Một số kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức

ra?
∈
≤
VÝ dô 1 : 
 (ĐH An ninh – Năm 1999) 
Lời giải. 
p dông B§T Bu-nhia-Cèpski cho hai bé sè (1; 1) vµ ( x; 1-x), ta ®−îc:
 x 1 x 2. x (1 x) 2+ − ≤ + − =
¸
(1) 
4 4
4 4 4
TiÕp tôc ¸p dông B§T Bu-nhia-Cèpski cho hai bé sè (1; 1) vµ ( x; 1-x), ta ®−îc:
 x 1 x 2. ( x 1 x ) 2. 2 2 2+ − ≤ + − ≤ =
(2) 
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña (1) vµ (2), ta cã ®pcm. 
4 4
x [0;1]
1
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x 1 x x .
2
x 1 x
∈

= − ⇔ =

= −
13 
 Cho a, b, c>0. Chøng minh:
a b c
 1
a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
VÝ dô 2 :
 (T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ 11/2004) 
Lêi gi¶i. 
2
p dông B§T Bu-nhia-cèpski cho hai bé sè ( a; b) vµ ( c; a ), ta cã:
 ( ac+ ab) (a b)(c a) ac ab (a b)(c a)
a ac ab a (a b)(c a)
≤ + + ⇒ + ≤ + +
⇒ + + ≤ + + +
¸
a a a
a (a b)(c a) a ac ab a b c
⇒ ≤ =
+ + + + + + +
 (1) 
T−¬ng tù, ta cã: 
b b
b+ (b+c)(b+a) a b c
≤
+ +
 (2) 
c c
c+ (c+a)(c+b) a b c
≤
+ +
 (3) 
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña (1), (2) vµ (3), ta ®−îc: 
a b c
1
a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. 
 Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c bÊt k×, ta cã:
 p-a p b p c 3p
trong ®ã a, b, c lµ c¸c ®é dµi ba c¹nh vµ p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c.
+ − + − ≤
VÝ dô 3 :
Lêi gi¶i. 
2 2 2 2 2 2
p dông B§T Bu-nhia-cèpski cho hai bé ba sè (1, 1, 1) vµ ( p-a, p-b, p-c), ta ®−îc:
 p-a p b p c 1 1 1 . ( p a ) ( p b) ( p c)
 = 3 p a p b p c 3 p
+ − + − ≤ + + − + − + − =
− + − + − =
¸
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi
p-a p b p c
 a b c
1 1 1
− −
= = ⇔ = =
☺ Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc 
2 2 2 2 2 2
 Víi a, b, c lµ ba sè d−¬ng tháa m·n ®¼ng thøc ab+bc+ca=abc. Chøng minh r»ng:
b 2a c 2b a 2c
 3.
ab bc ca
+ + +
+ + ≥
VÝ dô 1 :
 (§HQG Hµ Néi Khèi D - N¨m 2000) 
Lêi gi¶i. 
14 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Nh©n hai vÕ cña B§T víi abc>0, ta ®−îc:
 c b 2a a c 2b b a 2c 3abc
M b c 2a c a c 2a b a b 2b c 3abc
+ + + + + ≥
⇔ = + + + + + ≥
(1) 
Theo B§T Bu-nhia-cèpski, ta cã: 
2 2 2 2 2 2 2 1 3b c 2a c (bc) (ac) (ac) (bc ca ca) (bc 2ca)
33
+ = + + ≥ + + = + (2) 
T−¬ng tù, ta cã: 
2 2 2 2 3a c 2a b (ac 2ab)
3
+ ≥ + (3) 
2 2 2 2 3a b 2b c (ab 2bc)
3
+ ≥ + (4) 
Céng tõng vÕ cña (2), (3) vµ (4) ®i tíi: 
3
M .3(ab bc ca) 3abc (1) ®óng: ®pcm.
3
≥ + + = ⇒ 
2 2 2
2 2 2
 Cho x, y, z lµ ba sè d−¬ng vµ x+y+x 1. Chøng minh r»ng:
1 1 1
 x y z 82.
x y z
≤
+ + + + + ≥
VÝ dô 2 :
(§H, C§ Khèi A - N¨m 2003) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
Gäi S= x y z
x y z
1
p dông B§T Bu-nhia-cèpski cho hai bé sè (1; 9) vµ x; , ta cã:
x
+ + + + +
 
