Một số bài toán câu cuối trong đề thi vào lớp 10 - Đậu Thiết Hiếu

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10
Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức E = (với x là số tự nhiên) không là số nguyên.
Giải
Do x không là số tự nhiên nên:
(4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1 < 36x2 + 10x + 3 < (6x + 2)2 = 36x2 +24x + 4
 4x + 1 < 
 (2x + 1)2 < 4x2 + < 4x2 + 6x + 2 < (2x + 2)2
2x + 1 < < 2x + 2
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 < < x2 + 2x + 2 < (x + 2)2
 x + 1 < < x + 2
 x + 1 < E < x + 2, giá trị của E nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp.
Vậy E không phải là số nguyên.
Bài 2: Cho ba số thực a, b, c với abc 0 và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng: .
Giải
Ta có = + 
Với abc 0 và a + b + c = 0, ta có 
Suy ra 	(đfcm)
Bài 3: Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
S = là một số hữu tỉ.
Giải
Ta có (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0 và a – b 0, b – c 0, c – a 0.
Áp dụng kết quả bài 3, ta có = 
Do các số a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, nên S là số hữu tỉ.
Bài 4: Tính tổng gồm 2014 số hạng sau:
P = + +  + .
Giải
Mỗi số hạng của tổng có dạng:
 = = (n = 3, 4  , 2014)
Ta có P = + +  + 
Tổng có 2012 số hạng nên: P = = 
Bài 5: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
 = 
Giải
Từ = 
Nhân hai vế với 2, chuyển vế ta được:
(x - 2 + 1) + (y - 1 - 2 + 1) + (z - 2 - 2 + 1) = 0
Vậy các số thực phải tìm là x = 1; y = 2; z = 3.
Bài 6: Cho các số dương a, b, c với a c, , a + b = 
Chứng minh rằng: = 
Giải
Từ a + b = 
Suy ra 	a = - b = - (b dương)
	 = 
	b = - a = - (a dương)
	 = 
Thay a và b vào ,
ta được: = 	(đfcm)
Bài 7: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = = 2.
Chứng mnh rằng: = 
Giải
Đặt x = ; y = ; z = thì x2 + y2 + z2 = x + y + z = 2
(x + y + z)2 = 22 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 22
2(xy + yz + zx) = 22 – 2 = 2 xy + yz + zx = 1
1 + a = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z)
1 + b = xy + yz + zx + y2 = (y + z)(y + x)
1 + c = xy + yz + zx + z2 = (z + x)(z + y)
Do đó = 
 = = 	(đfcm)
Bài 8: Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn: = . 
Chứng minh rằng: = 
Giải
Vì 1 – b2 0; 1 – c2 0; 1 – a2 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có:
; 	; 	
Mà + + = + + 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a2 + b2 + c2 = 
Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa xy = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Giải
Áp dụng bđt Cosi ta có: ³ 2 (1)
3x + y ³ Û (2)
Từ (1) và (2) suy ra: P = ³ 6 Û P = ³ 
Vậy MinP = khi 
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với x > 0.
Giải
Với x > 0, ta có:
Bài 11: Cho A = 
 B = 
 Chứng minh rằng: B > A
Giải
Ta có: A = = 
 =
 = 
 = = - 1 + 11 = 10 (1)
Với mọi k ta có: 
Do đó: B = 
Từ (1) và (2) suy ra: B > A
Bài 12: Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 4. 
Chứng minh rằng 
Giải
Vì x + y + z = 4 nên suy ra x = 4 – (y + z)
Mặt khác: do x dương. (*)
Thay x = 4 – (y + z) vào (*) ta có: 
Luôn đúng với mọi x, y, z dương, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: y = z = 1, x = 2.