Tài liệu Học toán và dạy toán như thế nào?

những ai dạy
dở sẽ ngày càng mất giá trị. Trong điều kiện “không có lựa chọn”, thì
thầy dạy hay dạy dở thế nào học sinh “vẫn phải học thầy”, nhưng khi
có lựa chọn, học sinh sẽ chọn học thầy hay, không đến học thầy dở.
Việc điểm danh để bắt học sinh đi học, theo tôi là một hình thức giữ
kỷ luật thô thiển kém hiệu quả. Thay vào điểm danh, nếu dạy hay,
dạy cái có ý nghĩa, thì không bắt học sinh cũng tự động “tranh nhau”
đi học. Tôi đã từng chứng kiến trường hợp có 2 giáo sư dạy cùng 1
môn ở 2 giảng đường khác nhau – ví số học sinh quá đông nên chia
thành 2 giảng đường – nhưng một người dạy rất dở, và kết quả là
học sinh ở giảng đường của người đó sau một thời gian chạy hết sang
giảng đường bên kia. Internet sẽ tạo điều kiện cho học sinh tìm đến
thầy hay dễ dàng hơn, qua các bài giảng video, các bài giảng online,
v.v. Các giảng viên sẽ phải giảng ít giờ hơn trước, nhưng chuẩn bị cho
mỗi bài giảng nhiều hơn, và mỗi bài giảng hay sẽ đến được với nhiều
học sinh hơn qua internet.
64 Sputnik Education
2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy
2.8 Bản chất của kiến thức cần dạy
Nên: Giáo viên cần làm sao cho học sinh hiểu được bản chất các
kiến thức.
Không nên: Lạm dụng ngôn ngữ hình thức, và dạy một cách giáo
điều.
Nên: Cho các bài tập nhằm giúp học sinh nắm được bản chất của
các lý thuyết đang học hoặc/và luyện được các kỹ năng liên quan trực
tiếp.
Không nên: Cho nhiều bài “lạc đề”, ít liên quan trực tiếp đến lý
thuyết đang học, đòi hỏi mẹo mực hoặc những lý thuyết chưa được học
đến.
Tôi sẽ lấy chương trình toán đại số lớp 7, và quyển sách “Các bài
toán hay và khó / Đại số lớp 7” của hai tác giả Phan Văn Đức và
Nguyễn Hoàng Khanh, xuất bản năm 2003, sau đây gọi tắt là sách
BTĐS7, để làm ví dụ minh họa cho mục này.
Tôi xin lỗi hai tác giả trên là đã mạn phép đem quyển sách BTĐS7
ra đây “mổ xẻ”. Tôi không có ý chê bai hay công kích gì ai. Theo tôi
hiểu thì quyển sách này cũng không kém gì các sách toán phổ thông
khác đang được dùng ở Việt Nam. Lý do đơn giản là quyển sách này
“có số” rơi vào tay tôi trong lúc tôi đang muốn bàn về phương pháp
giảng dạy toán.
Thế nào là giáo điều? Là dạy một cách áp đặt, đưa ra các thứ như
là “chân lý duy nhất”, mà không giải thích vì sao nó như vậy, nó dựa
trên cái gì, và không hề nói đến các khả năng khác, các “chân lý”
Sputnik Education 65
Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán
khác. Sự nguy hiểm của lối dạy và học theo kiểu giáo điều, là biến
học sinh thành những con người thụ động, mất khả năng suy nghĩ
một cách độc lập, trở thành “cuồng tín” chấp nhận các thứ như là
chân lý mà không đặt câu hỏi “tại sao”, và khi sai thì không biết đâu
mà sửa vì “mất gốc”.
Một ví dụ đặc trưng của “văn hóa giáo điều” là môn “Tử vi đẩu
số” ở Việt Nam. Các sách viết về tử vi mà tôi được nhìn thấy đều rất
giáo điều, cái gì cũng do “Thánh bảo”, không có giải thích tại sao, và
tất nhiên nếu xem bị sai thì chỉ còn cách “kêu trời”, không thể biết
vì sao sai, sai ở đâu. Mà chắc chắn là dễ sai. Ví dụ, “giờ Tý” thực ra
không bắt đầu lúc 11h đêm, mà cách đó khoảng 20 phút (tùy từng
ngày), nhưng điều này chỉ có một nhóm nhỏ “thầy tử vi” biết còn có
đọc sách cũng không học được. Nếu tìm hiểu kỹ hơn, ta sẽ thấy việc
xác định “giờ” đó thực ra ứng với khái niệm ascendant trong thiên
văn học, và có thể tính chính xác “giờ Tý” đến từng giây một bằng
các chương trình máy tính cho thiên văn (nhưng đố bạn tìm được
sách Tử vi đẩu số nào bán ở cửa hàng viết về điều này).