 
 
¸
2 2
2 2
9 1 1
x+ 1+81 x = 82 x 
x x x
≤ + + (1) 
T−¬ng tù, ta cã: 
2
2
9 1
y+ 82 y
y y
≤ + (2) 
2
2
9 1
z+ 82 z
z z
≤ + (3) 
Céng (1), (2) vµ (3) theo vÕ, ta cã: 
1 1 1
S. 82 x y z 9
x y z
 
≥ + + + + + 
 
1 1 1 1 1 1
hay S. 82 81(x y z) 9 80(x y z) 2.9.3. (x y z) 80 162 80 82.
x y z x y z
   
≥ + + + + + − + + ≥ + + + + − ≥ − =   
   
☺ Chó ý: Bµi to¸n nµy ta cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p täa ®é, sÏ tr×nh bµy ë phÇn sau. 
☺ BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c: 
a c c a a b
 Cho ABC. Chøng minh r»ng:
1 1 1
 (l l ) (l l ) (l l ) 3 3.
a b c
∆
+ + + + + ≤
VÝ dô :
 (Häc viÖn Kü thuËt Qu©n sù - N¨m 1997) 
15 
Lêi gi¶i. 
a a a b
c
A
2bc.cos b c A 1 1 A 1 1 B2Ta cã: l l 2 cos l 2 cos . T−¬ng tù, ta cã: l 2 cos ,
b c bc 2 b c 2 c a 2
1 1 C
l 2 cos . Céng tõng vÕ cña ba ®¼ng thøc trªn, ta ®−îc:
a b 2
+    
= ⇒ = ⇒ + = + =   +    
 
+ = 
 
( )b c c a a b1 1 1 A B C(l l ) (l l ) l l 2 cos cos cos
a b c 2 2 2
 
+ + + + + = + + 
 
(1) 
2 2 2
A B C
p dông B§T Bu-nhia-cèpxki cho hai bé sè (1; 1; 1) vµ cos ;cos ;cos , ta cã:
2 2 2
A B C A B C
cos cos cos 3 cos cos cos
2 2 2 2 2 2
 
 
 
 
+ + ≤ + + 
 
¸
( )b c c a a b
9 3 9 3 3 3 3 3
 (cosA cosB cosC) . v× cosA+cosB+cosC
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: (l l ) (l l ) l l 3 3
a b c
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ABC ®Òu. 
 ≤ + + + ≤ + ≤ ≤ 
 
+ + + + + ≤
∆
(2) 
☺ Chó ý: Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy b»ng c¸ch sö dông B§T Cauchy hoÆc dïng ph−¬ng ph¸p ®¹o hµm 
kÕt hîp víi B§T Jensen. 
 Bµi tËp tù luyÖn: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
 Chøng minh: a-1 b 1 c 1 c(ab 1), víi mäi sè thùc d−¬ng a, b, c 1.
xyz(x+y+z+ x y z ) 3 3
 Cho x, y, z>0. Chøng minh .
(x y z )[(x y z) (x y z )] 18
Cho a, b, c >0 vµ tháa m·n abc=1
+ − + − ≤ + ≥
+ + +≤
+ + + + − + +
Bµi 1 :
Bµi 2 :
Bµi 3 : 
3 3 3
2 2
1 1 1 3
. Chøng minh: 
a (b c) b (c a) c (a b) 2
 Cho x>0, y>0 vµ x y x y. Chøng minh: x+3y 2+ 5.
+ + ≥
+ + +
+ ≤ + ≤Bµi 4 :
Dạng 3: Phương pháp dùng dấu của tam thức bậc hai: 
2C¬ së cña ph−¬ng ph¸p lµ biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc ë gi¶ thiÕt vÒ d¹ng chøa f(x)=ax bx c (a 0).
§Ó xÐt dÊu tam thøc bËc hai f(x), ta th−êng viÕt nã d−íi d¹ng chÝnh t¾c
b
 f(x)=a x
2
+ + ≠
+
2 22
2 2
b 4ac b
a x
a 4a 2a 4a
   
