Ôn tập phép biến hình trong mặt phẳng

   
    

I
x y y x
M Q M
y x x y
   
 
 
2
 0 
2
; ( )
tan /
;
tan /





     
   
 
   
 


O
yx
M Q M IIk
y k x
y x
k
x y
Phép đồng 
nhất I 
 I M M 
Phép dời hình 
F 
 
 
F M M
M N MN
F N N
    
 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
- Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng 
nhau. 
- Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình. 
Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : 0ax by c    , điểm 
 ,M x y . Gọi  , § ( )M x y M    . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: 
 § ( ) ( )
.

      
   

by cx
aM M I
ax cy
b
Chứng minh: 
Gọi  0 0 0 sao cho ,      M x y MM MM . 
   
0
0 0
0 0
0
0 2
0
2
ax by cxax by c a
a x x b y y by ax cy
b
     
  
       

Mà M là điểm trên đoạn MM sao cho 0M là trung điểm. 
0
0
2
2 .
by cxx x x a
y y y ax cy
b
      
         

Vậy (I ) được chứng minh. 
Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm  ,M x y và số thực 00 90  . Gọi 
     ;, OM x y Q M    . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay  ;OQ  : 
   2 trong đó 
2
;
tan
( )
tan,



     
   


O
y y xx
M Q M k IIk
x yy k x
Chứng minh: 
Gọi  là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm  ,M x y . 
+ Khi 0Mx    có hệ số góc  tan ; M
M
y yk Ox
x x
    và : 0M My x x y   
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
Gọi : 0ax by   là đường thẳng thỏa       0 0, , , 0 ;902 Ox

       ,  có hệ số 
góc  
 
 
tan , tan tan tan
2 2 2tan ,
2 1 tan , .tan 1 tan tan
2 2 2
yOx y xa xk Ox yb Ox x y
x
  

  
              

  
0  : 0  : 
+ Khi  0 : 0 tan , tan
2M
x Ox y k Ox            . 
Gọi        Đ;, OM x y Q M M M       . Áp dụng bổ đề 1, ta có 
by c b yx x y xa a k
ax c a y kxy y x
b b
           
    
            
*) Trường hợp suy biến: - Nếu    Đ0, 0 : 0 OxOx Ox y M M          . 
- Nếu    Đ0, 90 : 0 OyOx Oy x M M          . 
Vậy (II ) được chứng minh. 
2. Một số tính chất của phép dời hình: 
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự 
giữa ba điểm đó. 
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn 
thẳng bằng nó. 
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. 
- Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính. 
3. Các dạng bài tập cơ bản: 
Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình 
Phương pháp chung: 
M 
O 
x 
y
 
 
M 
/ 2 
x 
O 
y 
 
 
M 
/ 2 
M 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
- Dùng định nghĩa. 
- Dùng các tính chất của phép biến hình. 
Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình 
Phương pháp chung: 
- Dùng định nghĩa. 
- Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình. 
- Dùng các tính chất của phép biến hình. 
Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình 
Phương pháp chung: 
- Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh. 
- Để dựng điểm M ta làm như sau: 
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình. 
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết 
qua một phép dời hình. 
Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích 
Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép 
dời hình. 
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh , , ,A B C D qua 
1) Phép tịnh tiến ABT ; 2) Phép đối xứng trục § AB ; 
3) Phép đối xứng tâm § O ; 4) Phép quay  0;90OQ . 
Hướng dẫn giải 
1)    ;AB ABT A B T B B BB AB     
 
 
 
;
.
AB
AB
T C C CC AB
T B B BB AB
   
   


 
  
2)   § ;AB AB AB 
 
 
   
   
 
 1 1
1 1
§ ;
§ .
AB
AB
C C BC BC
D D AD AD
A O C 
D 
1C 
B 
1D 
A 
B 
O
C 
D 
C’ 
B’ 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
3)    § ;§O OA C B D  . 
4)      0
2
2 0;90
2; 90

  

O
OA OA
Q A A
OA OA
     0
2
2 0;90
2; 90

  

O
OB OB
Q B B
OB OB
     0
2
2 0;90
2; 90

  

O
OC OC
Q C C
OC OC
     0
2
2 0;90
2; 90

  