Hầu hết các “sao” trong tử vi đẩu số là “sao giả" (virtual stars) chứ
không phải “sao thật” (tức là không có sao nào như thế trên trời). Các
"sao giả" này là một phép biến đổi toán học kiểu như “phân tích phổ”
(spectral decomposition), và được tính ra từ vị trí của một số lượng
rất nhỏ các “sao thật” (như mặt trăng, mặt trời, ascendant) trên vòng
hoàng đạo. Cái “phân tích phổ” này trong tử vi đẩu số có thể là một
phát minh lớn, nhưng rất tiếc là không có sách nào giải thích vì sao
lại làm như vậy, và qui tắc xếp sao được đưa ra một cách hoàn toàn
thần bí, giáo điều.
66 Sputnik Education
2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy
Ở phương Tây cũng có “tử vi”, gọi là “chiêm tinh học” (astrology).
Tử vi đẩu số và astrology có cùng gốc thiên văn học, và có rất nhiều
cái chung. Nhưng khác nhau ở chỗ astrology không giáo điều, mọi
thứ có giải thích vì sao. Tuy rằng các giải thích đó chưa “đạt mức
khoa học”, nhưng cho phép người ta suy nghĩ, kiểm nghiệm, phát
triển, sửa sai!
Trở lại toán đại số lớp 7. Tôi đọc quyển BTĐS7 thấy có một số
điểm hình thức, giáo điều. Hai ví dụ:
1) §11 Chương 1 (Số vô tỉ – Khái niệm về căn bậc hai, trang 22).
Tóm tắt lý thuyết của phần này được viết như sau:
Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn
không tuần hoàn.
Tập hợp các sô vô tỉ được ký hiệu là I.
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
Số dương a có đúng 2 căn bậc hai: một số dương ký hiệu
là
√
a, một số âm ký hiệu là −√a.
Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0 viết là
√
0 = 0.
Đâu là những thứ hình thức, giáo điều trong các câu trên?
Tôi làm toán mấy chục năm nay, chưa bao giờ phải dùng đến ký
hiệu “tập hợp các số vô tỉ”, và đến khi đọc sách này tôi mới biết “tập
hợp các sô vô tỉ được ký hiệu là I”! Đấy là một “kiến thức” hình thức
không dùng để làm gì cả, và cũng chẳng phải là kiến thức, vì thế giới
cũng chẳng dùng ký hiệu đó.
Câu “số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không
tuần hoàn” tuy đúng về mặt hình thức toán học, nhưng rất rắm rối
Sputnik Education 67
Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán
khó hiểu. Bản chất của “vô tỉ” là “không hữu tỉ”, tức là các số thực
không viết được dưới dạng phân số. Để hình dung các số vô tỉ, cần
làm bài tập ví dụ như “số
√
7 là số vô tỉ”.
Hai khái niệm “số vô tỉ” và “căn bậc hai” là hai khái niệm quan
trọng và độc lập với nhau. Cần có thời gian để hiểu từng khái niệm,
không hiểu sao lại được dồn vào chung một mục, cứ như là căn bậc
hai của một số thì là số vô tỉ!
Có ai nói “căn bậc hai của 4 là -2 không”? Không ai nói thế cả, mà
người ta chỉ nói “căn bậc hai của 4 là 2”. Tức là căn bậc hai của một
số thực dương a, luôn được hiểu là số thực dương có bình phương
bằng số kia, và ký hiệu là
√
a. Bản thân cái ký hiệu
√
a được đọc là
“căn bậc hai của a” (“square root of a” tiếng Anh). Việc dạy cho học
trò là “a có 2 căn bậc 2” tuy có thể đúng về hình thức, nhưng rắm rối,
và thực ra chỉ “đúng nửa vời”. Nếu một số có 2 căn bậc hai, thì cũng
phải có 3 căn bậc ba, nhưng giải thích với học sinh lớp 7 chuyện một
số có 3 căn bậc 3 sao đây? Nói là phương trình x2 = a có hai nghiệm
thực
√
a và −√a khi a là số dương thì đúng bản chất hơn.