− ∆   
− = + −      
         
DÊu cña biÖt thøc ∆ DÊu cña f(x) 
∆ 0, x R∀ ∈ 
∆ = 0 b b
af(x)>0, x - ; f(- )=0
2a 2a
∀ ≠ 
16 
∆ > 0 
Ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2 
1 2
1 2
af(x)<0, x (x ; x )
af(x)>0, x (- ; x ) (x ; + )
∀ ∈
∀ ∈ ∞ ∪ ∞
Tãm l¹i, viÖc sö dông c¸c ®Þnh lý thuËn vµ ®¶o cña tam thøc bËc hai, xö lý ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm 
cña biÖt thøc ∆,  tá ra tiÖn lîi khi chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc mµ nã ®· ®−îc nhËn d¹ng. 
ë ®©y nh¾c l¹i c¸c tÝnh chÊt sau ®Ó tiÖn sö dông: 
2 0* f(x)=ax bx c 0, x R
a>0
∆ ≤
+ + ≥ ∀ ∈ ⇔ 

2 0* f(x)=ax bx c 0, x R
a<0
∆ ≤
+ + ≤ ∀ ∈ ⇔ 

2* f(x)=x a a; x; a+ ≥ ∀ ∀ 2* f(x)=b-x b; x; b≤ ∀ ∀ 
2 2 2 2
 Chøng minh r»ng víi 5 sè a, b, c, d, e bÊt k×, bao giê ta còng cã:
 a b c d a(b c d e).+ + + ≥ + + +
VÝ dô 1 :
 (§Ò 15/II - Bé ®Ò tuyÓn sinh) 
(1) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2 2 2(1) a (b c d e)a b c d e 0⇔ − + + + + + + + ≥ (2) 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
VÕ tr¸i lµ tam thøc bËc hai theo a cã biÖt thøc:
 =(b+c+d+e) 4(b c d e ) 0, b, c, d, e
Do B§T Bu-nhia-cèpski, ta cã:
 (1.b+1.c+1.d+1.e) (1 1 1 1 )(b c d e )
VËy (2) ®óng víi a, b,
∆ − + + + ≤ ∀
≤ + + + + + +
∀ c, d, e, suy ra (1) ®óng.
2 2 2Chøng minh r»ng: 5x 5y 5z 6xy 8xz 8yz 0 víi mäi sè x, y, z kh«ng ®ång thêi b»ng 0.+ + + − − >VÝ dô 2 : 
Lêi gi¶i. 
Xem vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ mét tam thøc bËc hai cña x, cßn y, z lµ nh÷ng tham 
sè, ta ®−îc mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc hai mµ x lµ Èn sè: 
f(x, y, z) = 5x2 + 2(3y - 4z)x + 5y2 + 5z2 - 8yz > 0 (1) 
' 2 2 2 2 2
x
'
x
' 2 2 2
y
' '
y x
(3y 4z) 5(5y 5z 8yz)=-16y 16zy 9z .
Xem lµ mét tam thøc bËc hai cña y, cßn z lµ tham sè,
 64z 9.16z 80z .
1. NÕu z 0 th× 0 : Do ®ã 0 víi mäi y. Tõ ®ã suy ra r»
∆ = − − + − + −
∆
∆ = − = −
≠ ∆ < ∆ <
' 2
x
'
x
ng PT (1) nghiÖm ®óng víi mäi x.
2. NÕu z=0 th× 16y .
a) NÕu y 0 th× 0. Do dã PT (1) nghiÖm ®óng víi mäi x.
∆ = −
≠ ∆ <
2 2 2
2
b) NÕu y=0 th× v× x y z 0 nªn x 0.
 f(x, y, z)=5x 0
VËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®óng víi mäi x, y, z kh«ng ®ång thêi b»ng 0.
+ + > ≠
> 
2
2x ACho ABC. Chøng minh: x(cosB cosC) 2sin , x R.
2 2
∆ ≥ + − ∀ ∈VÝ dô 3 : 
Lêi gi¶i. 
2
2
2
2 2 2
x
x A
XÐt tam thøc: f(x)= x(cosB cosC) 2sin . Ta cã:
2 2
A B C B C A
(cosB cosC) sin 2 cos cos 4sin
2 2 2 2
− + +
+ − ∆ = + − = − 
 
