Một số Chuyên đề môn Toán THCS - Phần: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp chứng minh bất đẳng thức
i/ dùng định nghĩa và tính chất
1/ Định nghĩa:
Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ “>”; “”; ”<”; “” thì ta bảo có một bất đẳng thức:
	A>B,	,	A<B, 	
Khi đó ta viết:
A>B A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất đẳng thức.
 (đọc là A lớn hơn hay bằng B) 
Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhưng khi phải cm một BĐT mà không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.
2/ Các tính chất của bất đẳng thức:
	1 Tính phản xạ: 
	2 Tính bắc cầu: và 
	3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực .
	Hệ quả:
	Chuyển vế đổi dấu: 
	Cộng hai BĐT cùng chiều: 
Ghi nhớ:Không được trừ hai BĐT cho nhau
	4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực 
	5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b (a và b cùng dấu)
	6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều
Ghi nhớ: Không được chia hai BĐT cho nhau.
Hệ quả:
3/ Ví dụ áp dụng:
	Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng
	Giải:
	a/ Ta luôn có:
	Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều phải chứng minh:
	b/ Ta có: 
	 Ngoài ra ta luôn có:
	 Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta:
	 Do đó:
	 Vậy: 
4/ Bài tập tự giải:
	Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng:
	Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng 
	Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì 
	Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý. Chứng minh rằng:
	Bài 5: Cho ba số dương x,y,z và x+y+z=4. Chứng minh rằng:
	Bài 6: Cho hai số dương x,y và . 
	Chứng minh rằng: 
	Bài 7: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện . 
	Chứng minh rằng: 
ii/ dùng phép biến đổi tương đương:
	1/ Đường lối chung:
	Để chứng minh đẳng thức là đúng bằng phương pháp biến đổi tương đương ta biến đổi:
	(1)
	(2)
	Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển nhiên đúng. Do đó kết luận (1) luôn đúng.
	2/ Ví dụ áp dụng:
	Cho hai số x, y sao cho . Chứng minh rằng: 
	Giải:
	Dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh, ta lần lượt có:
	Do nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng. Vậy (1) luôn đúng.
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức:
Bài 2: Cho hai số dương x,y. 
	Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ.
	Chứng minh rằng: 
Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho 
	Chứng minh rằng: 
Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có:
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có:
Bài 7: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Iii/ dùng BĐT trung gian:
1/ Phương pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:
	Cho hai số ta có BĐT Côsi sau: 
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y.
	Ta có thể cm như sau:
	Vì nên:
	Dấu “=” xảy ra 
2/ Ví dụ áp dụng:
	Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh rằng:
	Giải:
	Vì nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta:
	Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta
	Vậy: 
3/ Các bài tập tự giải:
	Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng:
Bài 2: Với . Chứng minh đẳng thức: 
	Bài 3:Cho và . Chứng minh rằng: 
iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác:
1/ Phương pháp chung:
Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác 
	Từ ba BĐT về tổng hai cạnh của một tam giác ta suy ra được ba bất đẳng thức về hiệu hai cạnh:
2/ Ví dụ áp dụng:
	Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có:
	Giải:
	áp dụng BĐT về ba cạnh a,b,c của một tam giác cho ta:
	Cộng ba vế của BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế cho ta:
	Vậy BĐT đã được chứng minh.
	3/ Bài tập tự giải:
	Bài 1: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: