Ôn tập Đại số 11 - Chương II: Tổ hợp – xác suất

+ =x x xC C C x 
 n) 1 2 3 10... 1023x x x xx x x xC C C C
- - - -+ + + + = o) 1 2 1
1 4
1 1 7
6+ +
- =
x x xC C C
 ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 7 d) x = 14 e) x = 3 
 f) x = 10 g) x = 17 h) x = 5 i) x = 5 k) x = 8 
 l) x = 7 m) x = 4 n) x = 10 o) x = 3; x = 8 
Baøi 2: Giải các bất phương trình: 
 a) 
3
1
4
31
1
14
n
n
n
C
PA
-
-
+
< b) 25 360( )!
kn
n
P
A
n k
++
+£-
 c) 4 3 21 1 2
5 0
4n n n
C C A- - -- - < 
 d) x xC A
2 2
12 3 30+ + < e) x x xA A Cx
2 2 3
2
1 6 10
2
- £ + f) n nn nC C
2 1
1 1 100
- -
+ +- £ 
 ĐS: a) đk: n ³ 3, n2 + n – 42 > 0 Û n ³ 6 
 b) 
( 5)( 4)( 1) 0
k n
n n n k
ì £
í + + - + £î
 · Xét với n ³ 4: bpt vô nghiệm 
 · Xét n Î {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) 
 c) đk: n ³ 5, n2 – 9n – 22 < 0 Þ n = 5; 6; 7; 8; 9; 10 
 d) x = 2 e) x = 3, x = 4 
Baøi 3: Giải các hệ phương trình: 
 a) 
1
1
126
720
x
y y x
y
x
x
A
C
P
P
-
+
+
ì
ï + =
í
ï =î
 b) 
y y y
x x xC C C
1 1
1
6 5 2
+ -
+ = = c) 
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C
+
-
ì - =ï
í
- =ïî
 d) 
y y
x x
y y
x x
A C
A C
2 5 90
5 2 80
ì + =ï
í
- =ïî
 e) 
2
1:
3
1:
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A
+
ì
=ï
í
ï =
î
 f) 
2 1
1
5 3y yx x
y y
x x
C C
C C
- -
-
ì =ï
í
=ïî
 g) 
x
y y x
y
x
x
A
C
P
P
1
1
2
126
720
+
- -
+
ì
ï + =
í
ï =î
 h) 
y y
x x
y y
x x
A A
C C
3 2
5 5
2 3
4 5
7
4 7
- -
- -
ì =ï
í
=ïî
 i) 
y y
x x
y y
x x
A C
A C
2 180
36
ì + =ï
í
- =ïî
 ĐS: a) 5
7
x
y
ì =
í =î
 b) 8
3
x
y
ì =
í =î
 c) 17
8
x
y
ì =
í =î
 d) x = 5, y = 2. 
 e) x = 4, y = 8. f) x = 7, y = 4 
Baøi 4: Tìm số tự nhiên k sao cho 1 214 14 14, ,
k k kC C C+ + lập thành một cấp số cộng. 
 ĐS: k = 4; 8. 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
 Trang 34 
Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học 
Baøi 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề 
thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý 
thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi? 
 ĐS: · Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: 2 14 6. 36C C = 
 · Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: 1 24 6. 60C C = 
 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi. 
Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn 
chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: 
 a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ. 
 d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ. 
 ĐS: a) 440C b) 
1 3
25 15.C C c) 
2 2
25 15.C C d) 
1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25. . .C C C C C C C+ + + 
 e) 4 4 440 25 15C C C- - 
Baøi 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ 
tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? 
 ĐS: 20 ; 10. 
Baøi 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem 
thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có 
bao nhiêu cách làm như vậy? 
 ĐS: 1200. 
Baøi 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu 
cách lấy được: 
 a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? 
 ĐS: a) 20. b) 150. 
Baøi 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy 
viên. Hỏi có mấy cách chọn? 
 ĐS: 4651200. 
Baøi 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi 
một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn 
bó hoa trong đó: 
 a) Có đúng 1 bông hồng đỏ? 
 b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? 
 ĐS: a) 112 b) 150. 
Baøi 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 
chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 
 ĐS: 544320. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) 
Baøi 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số: 
 a) Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2? 
 b) Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 
chữ số lẻ? 
 ĐS: a) 360. b) 2448. (ĐH Cần Thơ, 2001) 
Baøi 10: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 
0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1). 
 b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có 
mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. 