O
OD OD
Q D D
OD OD
Bài 2: Cho hai hình vuông và    ABCD A B C D ( như hình vẽ ) có  AB A B . Tìm một 
phép dời hình biến hình vuông thành    ABCD A B C D . 
Hướng dẫn giải 
- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông ABCD theo 
 
v AA ( như hình vẽ ) ta được 
ảnh của nó là hình vuông 1 1 1A B C D . 
- Thực hiện quay hình vuông 1 1 1A B C D tâm A , góc quay  1;    A D A D ta được hình 
vuông    A B C D . 
Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến 
hình vuông thành    ABCD A B C D . 
Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau     và 1 2O O . Tìm tất cả các phép dời hình biến 
đường tròn này thành đường tròn kia. 
A B 
D C
B
A
C 
D
D 
A 
B 
C 
A’ 
B’ 
C’ 
D’ 
1B
1C1
D
 
2A 
A
B
C
D
O
2D
2B
2C
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
Hướng dẫn giải 
Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia: 
- phép tịnh tiến 
1 2O O
T

 , 
- phép đối xứng tâm OĐ 
(O là trung điểm của 1 2OO ), 
- phép quay I, với I , 
- phép đối xứng trục Đ . 
Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm  1 ;4 , 3;5
2
    
 

M v . Tìm tọa độ điểm 
ảnh của M qua các phép dời hình 
a) vT ; b) § Ox ; c) § Oy ; d) § O . 
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh 
của A qua phép quay tâm O góc quay 900. 
Hướng dẫn giải 
1/ a) Gọi      1 1 1, , , vM x y M x y T M  . 
Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến   11
1
 
  
 

v
x x a
T M M
y y b
, ta có: 
 1
1
1 53
2 2
4 5 9
     

   
x
y
Vậy điểm ảnh của M qua vT là 1
5 ;9
2
  
 
M . 
b) Gọi    2 2 2, § OxM x y M . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục OxĐ : 
  2 22
2
2
1
§ 2
4
Ox
x x x
M M
y y y
     
    
Vậy điểm ảnh của M qua § Ox là 2
1 ; 4
2
  
 
M . 
c) Gọi    3 3 3, § OyM x y M . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục OyĐ : 
2O
 1O
 
O 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
  3 33
3
3
1
§ 2
4
Oy
x x x
M M
y y y
    
   
  
Vậy điểm ảnh của M qua § Oy là 3
1 ; 4
2
  
 
M . 
d) Gọi    4 4 4, § OM x y M . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm OĐ : 
  4 44
4
4
1
§ 2
4
O
x x x
M M
y y y
    
   
    
Vậy điểm ảnh của M qua § O là 4
1 ; 4
2
   
 
M . 
2/ Cách 1: Gọi    0;90  OA Q A . Gọi    3;0 , 0;4B C lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của A lên các trục Ox, Oy. 
Phép  0;90OQ biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB A C   . 
 Ta thấy    0;3 , 4;0B C   . Vậy điểm ảnh của A qua  0;90OQ là  4;3 A . 
Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay  
 
 0
0 0
90
0 0
;
( )
.
       
   
I
x y y x
M Q M
y x x y
Suy ra      0;90 4;3 .OQ A A  
Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ ( 2;3)

v , đường thẳng d có phương trình: 
3 5 3 0x y   . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vT . 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho  1;5M , đường tròn (C) có phương trình 
2 2 2 4 4 0x y x y     , đường thẳng d có phương trình 2 4 0.x y   
a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox. 
b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục : 1 0x y    . 
Hướng dẫn giải 
1/ Gọi      , ;v vM x y T M d T d      . 
Cách 1: 
Chọn      1;0 3;3      vM d T M M d . 
Vì d’//d nên :3 5 0   d x y C , M d  C = 24. 
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 5 24 0.x y   
Cách 2: 
Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến 
vT : 
' 2
' 3
 

 
x x
y y
' 2
' 3
 
 
 
x x
y y
Thay vào phương trình của d ta được: 3 5 24 0.x y    
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 5 24 0.x y   
Cách 3: 
Lấy ,M N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo 
vectơ v

. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’. 
2/ a) Gọi  1 1 1, ,M C d lần lượt là ảnh của  , , M C d qua phép đối xứng trục ĐOx . 
+ Ta có  1 1; 5 .M  
+ Đường tròn (C) có tâm  1; 2 ,I  bán kính 3R  . Đường tròn ảnh ( 1C ) của (C) có tâm là 
   ’ 1;2OxI Đ I  và bán kính 3R  . 
Vậy phương trình ( 1C ) là:    
2 21 2 9.x y    
+ Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOx : 
' '
' '
x x x x
y y y y
  
 
    
Thay vào phương trình của d ta được: ’ 2 ’ 4 0.x y   
Vậy phương trình của 1d là 2 4 0.x y   
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( )
.

