Nội dung ôn tập Chương IV Đại số 9

NỘI DUNG ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 9
------***------
Dạng 1: Hàm số và đồ thị của hàm số:
Bài 1: (Đã giải)
Bài 2: Cho hai hàm số (P): y = x2 và (d): y = 2x - .
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
x
-4
-2
0
2
4
y = x2
8
2
0
2
8
x
2
3
y = 2x - 
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	x2 = 2x - x2 – 2x – = 0 x2 – 4x – 3 = 0 (a = 1 ; b’ = -2 ; c = -3)
	∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.(-3) = 4 + 3 = 7 > 0
	Do ∆’ > 0 => Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
	x1 =  ; x2 = 
	+ Thay x1 = 2 + vào (P) ta được: y1 = (2 +) = 
	+ Thay x2 = 2 – vào (P) ta được: y2 = (2 –) = 
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (2 +; ) và (2 –; )
Bài 3 : 
	a) Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = -x + 2 trên cùng hệ trục tọa độ.
x
-2
-1
0
1
2
y = x2
4
1
0
1
4
x
0
1
y = -x + 2
2
1
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	x2 = -x + 2 x2 + x – 2 = 0 (3)
	Phương trình (3) có a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = 1 và x2 = = -2
	+ Thay x1 = 1 vào (P) ta được: y1 = 1
	+ Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = (-2)2 = 4
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (1; 1) và (-2; 4)
Bài 4 : Cho hàm số (P) : y = -x2 và (d) y = 3x + 2
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
x
-2
-1
0
1
2
y = -x2
-4
-1
0
-1
-2
x
0
1
y = 3x + 2
2
5
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	-x2 = 3x + 2 x2 + 3x + 2 = 0 (4)
	Phương trình (4) có a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = -1 và x2 = = -2
	+ Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = -1	+ Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -4
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (-1; -1) và (-2; -4)
Bài 5 : Cho hàm số (P) : y = -x2 và (d) y = x – 2.
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
x
-2
-1
0
1
2
y = -x2
-4
-1
0
-1
-2
x
0
1
y = x – 2
-2
-1
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	-x2 = x – 2 x2 + x - 2 = 0 
	Phương trình (5) có a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0 
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = 1 và x2 = = -2
	+ Thay x1 = 1 vào (P) ta được: y1 = -1	+ Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -4
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (1; -1) và (-2; -4)
Bài 6 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (D) y = x + 2.
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
x
-4
-2
0
2
4
y = x2
4
1
0
1
4
x
-2
0
y = x + 2
3
2
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (D) :
	x2 = x + 2 x2x – 2 = 0 x2 + 2x – 8 = 0
	(a = 1; b’ = 1; c = -8)
	∆’ = b’2 – ac = 12 – 1.(-8) = 9 > 0
	Do ∆’ > 0 => Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
	x1 =  ; x2 = 
	+ Thay x1 = 2 vào (P) ta được: y1 = 1	+ Thay x2 = -4 vào (P) ta được: y2 = 4
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (2; 1) và (-4; 4)
Bài 7 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (d) y = x + .
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
x
-6
-3
0
3
6
y = x2
12
3
0
3
12
x
-2
-0.5
y = x + 
0
0.5
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	x2 = x + x2 –x - = 0 x2 – x – 2 = 0
	(a = 1; b = 1; c = -8)
	Phương trình (7) có a – b + c = 1 + 1 + (-2) = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = -1 và x2 = = 2
	+ Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = 	+ Thay x2 = 2 vào (P) ta được: y2 = 
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (-1; ) và (2; )
Bài 8 : Cho hàm số (P) : y = x2 và (d) y = x + 1.
x
-4
-2
0
2
4
y = x2
-8
-2
0
-2
-8
x
-2
0
y = x + 1
3
1
	a) Vẽ đồ thị hai hàm số (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) :
	x2 = x + 1 x2 x – 1 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 (8)
	(a = 1; b = -3; c = 2)
	Phương trình (8) có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: x1 = 1 và x2 = = 2
	+ Thay x1 = -1 vào (P) ta được: y1 = 	+ Thay x2 = -2 vào (P) ta được: y2 = -2
	Vậy tọa độ các giao điểm cần tìm là : (-1; ) và (-2; -2)
	Dạng 2 : Giải phương trình bậc hai một ẩn.
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
	a/ 5x2 – 3x = 0 ĩ x(5x – 3) = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
	b/ 36x2 – 4 = 0 ĩ 36x2 = 4 ĩ x2 = ĩ x = . Vậy S = .
	c/ 3m2 – 8m + 5 = 0 ©
	(a = 3; b = -8; c = 5)
	* Phương trình © có: a + b + c = 3 + (-8) + 5 = 0 
	Nên 2 nghiệm của phương trình © sẽ là: x1 = 1 và x2 = . Vậy S = 
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
	a/ 7x2 – 5x = 0 ĩ x(7x – 5) = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 2x2 – 7x + 3 = 0 (a = 2 ; b = -7 ; c = 3) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0
	Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
	x1 = = 3 ; x2 = = . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 3 : Giải các phương trình sau :
	a/ x2 – 9 = 0 ĩ x2 = 9 ĩ x = 3. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 5x2 + x = 0 ĩ x(5x +) = 0 ĩ . Vậy S = .
	c/ x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1; b’ = -2; c = 4)
	∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.4 = 0. Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 2.
	Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 4 : Giải các phương trình sau :
	a/ 3x2 – 27 = 0 ĩ 3x2 = 27 ĩ x2 = 9 ĩ x = 3. Vậy S = .
	b/ 2x2 + 5x = 0 ĩ x(2x + 5) = 0 ĩ . Vậy S = .
	c/ 2x2 – 7x + 3 = 0 (a = 2 ; b = -7 ; c = 3)	∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0
	Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
	x1 = = 3 ; x2 = = . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	d/ x2 - 4x + 12 = 0 (a = 1 ; b’ = -2 ; c = 12) ∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.12 = 0. 
	Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = 2. Vậy S = .
Bài 5 : Giải các phương trình sau :
	a/ x2 – 25 = 0 ĩ x2 = 25 ĩ x = 5. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 4x2 + 5x = 0 ĩ x(4x + 5) = 0 ĩ . Vậy S = .
	c/ 4y2 + 12y + 9 = 0 (a = 4; b’ = 6; c = 9)
	∆’ = b’2 – ac = 36 – 4.9 = 0. Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép:
	y1 = y2 = = -1,5. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
d/ 5t2 – 3t – 8 = 0 (a = 5; b = -3; c = -8) 
	Phương trình đã cho có: a – b + c = 5 – (-3) + (-8) = 0.
	Nên 2 nghiệm của phương trình sẽ là: t1 = -1 và t2 = . Vậy S = 
Bài 6 : Giải các phương trình sau :
	a/ 3x2 – 27 = 0 ĩ 3x2 = 27 ĩ x2 = 9 ĩ x = 3. Vậy S = .
 b/ 7x2 – 5x = 0 ĩ x(7x – 5) = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
 c/ 5x2 – 4x – 9 = 0 (*) 
	(a = 5; b = -4; c = -9) Phương trình (*) có: a – b + c = 5 – (-4) + (-9) = 0
	 Nên 2 nghiệm của phương trình (*) sẽ là: x1 = -1 và x2 = . Vậy S = .
Bài 7 : Giải các phương trình sau :
	a/ 4x2 + 2x – 6 = 0 (**) (a = 4; b = 2; c = -6) Phương trình (**) có: a + b + c = 4 + 2 + (-6) = 0.
	Nên 2 nghiệm của phương trình (**) sẽ là: x1 = 1 và x2 = -1,5. Vậy S = .
	b/ 2x2 – 8 = 0 ĩ x = 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	c/ 3x2 – 6x = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 8 : Giải các phương trình sau :
	a/ 4x2 – 16 = 0 ĩ x = 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	b/ 2x2 + 3x = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	c/ 2x2 – 7x – 4 = 0 (a = 2; b = -7; c = -4) ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.2.(-4) = 49 + 32 = 81 > 0
	Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = = 4 ; x2 = = . 
	Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
Bài 9 : Giải các phương trình sau :
	a/ 7x2 – 12x + 5 = 0 (a)	Phương trình (a) có: a + b + c = 7 + (-12) + 5 = 0
	Nên 2 nghiệm của phương trình (a) sẽ là: x1 = 1 và x2 = . Vậy S = .
	b/ 9x2 – 1 = 0 ĩ x = . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	c/ 3x2 – 6x = 0 ĩ . Vậy tập nghiệm của phương trình là S = .
	Dạng 3: Biện luận về nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tham số m.
Bài 1: Cho phương trình ẩn x, tham số m: x2 – 2(m + 1)x + m2 = 0 (1).
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	x2 – 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)	(a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2)
	∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.m2 = m2 + 2m + 1 – m2 = 2m + 1.
	* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => 2m + 1 > 0 ĩ m > .
	* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => 2m + 1 = 0 ĩ m = .
	* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ 2m + 1 < 0 ĩ m < .
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 14.
* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 14 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14 ĩ [2(m + 1)]2 – 2m2 = 14 ĩ 4m2 + 8m + 4 – 2m2 = 14
ĩ 2m2 + 8m – 10 = 0 (t). Phương trình (t) có : a + b + c = 2 + 8 + (-10) = 0 nên 2 nghiệm của phương trình (t) sẽ là : m1 = 1 và m2 = -5 (loại).
	Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14.