 ĐS: a) 33600 b) 11340. (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) 
Baøi 11: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số 
được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
 Trang 35 
 bao nhiêu số như vậy? 
 ĐS: 1800. (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) 
Baøi 12: Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn 
chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: 
 a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ? 
 b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? 
 ĐS: a) 2974. b) 15048. (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) 
Baøi 13: Một đồn tàu có 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. 
Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: 
 a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa. 
 b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên. 
 ĐS: a) 99. b) 24. (ĐH Luật Hà Nội, 1999) 
Baøi 14: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số 
học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít 
nhất hai học sinh khá. 
 ĐS: 3780. (HVKT Quân sự, 2001) 
Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học 
Baøi 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường 
nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? 
 ĐS: · Số giao điểm: 2 ( 1)
2n
n n
C
-
= 
 · Số tam giác: 3 ( 1)( 2)
6n
n n n
C
- -
= 
Baøi 2: Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. 
 a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm? 
 b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm? 
 c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên? 
 d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được 
tạo thành? 
 ĐS: a) 210C b) 
2
10A c) 
3
10C d) 
4
10C 
Baøi 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n ³ 4) 
 a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh? 
 b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm 
(không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy? 
 ĐS: a) 2nC n n- = Û n = 5 
 b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm 
của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm 
phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: 4nC 
Baøi 4: Cho một đa giác lồi có n-cạnh ( , 3)n bÎ ³ . 
 a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo? 
 b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác? 
 c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo? 
 ĐS: a) ( 3) ; 5.
2
n n
n
-
= b) ( 2)( 1) .
6
n n n- - c) ( 1)( 2)( 3)
24
n n n n- - - . 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
 Trang 36 
Baøi 5: Tìm số giao điểm tối đa của: 
 a) 10 đường thẳng phân biệt? b) 10 đường tròn phân biệt? 
 c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? 
 ĐS: a) 45. b) 90. c) 335. 
Baøi 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) 
lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên 
(d1) và (d2). 
 ĐS: 5950. (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) 
Baøi 7: Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ 
các đỉnh của H. 
 a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh 
của H? 
 b) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có 
cạnh nào là cạnh của H? 
 ĐS: a) 1140; 20. b) 320 ; 80. (HVNH, 2000, khối D) 
Baøi 8: Có 10 điểm A, B, C, ... trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. 
 a) Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua 
A hay B? 
 b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao 
nhiêu tam giác chứa cạnh AB? 
 ĐS: a) 45; 28. b) 120 ; 36 ; 8. 
Baøi 9: Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm 
nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi: 
 a) Có bao nhiêu đường thẳng? b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác? 
 ĐS: a) 1 ( 1) ( 1) 2;
2
p p q q- - - + . b) 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
6
p p p q q q- - - - - . 
Baøi 10: Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4 
điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi: 
 a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b) Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện? 
 ĐS: a) 3 3 1.p qC C- + b) 
4 4 .p qC C- 
Baøi 11: Cho p điểm trong đó có q điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoài ra không có 4 điểm 
nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu: 
 a) Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm? 
 b) Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó? 