17 
2
2 2A B C =4sin cos 1 0
2 2
Do ®ã: f(x) 0, x R (®pcm).
− 
− ≤ 
 
≥ ∀ ∈
2 2 2a b c 2
Chøng minh r»ng nÕu ba sè a, b, c tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn
ab bc ca 1
4 4 4 4 4 4
th× - a , - b , - c .
3 3 3 3 3 3
 + + =

+ + =
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
VÝ dô 4 : 
Lêi gi¶i. 
Xem hai ®¼ng thøc ®· cho lµ mét hÖ hai ph−¬ng tr×nh mµ b, c lµ hai Èn sè, a lµ tham sè. HÖ 
ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm. Tõ ®ã ta t×m ®−îc tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a. 
 Tõ gi¶ thiÕt, ta suy ra: 
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 
 = 2 + 2 = 4 
a+b+c=2
a+b+c=-2

⇔ 

HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ:
a+b+c=2 a+b+c=-2
 (I) ; (II) 
ab+bc+ca=1 ab+bc+ca=1
XÐt hÖ (I). Tõ PT thø nhÊt cña hÖ ta suy ra b+c=2-a. Thay vµo PT thø hai, ta ®−îc:
 bc+a(2-
 
 
 
2a)=1 bc=(a-1)⇔
2
2 2
b+c=2-a
HÖ (I) t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: 
bc=(a-1)
b,c lµ c¸c nghiÖm cña PT:
 x (2 a)x (a 1) 0.



