giải: 
Ta có: 
2 2 2
2 2 2 2 2
2x 1 2x 1 a[(x 1) 1] b(x 1) c
x 2x (x 1) 1 (x 1) 1 (x 1) 1 (x 1) 1
+ + + - +
= = + +
+ + - + - + - + -
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 79 
2
2
ax (2a b)x b c
x 2x
+ + + +
=
+
Đồng nhất đẳng thức, ta được: 
a 2 a 2
2a b 0 b 4
b c 1 c 5
= =ì ì
ï ï+ = Û = -í í
ï ï+ = =ỵ ỵ
Khi đó: 
2
2
2 2 2
2x 1 4(x 1) 52 (x 1) 1
x 2x (x 1) 1 (x 1) 1
+ +
= + - - +
+ + - + -
Do đó: 2
2 2
4(x 1) 5I [2 (x 1) 1 ]dx
(x 1) 1 (x 1) 1
+
= + - - +
+ - + -
ị 
 2 2 2 2(x 1) x 2x ln x 1 x 2x 4 x 2x 5ln x 1 x 2x C= + + - + + + - + + + + + + 
 2 2 2(x 1) x 2x 4 ln x 1 x 2x 4 x 2x C.= + + + + + + - + + 
BÀI TẬP 
Bài 30. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
a/ 
3
x 1 ;
3x 1
+
+
 b/ x ;
2x 1 1+ +
 c/
3x ;
x 2+
 d/
3
3 4
x ;
1 x 1+ +
 e/ 
3
1 ;
x x+
f/
23
1 ;
(2x 1) 2x 1+ - +
 g/ 
10
x
x 1+
 h/ 1tgx
2x 1 2x 1
+
+ + -
ĐS: a/ 5 23 31 1 (3x 1) (3x 1) C;
3 5
ỉ ư+ + + +ç ÷
è ø
 b/ 31 1(2x 1) (2x 1) C;
6 4
+ - + + 
 c/ 2 3 21 (x 2) 2 x 2 C;
3
+ - + + d/ 3 34 2 4 433 3 3(x 1) x 1 ln( x 1 1) C;
8 4 4
+ - + + + + + 
 e/ 3 6 62 x 3 x 6 x ln( x 1) C;- - + + + 
 f/ 2 6 663 (2x 1) 3 2x 1 3ln 2x 1 1 C;
2
+ + + + - - + 
 g/ 19 910 1010 10(x 1) (x 1) C;
19 9
+ - + + h/ 3 31ln cosx (2x 1) (2x 1) C.
3
é ù- + + - - +ê úë û
Bài 31. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
a/ 
2
x ;
9x 6x-
 b/ 
2
1 ;
x 2x 3+ +
 c/ 
2
1 ;
x 6x 8+ +
 d/ 
2
1
x x 1- -
e/ 
2
4x 5 ;
x 6x 1
+
+ +
 f/ 
2
2x ;
x x 1+ -
 g/ 
2
4
x 1 ;
x x 1
+
+
 h/ 
2 2 3
x .
1 x (1 x )+ + +
ĐS: a/ 2 21 9x 6x ln 3x 1 9x 6x C;
9
- + - + - + b/ 2ln x 1 x 2x 3 C;+ + + + + 
 c/ 2ln x 3 x 6x 8 C;+ + + + + d/ 21ln x x x 1 C;
2
- + - - + 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 80 
 e/ 2 24 x 6x 1 7ln x 3 x 6x 1 C;+ + - + + + + + f/ 2 2 32 2x (x 1) C;
3 3
- - + 
 g/ 
21 1ln x x 2 C;
x 2
ỉ ư- + - + +ç ÷
è ø
 h/ 22 1 1 x C.+ + + 
Bài 32a/ Biết rằng 2
2
dx ln(x x 3) C.
x 3
= + + +
+
ị 
Tìm nguyên hàm của 2F(x) x 3dx= +ị 
b/ Tính 2x 4x 8dx.- +ị 
ĐS: a/ 2 21 3x x 3 ln(x x 3) C.
2 2
+ + + + + 
 b/ 2 21 (x 2) x 4x 8 2 ln x 2 x 4x 8 C.
2
- - + + - + - + + 
Bài 33. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
a/ 
2 3
1 ;
(x 16)+
 b/ 
2 3
1 .
(1 x )-
ĐS: a/ 
2
x C;
16 x 16
+
+
 b/ 
2
x C.
1 x
+
-
Bài 34. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
a/ 
2
1 ;
(x 1) 1 x- -
 b/ 
2
x 1 ;
(x 1) x 1
-
+ +
 c/ 
2
1 ;
(x 1) x 2x 3- - + +
d/ 
2
1 ;
x x x 1+ + +
 e/ 
2
2
x ;
x x 1+ +
 f/ 1 .
1 x 1 x+ + +
ĐS: a/ 1 x C;
1 x
+
- +
-
 b/ 
2
2 1 x 2(x 1)ln x x 1 2 ln C;
2(x 1)
- + +
+ + + +
+
 c/ 
21 2 x 2x 3ln C;
2 2(x 1)