 ĐS: a) 3 3 1.p qC C- + b) 
4 4 .p qC C- 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
 Trang 37 
 V. Nhị thức Newton 
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nÎN và với mọi cặp số a, b ta có: 
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b-
=
+ = å 
2. Tính chất: 
 1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 
 2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n 
 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = k n k knC a b
- ( k =0, 1, 2, , n) 
 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 
k n k
n nC C
-= 
 5) 0 1nn nC C= = , 
1
1
k k k
n n nC C C
-
++ = 
 * Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt 
thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn: 
 (1+x)n = 0 1 1 ...n n nn n nC x C x C
-+ + + Þ 0 1 ... 2n nn n nC C C+ + + = 
 (x–1)n = 0 1 1 ... ( 1)n n n nn n nC x C x C
-- + + - Þ 0 1 ... ( 1) 0n nn n nC C C- + + - = 
Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton 
Baøi 1: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với: 
 a) x M x9 4( 3) ;- = b) x M x12 5(2 1) ;- = c) x M x15 9(2 ) ;- = 
 d) x M x11 6(1 3 ) ;- = e) x x M x2 12 15(3 ) ;- = f) x M x13 7(2 5 ) ;- = 
 g) x M x
x
10
2 112 ;
æ ö
- =ç ÷
è ø
 h) x M x
x
12
312 ;
æ ö
- =ç ÷
è ø
 i) y M y
y
14
22 ;
æ ö
- =ç ÷
è ø
 k) x y M x y17 8 9(2 3 ) ;- = l) x xy M x y3 15 25 10( ) ;+ = k) x y M x y25 12 13(2 3 ) ;+ = 
 ĐS: 
Baøi 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: 
 a) 
10
4
1x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
 b) 
12
2
4
1x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
 c) 
5
3
2
1x
x
æ ö
-ç ÷
è ø
 d) 
6
2 1x
x
æ ö
-ç ÷
è ø
 e) x
x
10
12
æ ö
-ç ÷
è ø
 f) x
x
10
2
3
1æ ö
+ç ÷
è ø
 g) x
x
15
3
2
2æ ö
+ç ÷
è ø
 h) x
x
10
1æ ö
+ç ÷
è ø
 ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210 
Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: nnP x a a x a x a x
2
0 1 2( ) ...= + + + + . Xác định hệ số ak: 
 a) P x x x x a9 10 14 9( ) (1 ) (1 ) ... (1 ) ;= + + + + + + ? 
 b) P x x x x x a2 3 20 15( ) (1 ) 2(1 ) 3(1 ) ... 20(1 ) ;= + + + + + + + + ? 
 c) P x x a a x a x a x a80 2 800 1 2 80 78( ) ( 2) ... ;= - = + + + + ? 
 d) P x x a a x a x a x a50 2 500 1 2 50 46( ) (3 ) ... ;= + = + + + + ? 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
 Trang 38 
 e) P x x x x x a3 4 5 30 3( ) (1 ) (1 ) (1 ) ... (1 ) ;= + + + + + + + + ? 
 ĐS: a) a9 3003= b) a15 400995= c) a78 12640= d) a46 = 18654300 
Baøi 4: Trong khai triển nx y z( )+ + , tìm số hạng chứa k mx y. (k, m < n) 
 ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa xk. 
 Ta có: (x + y + z)n = ( ) ( )... ...n n kk knx y z C x y z
-é ù+ + = + + +ë û 
 mà (y + z)n–k = ... ...m m n k mn kC y z
- -
-+ + 
 Þ số hạng chứa k mx y. là: .k m k m n k mn n kC C x y z
- -
- 
Baøi 5: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với: 
 a) x x M x2 10 6(1 ) ;- + = b) x x M x2 10 17(1 2 ) ;+ + = 
 c) x x M x2 5 3( 1) ;+ - = d) x x M x2 3 8 8(1 ) ;+ - = 
 e) x x x M x2 3 10 5(1 ) ;+ + + = f) x x M x
82 81 (1 ) ;é ù+ - =ë û 
Baøi 6: 
 a) Cho biết trong khai triển 
n
x
x
3
2
1æ ö
+ç ÷
è ø
 tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ 
ba bằng 11. Tìm hệ số của x2 . 
 b) Cho biết trong khai triển 2 1 ,
n
x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
 tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ 
ba là 46. Tìm hạng tử không chứa x. 
 c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2
3
n
x
æ ö
-ç ÷
è ø
 là 97. Tìm 
hạng tử của khai triển chứa x4. 
 d) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển 
n
x
x
7
4
1æ ö
+ç ÷
è ø
, biết rằng: 
 nn n nC C C
1 2 20
2 1 2 1 2 1... 2 1+ + ++ + + = - . 
 e) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nx(2 )+ , biết rằng: 
 n n n nn n n nC C C C
0 0 1 1 2 23 3 3 ... ( 1) 2048- -- + - + - = 
 ĐS: a) n C244, 6= = b) n = 9 ; 84 c) n = 8; x
41120 d) n = 10; x26210 
 e) n = 11; x1022 
Baøi 7: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: ( )53 3 2+ 
 b) Tìm số mũ n của biểu thức 
3
1
12
n
b
æ ö
+ç ÷
è ø
. Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và 
thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6? 
 c) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển 
15
1 .x
x
æ ö
-ç ÷
è ø
 d) Tìm số hạng chứa a7 trong khai triển 
12
3 23 2 .