− − + − =
2 2
PT nµy cã hai nghiÖm nªn 0
 =(2-a) 4(a 1) 0
∆ ≥
∆ − − ≥
23a 4a 0⇔ − + ≥ 40 a (1)
3
⇔ ≤ ≤ 
4
LËp luËn t−¬ng tù ®èi víi hÖ (II), ta ®−îc: - a 0 (2)
3
≤ ≤ 
4 4
Phèi hîp c¸c kÕt qu¶ (1) vµ (2), t a ®−îc: - a .
3 3
≤ ≤ 
V× a, b, c cã thÓ ®æi chç cho nhau trong hai ®¼ng thøc ®· cho nªn ta còng cã:
4 4 4 4
 - b vµ - c .
3 3 3 3
≤ ≤ ≤ ≤
 Bµi tËp tù luyÖn: 
2 2Chøng minh: (x+y) 2x 5 5y 4y 5 6, x,y R.≥ − + − ∀ ∈Bµi 1 : 
2 2 2 2 2 2 4 4 4
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× ta lu«n cã:
1
 a b b c c a (a b c )
2
+ + > + +
Bµi 2 : 
 Chøng minh r»ng víi mäi x R, ta ®Òu cã: 4sin3x+5 4cos2x+5sinx.∈ ≥Bµi 3 : 
18 
D¹ng 4: Ph−¬ng ph¸p ®¹o hµm 
I. KiÕn thøc cÇn nhí: 
1. §Þnh lý Lagrange: NÕu hµm sè y=f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b) th× 
tån t¹i mét ®iÓm c (a; b)∈ sao cho ' '
f(b) f(a)
f(b)-f(a)=f (c)(b a) hay f (c)
b a
−
− =
−
. 
2. TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè: 
1 2 1 2 1 2
Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh trªn K (K lµ kho¶ng (a; b) hoÆc ®o¹n [a; b])
* f(x) gäi lµ ®ång biÕn (t¨ng) trªn K nÕu: x , x K : x x f(x ) f(x ).
* f
∀ ∈ < ⇒ <
a) Kh¸i niÖm tÝnh ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn cña hµm sè :
1 2 1 2 1 2(x) gäi lµ nghÞch biÕn (gi¶m) trªn K nÕu: x , x K : x x f(x ) f(x ).
* TÝnh ®ång biÕn hay nghÞch biÕn ®−îc gäi chung lµ tÝnh ®¬n ®iÖu.
∀ ∈ 
/
Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b).
* NÕu f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng (a; b) th× f (x) 0, x (a; b)
* NÕu f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng (a; b) t
b) §iÒu kiÖn cÇn cña tÝnh ®¬n ®iÖu :
≥ ∀ ∈
/h× f (x) 0, x (a; b).≤ ∀ ∈
Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b).
c) §iÒu kiÖn ®ñ cña tÝnh ®¬n ®iÖu (dÊu hiÖu ®¬n ®iÖu) :
/
/ /
/
/ /
x (a; b): f (x) 0
* f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng (a; b).
f (x) 0 hoÆc f (x) 0 t¹i h÷u h¹n ®iÓm x 
x (a; b): f (x) 0
* f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng (a; b
f (x) 0 hoÆc f (x) 0 t¹i h÷u h¹n ®iÓm x 
∀ ∈ ≥
⇒
≠ =
∀ ∈ ≤
⇒
≠ =
).
☺ Chó ý: Trong dÊu hiÖu ®¬n ®iÖu, nÕu thªm gi¶ thiÕt f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× kÕt luËn m¹nh 
h¬n: f(x) ®ång biÕn (hay nghÞch biÕn) trªn ®o¹n [a; b]. 
3. Cùc trÞ cña hµm sè: 
0
/
0 0
0/
0 0
Gi¶ sö hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a; b) vµ x (a;b).
a) §Þnh lý 1:
f (x) 0 trªn (x ; x )
* x lµ ®iÓm cùc ®¹i cña f(x).
f (x) 0 trªn (x ; x + )
δ
δ
∈
 > −
⇒
<
/
0 0
0/
0 0
/
0//
/
0//
f (x) 0 trªn (x ; x )
* x lµ ®iÓm cùc tiÓu cña f(x).
f (x) 0 trªn (x ; x + )
b) §Þnh lý 2:
f (x) 0
* x lµ ®iÓm cùc tiÓu cña f(x).
f (x) 0
f (x) 0
* x lµ ®iÓm cùc ®¹i cña f(x
f (x) 0
δ
δ
 < −
⇒
>
 =
⇒
>
 =
⇒
<
).
II. VÝ dô minh häa: 
x x Cho n lµ sè tù nhiªn, n 1. Chøng minh r»ng: e 1 , víi mäi x>0.
n
≥ > +VÝ dô 1 : 
 (§HSP Quy Nh¬n - N¨m 1999) 
19 
Lêi gi¶i. 
[ )
[ )
x
/ x x 0
x
XÐt hµm sè f(x)=e 1 trªn nöa kho¶ng 0; + . Víi mäi x>0, n 1, ta cã:
n
1 1
 f (x) e >0 (v× e e 1 víi x>0, n 1)
n n
MÆt kh¸c dÔ thÊy hµm sè liªn tôc trªn 0; + . Do ®ã f(x) ®ång biÕn trªn nöa kho
− − ∞ ≥
= − > = > ≥
∞ [ )
x
x
¶ng 0; + .
VËy víi mäi x>0, n 1:
x
 f(x)=e 1 >f(0)=0
n
x
§iÒu ®ã chøng tá e 1 , x>0, n 1.
n
∞
≥
− −
> + ∀ ≥
☺ Chó ý: 1) Víi bµi to¸n nµy, ta còng cã thÓ xÐt hµm sè x
x
g(x)=e
n
− trªn nöa kho¶ng [ )0; +∞ , víi chó 
ý r»ng g(0) = 1. 
2) NÕu kh«ng sö dông tÝnh liªn tôc cña hµm sè, ta chØ cã thÓ kÕt luËn hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng 
(0; + )∞ . Khi ®ã ch−a thÓ cã bÊt ®¼ng thøc f(x) > f(0) víi x > 0. 
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n ≥ 3 ta ®Òu cã: 
 nn+1 > (n+1)n. 
(ĐH An ninh Khối A - Năm 2000) 
Lêi gi¶i. 
 n
n+1
 > (n+1)n (1) 
n+1 n
(n+1)lnn>nln(n+1)
ln(n+1) ln n
⇔ ⇔ > (2) 
/
2 2
1
ln x x.x ln x 1xXÐt hµm sè f(x)= víi x 3. Ta cã: f (x) 0 (Do x 3)
lnx ln x ln x
VËy f(x) ®ång biÕn nªn f(n+1)>f(n) (2): ®pcm.
−
−≥ = = > ≥
⇔
3x
1
2sinx tgx 2 Víi 0<x< . Chøng minh 2 2 2 .
2
pi +
+ >VÝ dô 3 : 
 (§H Y d−îc Tp. HCM - N¨m 1993) 
Lêi gi¶i. 
pi
2sinx tgx
12sinx tgx 2sinx tgx 2
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy, ta cã:
 2 2 2 2 .2 2
VËy ta chØ cÇn chøng minh:
2sin x tgx 3
 1 x 1 2sin x tgx 3x 0, x 0; 
2 2 2
XÐt hµm sè f(x)=2sin x tgx 3x
Ta cã
+
+
+ ≥ =
+  
+ > + ⇔ + − > ∀ ∈ 
 
