Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số

Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
A. Đặt vấn đề: 
	Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trường hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phương pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng, trong đó phát hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.
B. Nội dung cần truyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Dùng số 1 làm trung gian.
	a) Nếu > 1 và 	b) Nếu = 1 + M ; = 1 +N
 	mà M>N thì 
	M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho.
	* Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có "phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn.
	Ví dụ: 
	 = 1 + 	; 	= 1 + 	Vì > nên > 
c) Nếu = 1- M ; = 1 + N nếu M > N thì < 
	M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân số đã cho.
	* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn.
	Ví dụ:
 = 1 - ; = 1 + 
	Vì > nên < 
2. Dùng một số phân số làm trung gian.
	Ví dụ : So sánh và 
	Giải: Xét phân số trung gian ( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy:
	 > và > suy ra > ( tính chất bắc cầu)
	(Ta cũng có thể lấy phân số làm phân số trung gian).
b) Ví dụ : So sánh và 
	Giải: cả hai phân số và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số làm trung gian.
	Ta có: > = 
	 < = 
	Suy ra > 
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh
 a) và b) và ( nN*)
 Hướng dẫn: b) Dùng phân số (hoặc ) làm phân số trung gian.
 b) dùng phân số (hoặc ) làm phân số trung gian.
 Bài 2: So sánh 
 a) và b) và c) và 
 Hướng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị .
 Bài 3: So sánh:
 a) và b) và 
 Hướng dẫn: a) Hai phân số và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số làm trung gian .
 b) Hai phân số và đều xấp xỉ nên ta dùng phân số làm phân số trung gian .
 Baì 4: So sánh các phân số .
 A = ; B = ; C = 
 Hướng dẫn : Rút gọn A = .......= 1
 B = 1 + 
 	 C = 1 + 
 Từ đó suy ra : A < B < C.
 Bài 5: So sánh :
 A = và B = 
 Hướng dẫn : Rút gọn A = ......= = 1 + 	B = ......= = 1 + 
 Vì > nên A > B
 Bài 6: So sánh .
 a) và ; b) và 
 Hướng dẫn : 
 a) = = 1 - ; = 1 - 
 b) = 1 + = 1 + ; = 1 + 
 Bài 7: Cho a , b , m N*
 Hãy so sánh với .
 Hướng dẫn : Ta xét ba trường hợp =1 ; 1.
 a) Trường hợp : = 1 a = b thì = = 1
 b) Trường hợp : < 1 a < b a + m = b + m
 = 1 - ; = 1 - 
 c) Trường hợp : > 1 a > b a+m > b + m ...... Bài 8: Cho A =.
 Hãy so sánh A với B.
 Hướng dẫn: Dễ thấy Ao.
Bài 9:So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu.
 A = . B = .
 Hướng dẫn: Tử của phân số A 
 54.107-53 = (53 +1).107 - 53 =...
 Tử của phân số B 
 135.269-133= (134+1).269 - 133=...
Bài 10: So sánh:
 a, ()7 với ()6. b, ()5 với ()3.
 Hướng dẫn:
 a =(
 (.
 b, 
 .
 Chọn phân số làm phân số trung gian để so sánh.
Bài 11: Chứng tỏ rằng: .
 Hướng dẫn:
 Từ .
 =.
 Từ đó ta thấy:
 Có 15 phân số).
 (Có 15 phân số).
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.