Để hiểu được căn bậc hai, một cách tốt nhất là làm ví dụ, như là
tính
√
3 chính xác đến 3-4 chữ số sau dấu phẩy (mà không dùng máy
tính). Tôi có thí nghiệm dạy cho con tôi (lúc quãng 9-10 tuổi) tính√
2, rồi sau đó nó tự tính
√
5, mất khá nhiều thời gian và viết mất
mấy trang giấy, nhưng nó tính được, và qua đó không những hiểu
được thế nào là căn bậc hai, mà còn hiểu được phương pháp tính gần
đúng nó như thế nào, qua ví dụ cụ thể.
Trong sách BTĐS7 có những bài tập có thể coi là rất khó (vượt xa
mức chương trình?) trong đó có căn bậc hai, (ví dụ bài 95b: chứng
68 Sputnik Education
2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy
minh rằng 1/
√
1+1/
√
2+ . . .+1/
√
100 > 10), mà lại thiếu những bài
“đơn giản” nhưng giúp hiểu bản chất của căn bậc hai, như bài “tính√
3 chính xác đến 3 chữ số sau dấu phẩy” như tôi viết phía trên.
2) §3 Chương 3 (phần Biểu Đồ, chương Thống Kê, trang 114 của
sách BTĐS) có viết:
Ngoài bảng số liệu thống kê ban đầu, bảng “tần số”, người
ta còn dùng biểu đồ để cho một hình ảnh cụ thể về giá trị
của dấu hiệu và tần số.
Có các loại biểu đồ như sau: biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ
hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt.
Vì sao những câu trên là giáo điều? Vì nó áp đặt (chỉ có 3 loại biểu
đồ, và nói là biểu đồ “cho một hình ảnh cụ thể”). Ý nghĩa của biểu đồ
được giải thích không chính xác (thế nào là “hình ảnh cụ thể”?).
Thực ra biểu đồ hoàn toàn có thể “kém cụ thể, kém chính xác”
hơn là các số, nhưng nó cho một bức tranh trực giác, giúp cho người
đọc nắm được thông tin quan trọng một cách nhanh chóng bằng hình
ảnh. Ý nghĩa của biểu đồ nằm ở chỗ nó cho phép người đọc dùng bộ
phận “xử lý hình ảnh” của não để nạp và xử lý thông tin – bộ phận
đó của não người “chạy” nhanh hơn nhiều so với bộ phận “xử lý số”,
và như vậy các thông tin ở dạng biểu đổ có thể được đọc nhanh hơn
nhiều lần so với ở dạng số (tuy rằng với độ chính xác có thể thấp
hơn). Và tại sao lại chỉ có 3 dạng biểu đồ? Điều này hoàn toàn sai
thực tế!
Các dạng biểu đồ là do con người nghĩ ra, và người ta có thể nghĩ
ra một tỷ dạng khác nhau. Tuy rằng 3 dạng trên có thể là 3 dạng hay
Sputnik Education 69
Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán
gặp nhất (một phần lý do là do nó đơn giản, dễ vẽ), nhưng không
phải là không có các dạng khác, cũng khá phổ biến trong những tình
huống nào đó. Ví dụ như biểu đồ dùng màu sắc. Hay biểu đồ dùng
bản đồ thế giới (ở trên mỗi nước có một khoanh tròn hay khoanh
vuông nào đó, to nhỏ phụ thuộc vào số lượng một cái gì đó ở nước
đó to hay nhỏ) là những biểu độ địa lý rất hữu ích, v.v. Những biểu
đồ như vậy là những biểu đồ thống kê gặp trong thực tế, chứ không
phải chỉ có 3 loại biểu đồ như trong “sách bảo”.
Một ví dụ biểu đồ dùng màu sắc (bản đồ nhiệt độ ở châu Âu).
Nhân tiện nói thêm: tôi thấy chương trình thống kê cho học sinh
lớp 7 (vào năm 2009) quá sơ sài, và không rõ mục đích để làm gì, khi
chưa đủ cơ sở toán học để học nhập môn thống kê theo đúng nghĩa,
chứ không dừng lại ở chỗ “đếm xem giá trị x xuất hiện mấy lần trong
70 Sputnik Education
2.8. Bản chất của kiến thức cần dạy
một bảng” (là thứ tầm thường không cần dạy, bất cứ ai khi gặp câu
hỏi như vậy và hiểu câu hỏi trong tình huống cụ thể đều đếm được dễ
dàng). Ngay một khái niệm rất dễ hiểu và rất cơ bản của thống kê là
“median value” (giá trị giữa? – ví dụ như khi nói đến mức lương tiêu
biểu của một nghề nào đó người ta thường dùng mức median chứ
dùng mức mean – giá trị trung bình) cũng không thấy có trong sách
lớp 7. Dạy “tủn mủn” có một tẹo về thống kê, không hiểu ý nghĩa và
công dụng, thì khó “đọng” được.