Bài 2 : Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
	a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
	(a = 1 ; b’ = -(m + 1) ; c = m – 4). ∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.(m – 4) 
	= m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 – m + 5 = m2 – 2m + ()2 + 5 = (m - )2 + 5 0 với mọi m.
	b) Tính tổng và tích các nghiệm theo m.
Phương trình có nghiệm (câu a)
	* Điều kiện: 
	* Aùp dụng định lý Vi-ét ta có: 
Bài 3 : Cho phương trình : x2 + 4x + m + 1 = 0 (1).
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	x2 + 4x + m + 1 = 0 (1)	(a = 1; b’ = 2; c = m + 1) ∆’ = b’2 – ac = 22 – 1.(m + 1) = 3 – m.
	* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => 3 – m > 0 ĩ m < 3.
	* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => 3 – m = 0 ĩ m = 3.
	* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ 3 – m 3.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10.
* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 10 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 ĩ (-4)2 – 2(m + 1) = 10 ĩ m = (nhận) 
	Vậy khi m = thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (1)
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (1) (a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2 + m – 1)
	∆’ = b’2 – ac = [-(m + 1)]2 – 1.( m2 + m – 1) = m2 + 2m + 1 – m2 – m + 1 = m + 2
	* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => m + 2 > 0 ĩ m > -2.
	* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => m + 2 = 0 ĩ m = -2.
	* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ m + 2 -2.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 14.
* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 14 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 14 ĩ [-2(m + 1)]2 – 2m2 – 2m + 2 = 14 
ĩ 4m2 + 8m + 4 – 2m2 – 2m + 2 – 14 = 0 ĩ 2m2 + 6m – 8 = 0 (L)
	* Phương trình (L) có: a + b + c = 2 + 6 + (-8) = 0
	Nên hai nghiệm của phương trình sẽ là: m1 = 1; m1 = -4 (loại) 
	Vậy khi m = 1 thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 14.
Bài 5: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x – m2 – 4 = 0 (m là tham số).
	a) Chứng tỏ rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
	(a = 1 ; b = -2; c = -(m2 + 4))
	* Phương trình đã cho có: a = 1; c = -(m2 + 4), tức là a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
	b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x12 + x22 = 20.
Phương trình có nghiệm (câu a)
	* Điều kiện: 
	* Aùp dụng định lý Vi-ét ta có: 
	* x12 + x22 = 20 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 20 ĩ 4 – 2(-m2 – 4) = 20 ĩ 4 + 2m2 + 4 = 20 
	ĩ 2m2 – 12 = 0 ĩ m = . 
	Vậy khi m = thì phương trình đã cho sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 20.
Bài 6: Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0 (1).
	a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
	∆ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.(m + 1) = 4 – m – 1 = 3 – m.
	Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0 ĩ 3 – m > 0 => m < 3.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 26.
	* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 26 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 26 ĩ 42 – 2(m + 1) = 26 
	ĩ 16 – 2m – 1 = 26 ĩ m = (nhận) 
	Vậy khi m = thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 26.
Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 2x + m + 2 = 0.
	a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
	∆’ = b’2 – ac = (-1)2 – 1.(m + 2) = 1 – m – 2 = - m - 2
Để phương trình có nghiệm thì ∆’ 0 => -m – 2 0 ĩ m -2.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 10.
	* Điều kiện: * Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
	* x12 + x22 = 10 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 ĩ 4 – 2(m + 2) = 10 
	ĩ – 2m + 2 = 10 ĩ m = -4 (nhận) 
	Vậy khi m = -4 thì phương trình đã cho sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10.
Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham so thực: x2 – 10x – m2 = 0 (1).
	a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
	∆’ = b’2 – ac = (-5)2 – 1.(-m)2 = 25 – m2
Ta có: m2 0 với mọi m => 25 – m2 0 với mọi m.
Từ đó phương trình (1) sẽ có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 100.
Phương trình có nghiệm (câu a)
	* Điều kiện: 
	* Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
	* x12 + x22 = 100 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 100 ĩ 102 – 2[(-m)2] = 100 ĩ 100 – 2m = 100
	 ĩ m = 0 (nhận) 
	Vậy khi m = 0 thì phương trình đã cho sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 100.
Bài 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 – 4x + m = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
	x2 – 4x + m = 0 (1)
	(a = 1; b’ = -2; c = m)
	∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 1.m = 4 - m
	* Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0 => 4 – m > 0 ĩ m < 4.
	* Để phương trình (1) có nghiệm kép thì ∆’ = 0 => 4 – m = 0 ĩ m = 4.
	* Để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆’ 4 – m 4.
	b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10.
* Điều kiện: 	* Aùp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
* x12 + x22 = 10 ĩ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 ĩ 42 – 2m = 10 ĩ 6 – 2m = 0 ĩ m = 3.
	Vậy khi m = 3 thì phương trình (1) sẽ thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10.
--- Đề cương chỉ mang tính “soạn”, có gì sai sót xin báo lại ---