+ −
¸
/
2 2
3
2
1 1
: f (x) 2 cosx 3 cosx cosx 3
cos x cos x
1
 3 cosx.cosx. 3 0 (B§T Cauchy).
cos x
= + − = + + −
≥ − =
pi pi
VËy f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng 0; . Suy ra f(x)>f(0)=0 hay 2sinx+tgx-3x>0, x 0; .
2 2
   ∀ ∈   
   
20 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
 Cho ba sè d−¬ng a, b, c tháa a b c 1. Chøng minh r»ng:
a b c 3 3
 .
b c c a a b 3
+ + =
+ + ≥
+ + +
VÝ dô 4 :
 (§H §µ N½ng - N¨m 2001) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2
2 2 2
2
BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi:
a b c 3 3 3 3
 (a b c )
1-a 1 b 1 c 3 3
2
Ta chøng minh nÕu 0<x<1 th× f(x)=x(1-x )
3 3
+ + ≥ = + +
− −
≤
/ 2 / 3Ta cã: f (x) 1 3x ; f (x) 0 x .
3
= − = ⇔ = ± 
x 
 0 3
3
 1 
f’(x) + 0 - 
f(x) 
2
3 3
0 0 
2 2
2
Tõ ®iÒu kiÖn a, b, c (0; 1) thay x=a, ta cã:
2 a 3 3
 a(1-a ) a 
1 a 23 3
∈
≤ ⇒ ≥
−
 (1) 
T−¬ng tù, ta cã: 2
2
b 3 3
b
1-b 2
≥ (2) 
2
2
c 3 3
c
1-c 2
≥ (3) 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña (1), (2) vµ (3), ta ®−îc:
a b c 3 3 3 3
 (a b c ) (Do a b c =1)
1-a 1 b 1 c 2 2
+ + ≥ + + = + +
− −
 Bµi tËp tù luyÖn: 
2
2
-x
-x 4
 Chøng minh r»ng c¸c bÊt ®¼ng thøc sau lu«n ®óng víi mäi x [0; 1] :
x
a) 1-x e 1-x+ 
2
e x
b) -x< 1 x
1+x 2(1 x)
∈
≤ ≤
≤ − +
+
Bµi 1 :
 (§H KiÕn tróc Hµ Néi - N¨m 2000) 
Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 3 th×: 
 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13. 
 (§HSP Vinh Khèi A, B - N¨m 2001) 
21 
Bµi 3: Cho c¸c sè x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x3 + y3 = 2. Chøng minh r»ng x2 + y2 ≤ 2. 
 (§H Ngo¹i th−¬ng - N¨m 1995) 
αα α α
3 3 3
3 3 3
 Chøng minh r»ng víi mäi x 0 vµ mäi >1, ta lu«n cã x 1 x. Tõ ®ã chøng minh
a b c a b c
r»ng víi ba sè d−¬ng a, b, c bÊt k×, ta cã: .
b c a b c a
≥ + − ≥
+ + ≥ + +
Bµi 4 :
 (§HQG Hµ Néi - N¨m 2001) 
a b c a b c
 Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 th×:
1 1 1 a b c
 3 .
3 3 3 3 3 3
 