Nói thêm về bài tập. Thế nào là một bài tập hay? Theo tôi một bài
tập hay là một bài tập “đặt đúng chỗ, đúng mục đích”, giúp học sinh
nắm được phần lý thuyết đang cần nắm hoặc là rèn được kỹ năng
đang cần rèn, hoặc là (trong trường hợp kiểm tra thi cử) kiểm tra
được đúng những kiến thức và kỹ năng cần kiểm tra. Cùng là một
bài tập, nhưng có thể hay trong tình huống này, lại trở thành không
hay trong tình huống khác, nếu bị “đặt nhầm chỗ”. Trong quyển sách
BTĐS7, gọi là “Những bài toán khó và hay”, tôi thấy có những bài
tuy khó thật nhưng “hay” thì tôi “không thấy hay”, bởi vì dường như
chúng bị “đặt nhầm chỗ”. Chúng giống như những bài toán đánh đố,
mẹo mực, hơn là những bài toán liên quan trực tiếp đến phần kiến
thức lý thuyết trong chương trình mà học sinh cần nắm vững.
Ví dụ: Chương 1, về “số hữu tỷ và số vô tỷ”. Theo tôi hiểu, mục
đích của chương này là cho học sinh biết làm các phép tính với các số
hữu tỷ (tức là các phân số), và hiểu được rằng có những số vô tỷ, đồng
thời biết được khái niệm thế nào là căn bậc hai của một số. Chương
này không nhằm dạy về vấn đề vấn đề chia hết trong số học, hay về
tính toán các biểu thức đại số phức tạp. Thế nhưng trong Chương 1
Sputnik Education 71
Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán
có bài tập sau:
Chứng minh rằng A = 75.(41999 + 41998 + . . . + 4 + 1) + 25 chia
hết cho 100.
Để làm được bài này, học sinh cần biết cách cộng 41999 + 41998 +
. . .+ 4 + 1 (là một bài toán có thể coi là khó đối với học sinh lớp 7?,
tuy nhiên nó không phải là mục đích kiến thức của chương), rồi sau
đó kiểm tra sự chia hết cho 100, cũng không phải là cái nằm trong
kiến thức mà Chương 1 này muốn học sinh nắm được. Một bài toán
như vậy, dù dễ hay khó, cũng không hay, vì “nhầm chỗ”.
Ví dụ khác: trong Chương 1 có những bài tập về bất đẳng thức
(như bài 95) hay cực trị (như bài 125) là những bài khó. Nó khó vì
học sinh không được học tý gì về lý thuyết (phương pháp đánh giá
các đại lượng hay tìm cực trị) mà phải làm bài tập. Nếu làm bài tập,
mà không có phương pháp làm, tức là “đoán mò”, có nghĩa là sẽ làm
một cách mẹo mực. Nó có thể coi là bài hay, nếu xếp vào dạng “toán
đố nhằm rèn luyện tư duy, khả năng suy luận sâu cho học sinh giỏi”
(tức là cho một tỷ lệ nhỏ học sinh có óc tò mò đặc biệt về toán),
nhưng nó không “hay” nếu đấy là bài tập để học về “số hữu tỉ và vô
tỉ”.
Một học sinh “bình thường”, nếu gặp những bài như vậy khó có
thể làm được (họ nghĩ một lúc không ra sẽ thấy chán và tự hỏi “tại
sao phải làm bài như vậy”), dù đã tính toán thành thạo với các phân
số và biết tính căn bậc hai. Nhưng nếu được học về các phương pháp
tìm cực trị hay đánh giá các đại lượng rồi, thì mấy bài toán đó không
còn gì “khó”, có điều mấy phương pháp đó lại không có trong chương
trình chính thức!
72 Sputnik Education
2.9. Gây tò mò và sung sướng cho người học
Tôi e rằng kiểu “đánh đố” như vậy sẽ làm cho nhiều học sinh lầm
tưởng rằng họ dốt, không học được toán, trong khi thực ra họ có thể
học, hiểu và dùng được các công cụ toán rất hiệu quả, nếu được dạy
bài bản hơn. Không hiểu kiểu “toán đố” này có phải một trong những
nguyên nhân khiến học sinh phải đi học thêm tràn lan đến tối mịt
không? (Nếu không học thêm thì làm sao mà giải được bài tập!).
