Một số bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
a.  85.12, 7 + 5.3.12, 7 b.  52.143 − 52.39 − 8.26
c.  97.13 + 130.0, 3 d.  86.153 − 530.8, 6
BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN
TÍCH
BÀI TOÁN CƠ BẢN
1. Tính nhanh:
Xem lời giải tại:
2. Tính giá trị các biểu thức sau:
a.  x2 + xy + x tại x = 77; y = 22
b.  x(x − y) + y(y − x) tại x = 53; y = 3
Xem lời giải tại:
3. Chứng minh rằng:
a.  n2(n + 1) + 2n(n + 1) ⋮ 6 ∀n ∈ Z.
b.  55n+1 − 55n ⋮ 54 ∀n ∈ N.
Xem lời giải tại:
4. Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = xn(x + 1) − xn − xn−1 (n ∈ N, n > 1).
Xem lời giải tại:
5. Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn: x(y + 1) − y = 1.
Xem lời giải tại:
a.  7x2 + 2x = 0 b.  2x(x − 9) + 5(x − 9) = 0
c.  2x3 − 4x2 + 2x = 0
d.  2x(3x − 1) − 3(1 − 3x) = 0
a.  1212 − 212 b.  20152 − 20142
c.  1252 + 372 − 252 − 72
a.  A = 236 − 136 chia hết cho 360
b.  B = 512 + 56 chia hết cho 650
6. Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: x(x − 2) − (2 − x)y − 2(x − 2) = 3.
Xem lời giải tại:
7. Biết x + 2y = 5, tìm giá trị của biểu thức: A = 7(x + 2y) + 3( − x − 2y) − x − 2y.
Xem lời giải tại:
8. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
9. Tính nhẩm
Xem lời giải tại:
10. Tính giá trị của biểu thức
a.  A = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 biết x + 2y = − 5
b.  B = 27y3 − 27y2x + 9yx2 − x3 biết y =
1
3
x
Xem lời giải tại:
11. Chứng tỏ rằng
Xem lời giải tại:
a.  A =
432 − 112
(36, 5)2 − (27, 5)2
b.  B =
973 + 833
180
− 97.83 
a.  x2 + 3x − 2x − 6 = 0 b.  x2 + 6x − x − 6 = 0
c.  x2 − 4x + 5x − 20 = 0 d.  x3 − 10x2 + 2x2 − 20x = 0
12. Tính giá trị của biểu thức
a.  A = 26x2 + y(2x + y) − 10x(x + y) biết x = 0, 25y
b.  B = 50y2 + x(x − 2y) + 14y(x − y) biết x + 6y = 9
Xem lời giải tại:
13. Tính giá trị biểu thức
Xem lời giải tại:
14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
a.  (n + 3)2 − (n − 1)2 chia hết cho 8
b.  (n + 6)2 − (n − 6)2 chia hết cho 24.
Xem lời giải tại:
15. Tính nhanh giá trị mỗi đa thức.
a.  x2 − 2xy − 4z2 + y2 tại x = 6; y = − 4; z = 45
b.  3(x − 3)(x + 7) + (x − 4)2 + 48 tại x = 0, 5 
Xem lời giải tại:
16. Tìm x: 
Xem lời giải tại:
17. Tìm x biết:
a.  x(2x − 7) − 4x + 14 = 0 b.  x(x − 1) + 2x − 2 = 0
c.  x + x2 − x3 − x4 = 0 d.  2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0
a.  (2x − 1)2 − 25 = 0
b.  8x3 − 50x = 0
c.  (x − 2) x2 + 2x + 7 + 2 x2 − 4 − 5(x − 2) = 0
Xem lời giải tại:
18. Với giá trị nào của x thì:
a.  f(x) = x3 − x2 + 3x − 3 > 0
b.  g(x) = x3 + x2 + 9x + 9 < 0
c.  h(x) = 4x3 − 14x2 + 6x − 21 < 0
d.  k(x) = x2(2x2 + 3) + 2x2 + 3 > 0
Xem lời giải tại:
19. Chứng tỏ đa thức sau vô nghiệm:
a.  f(x) = x2(x2 + 1) + x2(x + 3) + 3x + 3
b.  g(x) = x2(x2 − x + 1) + 5x2 − 5x + 5
Xem lời giải tại:
20. Tính x, biết
a.  4x2 − 25 − (2x − 5)(2x + 7) = 0
b.  2(x + 3) − x2 − 3x = 0
c.  x3 + 27 + (x + 3)(x − 9) = 0
Xem lời giải tại:
21. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
( ) ( )
a.  29 − 1 ⋮ 73 b.  56 − 104 ⋮ 9
a.  y(x − 2) + 3x − 6 = 2 b.  xy − x + 5y − 7 = 0
22. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
23. Tính nhanh
a.  2022 − 542 + 256.352
b.  6212 − 769.373 − 1482
c.  5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 
Xem lời giải tại:
24. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn các đẳng thức sau:
Xem lời giải tại:
25. Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 1680.