+ + ≥ + + 
 
Bµi 5 :
 (Häc viÖn C«ng nghÖ BCVT - N¨m 2001) 
D¹ng 5: Ph−¬ng ph¸p täa ®é 
I. KiÕn thøc cÇn nhí: 
 Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy hay trong kh«ng gian Oxyz, ta chän täa ®é c¸c vect¬ (hay täa ®é 
cña ®iÓm) sao cho thÝch hîp víi ®Ò ®· cho råi ¸p dông c«ng thøc sau ®©y: 
1) a b a b .
§¼ng thøc x¶y ra a, b cïng ph−¬ng.
2) a b c a b c .
3) a.b a . b
§¼ng thøc x¶y ra khi a, b cïng ph−¬ng.
± ≤ +
± ± ≤ + +
≤
   
 
     
   
 
4) a.b a . b
§¼ng thøc x¶y ra khi a, b cïng h−íng.
≤
   
  
5) AB+BC AC, A, B, C n»m trong mÆt ph¼ng täa ®é.
§¼ng thøc x¶y ra khi A, B, C th¼ng hµng.
≥ ∀
II. VÍ DỤ MINH HỌA: 
2 2 2
2 2 2
 Cho x, y, z lµ ba sè d−¬ng vµ x+y+x 1. Chøng minh r»ng:
1 1 1
 x y z 82.
x y z
≤
+ + + + + ≥
VÝ dô 1 :
(§H, C§ Khèi A - N¨m 2003) 
Lêi gi¶i. 
2 2 22 2 2
 Víi mäi u, v ta cã: u v u v (*)
(V× u v =u +v +2u.v u + v +2 u . v =(u+v) )
1 1 1
§Æt a x; , b y; , c z; 
x y z
+ ≤ +
+ ≤
    
= = =    
    
     
           
  
C¸ch 1 :
22 
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
p dông B§T (*) ta cã a b c a b c a b c
VËy :
1 1 1 1 1 1
 P= x y z (x y z)
x y z x y z
1 1 1 1 1 1
Ta cã: (x y z) 81(x y z) 80(x y z)
x y z x y z
1 1 1
18(x y z) 80(x
x y z
+ + ≥ + + ≥ + +
 
+ + + + + ≥ + + + + + 
 
   
+ + + + + = + + + + + − + +   
   
 
≥ + + + + − 
 
        
¸
2y z) 162 80 82 (B §T Cauchy)
1
VËy P 82. §¼ng thøc x¶y ra khi x=y=z= .
3
+ + ≥ − =
≥
1 1 1
 §Æt a -x; 2 , b y; 2 , c z; 2
x y z
    
= = − = −    
    
  
C¸ch 2 : 
2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
Ta cã: P= x y z a b c (x y z) 18
x y z x y z
1 1 1
MÆt kh¸c, ta cã: (x y z)
x y z
1 1 1
= 9x 9y 9z 10(x y z) 18 10 (v× x+y+z 1)
x y z
Do ®ã P 8 18 82 (®pcm)
 
+ + + + + = + + ≥ + + − + + + 
 
+ + − + + =
    
+ + + + + − + + ≥ − ≤    
    
≥ + =
  
2 2 2 2 2 2
 Víi a, b, c lµ ba sè d−¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc ab+bc+ca=abc. Chøng minh r»ng:
b 2a c 2b a 2c
 3.
ab bc ca
+ + +
+ + ≥
VÝ dô 2 :
 (§HQG Hµ Néi Khèi D - N¨m 2000) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2 2 2 2
2
B§T cÇn chøng minh cã thÓ viÕt l¹i:
1 2 1 2 1 2
 3
a b b c c a
1 2 1 2 1 2
§Æt u ; , v ; , w ; 
a b b c c a
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2
Ta cã: u v w ; u v w
a b c b c a a b c
+ + + + + ≥
     