2.9 Gây tò mò và sung sướng cho người học
Nên: Tìm cách kích thích sự tò mò của học sinh, và làm cho học sinh
cảm thấy học là “được học, là sướng”.
Không nên: Dạy theo kiểu “nhồi vịt”, làm cho học sinh cảm thấy học
là “phải học, là khổ”.
Albert Einstein từng nói: “I have no special talent. I am only pas-
sionately curious”. (“Tôi không có tài gì đặc biệt. Tôi chỉ tò mò một
cách đam mê”). Bí quyết thành công của Einstein chính là sự “tò mò
một cách đam mê”. Và Einstein cũng có nói một cách mỉa mai: “It is a
miracle that curiosity survives formal education” (“thật kỳ diệu là giáo
dục hình thức chưa bóp chết sự tò mò”), và kể về sự khổ sở của ông ta
khi đi học như sau: “One had to cram all this stuff into one’s mind for
the examinations, whether one liked it or not. This coercion had such
a deterring effect on me that, after I had passed the final examina-
tion, I found the consideration of any scientific problems distasteful
to me for an entire year.” (Tạm lược dịch: “Tôi bị nhồi học như nhồi
vịt đủ thứ để trả thi dù có thích chúng hay không; sự ép buộc này
khiến tôi ngán khoa học đến tận cổ trong suốt một năm sau kỳ thi
Sputnik Education 73
Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán
đó”).
Sudoku vui cho trẻ em.
Sự tò mò thúc đẩy con người
ta tìm tòi hiểu biết, làm cho não
tiếp thu kiến thức và khám phá
thế giới nhanh hơn. Khi tò mò
tức là trong đầu đặt ra các câu
hỏi, và não “thèm khát” thông
tin trả lời các câu hỏi đó, khi
“vớ được” câu trả lời sẽ nhập vào
đầu rất nhanh vì trong đầu đã
“dọn chỗ” sẵn để đón nhận nó.
Trẻ con sinh ra có bản năng tò
mò, và học rất nhanh. Vấn đề là làm sao giữ được tính tò mò đó mà
không đánh mất nó đi khi lớn lên.
Theo một số nghiên cứu về giáo dục học – thần kinh học (xem
cuốn sách “Insult to Intelligence” của Frank Smith), thì trẻ em trung
bình mỗi ngày học được một cách tự nhiên, nhẹ nhàng mấy chục từ
mới trong lúc làm các việc khác, tuy rằng lúc học ở trường thì có khi
vất vả một ngày không học nổi vài từ mới. Một trong các lý do mà các
nhà giáo dục học đưa ra để giải thích sự học kém hiệu quả ở trường,
chính là cách giáo dục hình thức ở trường làm giảm đi sự tò mò của
trẻ em. Khi chán học, không có sự tò mò, thì học rất khó vào.
Con người ta khi học, không những chỉ nhớ “kiến thức” được học,
mà còn nhớ cả trạng thái tâm lý, cảm giác (feelings) khi học “kiến
thức” đó. Nếu như nhớ rằng học cái gì đó là “nhàm chán” hay “đau
khổ”, thì sẽ không muốn học nữa, vì phản xạ tự nhiên của con người
74 Sputnik Education
2.9. Gây tò mò và sung sướng cho người học
là không muốn có cảm giác nhàm chán hay đau khổ. Ngược lại, nếu
nhớ rằng học cái gì đó là “vui” là “sướng”, thì muốn được lặp lại cái
cảm giác đó, tức là muốn được học tiếp.
Khi trẻ em chơi một cái gì đó mà nó thích, thì nó tập trung cao
độ. Nếu làm sao để “trò học” cũng hấp dẫn như “trò trơi”, thì học sẽ
rất hiệu quả. Tôi có đọc đâu đó một lần, là có một lớp học sinh ở Nga,
khi được hỏi thích học môn gì nhất, thì nói rất thích môn sử, vì học
môn đó được đi thăm quan bảo tàng, khám phá nhiều thứ thú vị. Đi
học mà sướng như đi chơi, có khi còn sướng hơn đi chơi.