Xem lời giải tại:
26. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A = (2n − 1)3 − (2n − 1) luôn chia
hết cho 24.
Xem lời giải tại:
27. Tính nhanh:
a.  37, 5.6, 5 − 7, 5.3, 4 − 6, 6.7, 5 + 3, 5.37, 5
b.  452 + 402 − 152 + 80.45
c.  252 − 152
d.  872 + 732 − 272 − 132
( ) ( )
a.  2022 − 542 + 256.352 b.  6212 − 769.373 − 1482
c.  5 + 10 + 15 + . . . + 50
a.  x2 − 9 = 2(x + 3)2 b.  4x2 − 4x + 1 = (5 − x)2
c.  4x2 − 8x + 4 = 2(1 − x)(1 + x)
a.  A = n3 − 4n2 + 4n − 1 b.  B = n3 − 2n2 + 2n − 1
Xem lời giải tại:
28. Tính nhanh giá trị biểu thức:
a.  M = x2 + 4y2 − 4xy tại x = 18; y = 4
b.  N = 8x3 − 12x2y + 6xy2 − y3 tại x = 6; y = − 8
c.  P = x4 − 12x3 + 12x2 − 12x + 111 tại x = 11
Xem lời giải tại:
29. Tính nhanh: 
Xem lời giải tại:
30. Tính giá trị biểu thức sau:
a.  P = xy − 4y − 5x + 20 với x = 14; y = 5, 5
b.  Q = x2 + xy − 5x − 5y với x = − 5; y = − 8
c.  M = (x − 1)(x − 2)(x − 3) + (x − 1)(x − 2) + (x − 1) với x = 5
Xem lời giải tại:
31. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
32. Tìm n ∈ N để giá trị các biểu thức sau là số nguyên tố:
Xem lời giải tại:
a.  A =
432 − 112
(36, 5)2 − (27, 5)2
b.  B =
973 + 833
180
− 97.83
a.  4x2 − 25 − (2x − 5)(2x + 7) = 0
b.  x3 + 27 + (x + 3)(x − 9) = 0
c.  2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0
a.  x2 + 3x − 18 = 0 b.  8x2 + 30x + 7 = 0
c.  x3 − 11x2 + 30x = 0
33. Tính nhanh:
Xem lời giải tại:
34. Chứng minh giá trị của mỗi đa thức sau luôn không âm với mọi giá trị của
các biến.
a.  A = (x − y)2(z2 − 2z + 1) − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2
b.  B = (x2 + y2)(z2 − 4z + 4) − 2(z − 2)(x2 + y2) + x2 + y2
Xem lời giải tại:
35. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
36. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
37. Tìm nghiệm của đa thức:
a.  f(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6
b.  g(x) = (x2 + 1). |x − 2| − x2 − 1
Xem lời giải tại:
38. Tìm x, biết
a.  x2 + 3x − 18 = 0 b.  8x2 + 30x + 7 = 0
c.  x3 − 11x2 + 30x = 0
a.  2x2 − 2x = (x − 1)2
b.  x2 − 4 = 2(x + 2)2
c.  x2 + x
2
+ x2 + x − 6 = 0
d.  (x − 2)2 = (5 − 3x)2
Xem lời giải tại:
39. Biết x3 − x = 6 . Tính giá trị của biểu thức sau, A = x6 − 2x4 + x3 + x2 − x
Xem lời giải tại:
40. Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng B = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x + 9 là bình
phương của một số nguyên.