      
   

by cx
aM M
ax cy
b
Thay tọa độ điểm M và hệ số của đường thẳng  vào ta có 
   

    
 
1.5 1 4
1
1.1 1 2
1
x
y
Vậy    2Đ 4;2M M  . 
Từ biểu thức tọa độ , ta có 
by c c byx x
a aM M
ax c c axy y
b b

                 
  
§ ( ) 
+ Pt đường thẳng 2d ảnh của d qua Đ là 
2 4 0 2 7 0
          
c by c ax x y
a b
Vậy   2 : 2 7 0.d x y 
+ Pt đường tròn  2C ảnh của (C) qua Đ là 
 
2 2
2 21 2 9 1 9
                 
   
c by c ax x y
a b
Vậy      2 22 : 1 9C x y . 
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho      1; 1 , 3;1 , 2;3 .A B C  Tìm toạ độ 
điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Hướng dẫn giải 
Giả sử điểm  ; .D x y 
Để ABCD là hình bình hành thì BA CD
 
. Nên ( ) BAT D C . 
Với     4; 2 , 2; 3BA CD x y     
 
. 
Do đó: 
2 4 2
3 2 1
x x
y y
    
 
   
. 
Vậy  2;1 .D  
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai 
đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông 
góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc 
cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. 
2) Có ba thành phố , ,A B C tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng. 
Tìm vị trí I trong ABC sao cho có thể xây dựng một bến xe mà tổng khoảng cách từ I tới 
các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất. 
Hướng dẫn giải 
1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: a b 
Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm 
vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a. 
 + Thực tế: a song song với b 
Các đường thẳng a, b cố định MN

cố định. 
Nên   ’ ’MNT A A A N AM   . 
Ta có ’ ’AM BN A N NB A B    
Cách dựng: 
- Dựng  MNA T A   . Nối A’, B có A B b N   . 
- Từ N hạ đường thẳng d a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu. 
2) Thực hiện phép  0;60 : ;BQ I J A A  . Ta có       
0 0; 60 ; ; 60 .BI BJ BA BA 
        0; ; 60 ;BI BA BI BA BJ BA 
A 
J 
A 
C B 
I 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
BIA BJA AI A J       
IA IB IC JA IJ IC      ngắn nhất khi , , ,A I J C thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I 
ở giữa J và C. Thì  0120 ;BIC    0120AIB BJA  . 
Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc 0120 . 
Cách dựng: 
- Dựng ảnh A’ của A qua  0;60BQ . 
- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều. 
Nên I chính là điểm cần dựng. 
 Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía so với 
AC. Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB. 
Mặt khác  060CBA  và  060ABA  nên I phải nằm trong ABC . 
Nên , , ,A I J C thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và 
IA IB IC JA IJ IC     ngắn nhất. 
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau và đường thẳng d. Hãy dựng một 
đường thẳng song với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây cung của chúng định 
bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước. 
Hướng dẫn giải 
Giả sử đã dựng được cát tuyến / /d cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương ứng là 
MN và M’N’ sao cho MN M N l   cho trước. 
2O 
1O 
N 
M N  
M 
1M 
O 
O l

v

 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
Kéo dài MN về phía N lấy điểm 1M sao cho 1MM l đặt 1MM l
 