Leonardo da Vinci có từng nói: “Giống như việc bị bắt ép ăn khi
không muốn ăn có thể làm hại sức khỏe, việc bị bắt ép học cái không
muốn học cũng có thể làm tổn thương trí nhớ, và không tiếp thu
được gì”. Một trong những cách nhanh nhất để “tiêu diệt” sự tò mò,
làm cho học sinh chán học, là dạy hoc kiểu “nhồi vịt” (nhồi nhét một
đống thông tin vào đầu học sinh, không kịp tiêu hóa, không biết để
làm gì, đến mức học sinh bị “bội thực”, sợ học).
Ở Việt Nam, từ rất nhiều năm nay, tôi thấy hầu như ai cũng kêu
là trẻ con bị học quá tải, nhưng hiểu biết thì không hơn gì trẻ em ở
các nơi khác học “vui vẻ nhẹ nhàng” hơn. Đây có lẽ là một lỗi lớn của
hệ thống giáo dục. Các bậc phụ huynh không nên bắt con mình học
đi thêm liên miên đến mức nó phát ngán, phát sợ học. Còn nếu nó
thích học cái gì (đặc biệt là những cái không được dạy ở trường, ví
dụ như học nặn tượng, học đánh đàn piano, học chế tạo robot, v.v.),
thì cứ cho nó đi học thêm nếu nhà có điều kiện.
Làm sao để kích thích sự tò mò của học sinh (và của người lớn)?
Đây có lẽ là cả một môn khoa học và nghệ thuật lớn. Không chỉ giáo
Sputnik Education 75
Chương 2. Một số điều nên và không nên khi dạy toán
dục cần đến kích thích tò mò, mà nhiều lĩnh vực khác cũng cần, và có
khi cần một cách hiển nhiên hơn, ví dụ như nghề quảng cáo. Những
ai làm quảng cáo ắt hẳn phải rất quan tâm đến chuyện kích thích tò
mò, vì nếu không kích thích được sự tò mò của người xem thì sẽ bị
ảnh hưởng xấu ngay đến cái túi tiền. Những người làm về giáo dục
có lẽ có thể học và chia sẻ phương pháp kích thích tò mò với những
ngành khác.
Tôi không phải là “chuyên gia” trong lĩnh vực gây tò mò, nên chỉ
có thể thể kể ở đây một vài kinh nghiệm cá nhân nhỏ. Có lần tôi đố
con tôi (tôi có hai con đang học phổ thông) chứng minh rằng tổng của
chuỗi
∑
1/n2 bằng pi2/6. Tất nhiên bài toán này là quá khó đối với
tụi nó. Tuy tụi nó có thể hiểu (một cách trực giác) rằng chuỗi
∑
1/n2
là chuỗi hội tụ, và cậu lớn tính được giá trị gần đúng của chuỗi đó và
thấy nó giống giá trị gần đúng của pi2/6, nhưng để chứng minh đẳng
thức chính xác, thì chưa thể làm nổi. Cái đẳng thức này tất nhiên chỉ
là một trong số vô vàn những “sự trùng hợp của tự nhiên”, và chẳng
có công dụng gì trong đời sống hàng ngày, thế nhưng trông nó “thú
vị, kỳ bí”. Tụi trẻ tò mò, muốn hiểu được đẳng thức này, bắt tôi giải
thích. Tôi nói “muốn chứng minh được, phải biết giải tích”, thì tụi nó
bắt tôi giải thích các khái niệm đạo hàm, tích phân, v.v. Qua đó tụi
nó học một số kiến thức toán hiện đại, “chỉ vì” tò mò. Cái bài toán
đố đó nó như là một thứ “củ cà rốt treo trước mặt con lừa, khiến cho
con lừa chịu khó đi với hi vọng ăn được cà rốt”.
Định lý lớn Fermat cũng vậy. Nó không hề có một “công dụng
thực tế” gì hết, nhưng nó gây tò mò cho các nhà toán học (và cho cả
những người không phải nhà toán học chuyên nghiệp). Việc đi tìm
76 Sputnik Education
2.9. Gây tò mò và sung sướng cho người học
lời giải cho nó đã làm nảy sinh ra những lý thuyết toán hiện đại có
công dụng thực tế rất lớn (ví dụ trong mật mã, an toàn thông tin).
Bài toán tôi viết phía trên, gây tò mò lớn cho mấy đứa con tôi,
những hoàn toàn có thể không gây tò mò cho con hàng xóm. Cùng
một thứ, có thể gây tò mò cho ngườ