Xem lời giải tại:
41. Tìm x, biết
Xem lời giải tại:
42. Tìm x ∈ Z , biết
a.  x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0
b.  x2 + x x2 + x + 1 = 6
c.  2x3 − x2 + 3x + 6 = 0
d.  x2 − 4x
2
− 8 x2 − 4x + 15 = 0
Xem lời giải tại:
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
43. Rút gọn biểu thức
a.  A = (x − 2)2 + 2(x − 2)(2x + 2) + 4(x + 1)2
b.  B = x2 − 2x + 4 (x + 2) − (x + 1)3 + 3(x − 1)(x + 1)
c.  C = (x + y + z − t)2 − (t − x − y − z)2
Xem lời giải tại:
44. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a.  A = (5x − 2)2 − (6x + 1)2 + 11(x + 2)(x − 2) − 16(3 − 2x)
b.  B = x2 − 2 x4 + 2x2 + 4 − x2 + 2
3
+ 6x2 x2 + 2 − 10
c.  C = (3x + 2)3 − 18x(3x + 2) + (x − 1)3 − 28x3 + 3x(x − 1)
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN NÂNG CAO
45. Chứng minh rằng:
a. 719 + 720 + 721 ⋮ 57
b. 210
2
.850 − 327
7
⋮ 31
Xem lời giải tại:
46. Chứng minh rằng: a = b = c biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
Xem lời giải tại:
47. Cho A = x3 + y3 + z3 − 3xyz
a.  Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì A = 0
b.  Điều ngược lại có đúng không?
Xem lời giải tại:
( )
( )( ) ( ) ( )
48. Tìm các số tự nhiên n để:
a.  n3(n − 3) − 5(3 − n) là số nguyên tố.
b.  2(n − 2) − n4(2 − n) là số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
49. Tính giá trị của biểu thức:
A =
168 − 1
(2 + 1) 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1
Xem lời giải tại:
50. Tính:
a.  Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5 . Tính x3 + y3
b.  Cho x – y = 5 và x2 + y2 = 15. Tính x3 − y3
Xem lời giải tại:
51. Cho a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1; ac + bd = 0 . Chứng minh rằng ab + cd = 0.
Xem lời giải tại:
52. Tìm các hệ số nguyên a, b, c, d sao cho đa thức x4 + ax3 + bx2 − 8x + 4 viết
được dưới dạng bình phương của đa thức x2 + cx + d.
Xem lời giải tại:
53. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A = n3 + 3n2 − n − 3 ⋮ 8
( )( )( )( )
 Xem lời giải tại:
54. Chứng minh rằng:
a.  a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
b.  (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Xem lời giải tại:
55. Cho a + b + c = 0; a2 + b2 + c2 = 14.
Tính giá trị biểu thức: A = a4 + b4 + c4
Xem lời giải tại:
56. Chứng minh rằng giá trị mỗi biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá
trị của biến.
a.  A = (x − y)2 z2 − 2z + 1 − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2
b.  B = x2 + y2 z2 − 4z + 4 − 2(z − 2) x2 + y2 + x2 + y2
Xem lời giải tại:
57. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì
a.  m3 − m ⋮ 6
b.  m3 + 5m và m3 − 19m cũng luôn chia hết cho 6.
Xem lời giải tại:
58. Cho x2 + y2 + z2 = 10 . Tính giá trị của biểu thức
P = (xy + yz + xz)2 + x2 − yz
2
+ y2 − xz
2
+ z2 − xy
2
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Xem lời giải tại:
59. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.
Xem lời giải tại:
60. Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp biết tích của chúng là 120.
Xem lời giải tại:
61. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên với 
n ∈ Z.
a.  A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1
b.  B = n4 − 4n3 − 2n2 + 12n + 9
Xem lời giải tại:
62. Tìm n ∈ N để P = n3 − n2 − n − 2 là số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
63. Cho a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1
Tính giá trị biểu thức: A = a2015 + b2015 + c2015
Xem lời giải tại:
64. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức 
M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là bình phương của một số nguyên.
Xem lời giải tại:
65. Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng 
B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
66. Chứng tỏ rằng đa thức A = x2 + 1
4
+ 9 x2 + 1
3
+ 21 x2 + 1
2
− x2 − 31
luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x.
Xem lời giải tại:
67. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd với a, b, c, d là các số dương
thì a = b = c = d.
Xem lời giải tại:
68. Chứng minh rằng n6 + n4 − 2n2 chia hết cho 72.
Xem lời giải tại:
( ) ( ) ( )