64 3
a a
æ ö
+ç ÷
è ø
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
 Trang 39 
 e) Tìm số hạng giữa của khai triển 
10
3
5
1 .x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
 f) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: 
12
1 x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
. 
 g) Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển 
16
3 1 .x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
 ĐS: a) 25 .3.2 60C = b) n = 9 Þ T6 = ( )
5
45
9 3 32 2
1 126.C b
b b b
æ ö
ç ÷ =
ç ÷
è ø
 c) 56 15.T C= 
 d) 7 30924 .2 .a - e) 15 30 1516 30 . . .T C x y= f) 495. g) 1820. 
Baøi 8: Trong khai triển của nhị thức: 
21
3
3
a b
b a
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
, tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa 
giống nhau? 
 ĐS: Ta có: Tk+1 = 
21
321 3
. .
k k
k a bC
b a
-
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= 
21 21
3 6 2 6
21. .
k k k k
kC a b
- -
- -
 Þ 21 21
3 6 2 6
k k k k- -
- = - Þ k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T10 = 
5 5
9 2 2
21. .C a b 
Baøi 9: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau: 
 a) 104( ) .x x+ b) 
13
3
1 .x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
 ĐS: a) 2 6 7 10 1010 10 10, , .C x C x C x b) 
0 13 3 9 6 5 9
13 13 13 13, , , .C x C x C x C x 
Baøi 10: a) Tìm số hạng của khai triển 93( 3 2)+ là một số nguyên. 
 b) Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển 6( 3 15) .- 
 c) Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển 365 3( 3 7) .+ 
 d) Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển 1244( 3 5) .+ 
 ĐS: a) 4 104536, 8.T T= = b) 1 3 5 727, 2005, 10125, 3375.T T T T= = = = 
 c) 7 22 37, , .T T T d) 32 số hạng 
Baøi 11: a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển 13
1
n
a
a
a-
æ ö
+ç ÷ç ÷
è ø
 nếu 3 2: 4 :1.n nC C = 
 b) Trong khai triển (1 )nx+ theo lũy thừa tăng của x, cho biết : 
3 5
4 6
4
40
3
T T
T T
ì =ï
í =ïî
. Tìm n và x? 
 c) Trong khai triển 
4
1
n
a a
a
æ ö
+ç ÷
è ø
 cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 
44. Tìm n. 
 ĐS: a) 13 51314, 91 .n T a= = b) 
16, .
2
n x= = ± c) n = 11 
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 
 Trang 40 
Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp 
Baøi 1: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển na b( )+ ): 
 a) S C C C0 1 66 6 6...= + + + HD: Sử dụng: x
6(1 )+ , với x = 1 
 b) S C C C C0 1 2 2 5 55 5 5 52 2 ... 2= + + + + HD: Sử dụng: x
5(1 )+ , với x = 2 
 c) S C C C C0 1 2 20102010 2010 2010 2010...= + + + + HD: Sử dụng: x
2010(1 )+ , với x = 1 
 d) S C C C C0 1 2 2 2010 20102010 2010 2010 20102 2 ... 2= + + + + HD: Sử dụng: x
2010(1 )+ , với x = 2 
 e) S C C C C C C6 7 8 9 10 1111 11 11 11 11 11= + + + + + HD: Sử dụng: x
11(1 )+ , với x = 1 
 f) S C C C C16 0 15 1 14 2 1616 16 16 163 3 3 ...= - + - + HD: Sử dụng: x
16( 1)- , với x = 3 
 g) S C C C17 0 1 16 1 17 1717 17 173 4 .3 . ... 4= + + + HD: Sử dụng: x
17(3 4)+ , với x = 1 
Baøi 2: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển na b( )+ ): 
 a) nn n n nS C C C C
0 1 2 ... .= + + + + HD: Sử dụng: nx(1 )+ , với x = 1 
 b) nn n n nS C C C C
0 2 4 2
1 2 2 2 2...= + + + + HD: Sử dụng: 
nx 2(1 )- , với x = 1 
 nn n n nS C C C C
1 3 5 2 1
2 2 2 2 2...
-= + + + + 
 c) n nn n n nS C C C C
0 1 2 33 3 ... 3= + + + + HD: Sử dụng: nx(1 )+ , với x = 3 
 d) n nn n n nS C C C C
0 1 2 26 6 ... 6= + + + + HD: Sử dụng: nx(1 )+ , với x = 6 
 d) n nn n n nS C C C C
0 1 2 22 2 ... 2= + + + + HD: Sử dụng: nx(1 )+ , với x = 2 
Baøi 3: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển na b( )+ ): 
 a) n nn n n n n nC C C C C C
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2... ...