= = =          
     
   
+ + = + + + + ⇒ + + = + + +       
  
     
2
2 2 2 2 2 2
2 2
b c a
1 2 1 2 1 2
u , v , w
a b b c c a
p dông B§T u v w u v w
 
+ +  
 
= + = + = +
+ + ≤ + +
  
     
¸
23 
22 2
2 2 2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1
3
a b b c c a a b c b c a a b c
bc ca ab
 = 3 3 ®pcm.
abc
    
+ + + + + ≥ + + + + + = + + =         
+ + 
= ⇒ 
 
2 2 2 2 2 2
Cho x, y, z>0. Chøng minh r»ng:
 x +xy+y y yz z z zx x 3(x y z)+ + + + + + ≥ + +
VÝ dô 3 : 
 (Học viện Quan hệ Quốc tế - Năm 1997) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2 2 2 2
y 3 z 3 x 3
§Æt a x ; y , b y ; z , c z ; x
2 2 2 2 2 2
3 3
a b c (x y z); (x y z)
2 2
Ta cã: a x xy y , b y yz y , c z zx x
     
= + = + = +          
     
 
⇒ + + = + + + +  
 
= + + = + + = + +
  
  
  
2 2 2 2 2 2
vµ ta lu«n cã a b c a b c ®óng
VËy x +xy+y y yz z z zx x 3(x y z).
+ + ≥ + +
+ + + + + + ≥ + +
     
 Bµi tËp tù luyÖn: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
 Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c R, ta cã: a ab b a ac c b bc c .
 Cho a+b+c=1, ax+by+cz=4 (a, b, c 0). Chøng minh: 9a a x 9b b y 9c c z 5.
Chøng minh: (x-a) b (x c) d
∈ + + + + + ≥ + +
≠ + + + + + ≥
+ + − + ≥
Bµi 1 :
Bµi 2 :
Bµi 3 : 2 2(a c) ( b d ) .− + +
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
I. MỘT VÀI ĐỊNH NGHĨA. Đ ỊNH LÝ: 
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. 
x D
0 0
x D
0 0
f(x) M, x D
1) M= max f(x)
x D : f(x )=M
f(x) m, x D
2) m= min f(x)
x D : f(x )=m
∈
∈
≤ ∀ ∈
⇔ ∃ ∈
≥ ∀ ∈
⇔ ∃ ∈
2. Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) xác định trên một tập hợp D R⊂ . Ta nói rằng: 
a) Hàm số bị chặn trên trên tập hợp D nếu tồn tại một số M sao cho: 
 f(x) ≤ M với x D.∀ ∈ 
b) Hàm số bị chặn dưới tập hợp D nếu tồn tại một số m sao cho: 
 f(x) ≥ m với x D.∀ ∈ 
c) Hàm số bị chặn trên tập hợp D nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới trên D. 
Dễ dàng thấy rằng: 
Hàm số f(x) (xác định trên tập hợp D) là bị chặn trên D khi và chỉ khi tồn tại một số dương M sao cho 
 f(x) M, víi x D.≤ ∀ ∈ 
Ta thừa nhận hai tính chất quan trọng của các hàm số liên tục: 
24 
3. Định lý 1: Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì bị chặn trên đoạn này. 
☺ Chú ý: Định lý 1 không còn đúng nữa nếu hàm số f(x) có điểm gián đoạn thuộc [a; b] hoặc nếu 
trong định lý, đoạn [a; b] được thay bằng khoảng (a; b) (hoặc (a; b], hoặc [a; b)). 
4. Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên 
đoạn này, tức là tồn tại ít nhất một điểm 1x [a; b]∈ sao cho 1f(x) f(x ), víi x [a;b]≤ ∀ ∈ , 
và tồn tại ít nhất một điểm 2x [a; b]∈ sao cho 2f(x) f(x ), víi x [a; b].≥ ∀ ∈ 
Về hai điều kiện nêu trong giả thiết của định lý, ta cũng có chú ý tương tự như chú ý nêu sau định lý 1. 
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC 
MỘT BIỂU THỨC: 
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi và đánh giá