. 
Thực hiện    1:lT O O  với 1OO l
 
. 
Thực hiện    2:vT O O  với 1v M N N M  
  
. 
 2 O , 1 1MM l M N MN M N MN      
Gọi 1N là giao điểm thứ 2 của   và 1O 
2OO d  ( d là trung trực của đoạn 1OO ). 
Vậy cát tuyến  phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn 
    và 1 2O O , song song với d. Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc 
2
lR R R R     ). 
Bài 3: Cho hai đường thẳng song song a và b. Với một điểm C không nằm trên hai đường 
thẳng đó, hãy tìm các điểm ,A a B b  sao cho ABC là tam giác đều. 
Hướng dẫn giải 
Giả sử đã dựng được ABC đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 
Với phép quay  0; 60CQ  điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua B nên 
suy ra cách dựng như sau: 
Cách dựng: 
- Dựng đường thẳng    0; 60Ca Q a  bằng cách kẻ CH a tại H, tìm ảnh H của 
H qua phép quay này. Vẽ được đường thẳng a qua H và a CH  . 
- Gọi B a b  , lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có A a . 
C 
B 
A 
H 
a 
b 
a’ 
H’ 
A’ 
B’ 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
Rõ ràng ABC là tam giác đều. Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm A BC  cần 
dựng. Hai tam giác này đối xứng nhau qua trục CH. 
Bài 4: Cho ABC, trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ. 
a) Chứng minh : NC  BQ ; BQ = NC 
b) Gọi H là trung điểm của BC . Chứng minh: AH  QN. 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có:        0 0;90 ;90 ;  A AQ N B Q C Q    0;90AQ NC BQ  . 
Vậy : ;  NC BQ NC BQ . 
H
N
M
P
Q
CB
A
b)         01 1;90; ; ;  A AĐ B B Q C B Q N . Do đó : 1 .CB QN 
Mà AH là đường trung bình của CBB1 
Nên AH // CB . Vậy : AM  QN. 
Bài 5: Qua tâm G của ABC đều kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường 
thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 600. 
Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân. 
Hướng dẫn giải 
Ta có : a  CB = {M} ; b  BA = {Q} 
Mà :    0; 120GQ a b  (1) 
       0 0; 120 ; 120;G GQ C B Q B A   
    0; 120GQ CB BA  (2) 
Từ (1), (2)     0; 120GQ M Q  
 GM = GQ  GMQ cân 
Tương tự: 
P 
M 
N 
Q G 
A 
B C 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
GNP cân  MQ // NP và NQ = MP. 
Vậy MPNQ là hình thang cân. 
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O). 
Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối 
xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3. 
Hướng dẫn giải 
D M3
M2
M1
M
O
C
B
A
Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định; 
  3DĐ M M . 
Do đó quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D. 
Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn 
(O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) 
thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn. 
Hướng dẫn giải 
Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến 
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. 
Tia BO cắt đường tròn (O) tại D. 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
H
M
O
B
C
A
D
Ta có BCD =900 nên DC//AH, AD//CH 
ADCH là hình bình hành  2AH DC OM 
  
. 
Vì OM

không đổi T2 O M (A) =H. 
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là ảnh của 
(O) qua phép 
2OM
T  . 
Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục 
H'
I
H
O
B
C
A
D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH với đoạn 
thẳng BC và đtròn (O). 
Ta có:  BAH HCB ;  'BAH BCH . Do đó ’HCH cân tại CH và H’ đxứng qua BC. 
Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng chạy trên đtròn (O, suy ra khi A di động trên 
(O) thì trực tâm ABC di động trên một đtròn là ảnh của (O) qua phép BCĐ . 
Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
M
I
H
O
B
C
A
D
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia AO và BO cắt (O) lần 
lượt tại M và D. 
Theo chứng minh ở cách 1, ta có 2AH DC OI 
  
. 
Trong AHM có OI//AH và OI = 1
2
AH 
OI là đường trung bình của tam giác AHM 
 I là trung điểm của HM H và M đối xứng nhau qua I. Vì BC cố định nên I cố định. 
Vậy khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O). Do đó khi A di động trên (O) 
thì trực tâm ABC di động trên một đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép IĐ . 
Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C di động trên đường thẳng cố định  . Biết rằng 
trực tâm H của tam giác là một điểm cố định và đường tròn ngoại tiếp của tam giác luôn đi 
qua điểm cố định P H . Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm quỹ 
tích O. 
Hướng dẫn giải 
 Gọi  H Đ H  , và theo giả thiết thì  H O - đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC. 
H 
 
A 
H  
B C 
O 
P 
 Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội 
Hotline: 0987708400 
Vì  Đ H H  , mà , H  cố định H  cố định. 
Rõ ràng do , P H  cùng nằm trên đường tròn  O , suy ra tâm O nằm trên đường trung 
trực của PH . 
Vậy quỹ tích O là đường trung trực của đoạn PH , với 