-+ + + = + + + HD: nx 2(1 )- , với x = 1 
 b) n nn n n nC C C C
0 1 2 2
2 2 2 2... 4+ + + + = HD: 
nx 2(1 )+ , với x = 1 
 c) 1 2 2 3 3 2 1 2 1 22 2 2 21 10. 10 . 10 . ... 10 10 81 .
n n n n
n n n nC C C C
- -- + - + - + = HD: nx 2(1 )- , với x = 10 
 d) 0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 23 3 ... 3 2 .(2 1)
n n n n
n n n nC C C C
-+ + + + = + 
 HD: n nx x2 2(1 ) (1 )+ + - , với x = 3 
 e) S C C C C
2004
0 2 2 4 4 2004 2004
2004 2004 2004 2004
3 12 2 ... 2
2
+
= + + + + = 
 HD: x x2004 2004(1 ) (1 )+ + - , với x = 2 
Baøi 4: Dùng đẳng thức (1 ) .(1 ) (1 )m n m nx x x ++ + = + , chứng minh rằng: 
 a) 0 1 1 2 2. . . ... . , .k k k m k m km n m n m n m n m nC C C C C C C C C m k n
- - -
++ + + + = £ £ 
 (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)). 
 b) 0 2 1 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ... ( ) .
n n
n n n n nC C C C C+ + + + = 
 c) 0 1 1 2 2 (2 )!. . . ... .
( )!( )!
k k k n k n
n n n n n n n n
n
C C C C C C C C
n k n k
+ + -+ + + + =
- +
Baøi 5: Tính giá trị các biểu thức A, B bằng cách tính A + B, A – B: 
a) A = 2 0 2 2 2 0 22 2 22 2 ... 2
n n n
n n nC C C
-+ + + B = 2 1 1 2 3 3 1 2 12 2 22 2 ... 2
n n n
n n nC C C
- - -+ + + 
b) A = n n nn n nC C C
0 2 2 4 42 2 2 ...- -+ + + B = n n nn n nC C C
1 1 3 3 5 52 2 .2 ...- - -+ + + 
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 
 Trang 41 
 HD: a) Ta có : nx 2(2 1)+ = ( )
22
2
0
. 2
n kn
k
n
k
C x
-
=
å . Thay x = 1 ta được A + B = 32n = 9n 
 Mặt khác, nx 2(2 –1) = 
n
k n k k
n
k
C x
2
2
2
0
.(2 ) .( 1)-
=
-å . Thay x = 1 ta được A – B = 1 
 Từ đó suy ra: A = n1 (9 1)
2
+ , B = n1 (9 1)
2
- 
 b) Khai triển nx(2 1)+ , với x = 1 Þ A + B = n3 
 Khai triển nx(2 1)- , với x = 1 Þ A – B = 1 
 Þ n nA B1 1(3 1), (3 1)
2 2
= + = - 
Baøi 6: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức nx2( 1)+ bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a 
là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó. 
 ĐS: a = 210. (HV hành chính QG, 2000) 
Baøi 7: Chứng minh: 
 a) k kkS C C C C C C C C
0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002
2002 2002 2002 2001 2002 2002 2002 1... ... 1001.2
-
-= + + + + + = 
 HD: a) Chú ý: k k kkC C C
2001
2002 2002 2001... 2002.
-
- = = 
 Þ S = k
k
C
2001
2001 2002
2001
0
2002 2002.2 1001.2
=
= =å 
Baøi 8: Tính các tổng sau (sử dụng đạo hàm của khai triển na b( )+ ): 
 a) S C C C C0 1 2 20102010 2010 2010 20102 3 ... 2011= + + + + HD: Lấy đạo hàm: x
2011(1 )+ , với x = 1 
 ĐS: 
Baøi 9: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển na b( )+ ): 
 a) n nn n nS C C n C n
1 2 11. 2. ... . .2 -= + + + = HD: nx(1 ) ¢é ù+ë û , với x = 1 
 b) n nn n nS C C n n C n n
2 3 22.1. 3.2. ... ( 1). .( 1)2 -= + + + - = - HD: nx(1 ) ¢¢é ù+ë û , với x = 1 
 c) n nn n nS