Mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác

MỐI LIÊN HỆ GIỮA 
CÁC LOẠI HÌNH TỨ GIÁC
I/MỞ ĐẦU:
* Chương I “Tứ giác” ở hình học 8 là chương đặt nền móng đầy đủ cho việc nghiên cứu đa giác trong học hình học phẳng ở chương trình THCS. Nó hoàn thiện kiến thức về tam giác và cơ sở để mở rộng về đa giác nói chung.
* Để đạt hiệu quả cao khi sử dụng mối liên hệ giữa các loại hình tứ giác . HS phải hiểu chắc hệ thống kiến thức về chương tứ giác .
* Các em phải nắm vững những định nghĩa , tính chất , dấu hiệu nhận biết , lưu ý của từng loại hình tứ giác .
* Từ đó khi thêm hoặc bớt một điều kiện các em có thể dự đoán ngay loại hình mới và tìm cách để chứng minh .
 -Có thể dựa vào sơ đồ nhận biết các loại tứ giác 
 -Có thể dựa vào tính chất đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục của từng loại hình tứ giác) 
 - Nắm chắc hết các phương pháp để chứng minh 1 tứ giác là hình gì ?
 -Tìm các mối liên hệ của cùng một tiểu mục như : giữa định nghĩa với nhau , tính chất với nhau , dấu hiệu nhận biết với nhau . Để thấy sự giống nhau và khác nhau của từng loại hình tứ giác . Từ đó không nhầm lẫn khi chứng minh hoặc tìm điều kiện để hình này trở thành hình khác .
 SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC
 A.LÝ THUYẾT: Để giúp HS nắm đầy đủ các phương pháp chứng minh một tứ giác là hình gì , tôi xin giới thiệu bảng các phương pháp sau :
 1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG CÂN
 Chứng minh tứ giác là một hình thang có
 PP1) Hai góc kề một đáy bằng nhau .
 PP2) Hai đường chéo bằng nhau .
 PP3) Hai góc đối bù nhau .
 PP4) Đường nối các trung điểm của hai đáy là trục đối xứng .
 2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH
 Chứng minh tứ giác có
 PP1) Hai cặp cạnh đối song song .
 PP2) Hai cặp cạnh đối băng nhau từng đôi một .
 PP3) Các cặp góc đối bằng nhau .
 PP4) Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .
 PP5) Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau .
 PP6) Một tâm đối xứng .
 3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT
 Chứng minh tứ giác
 PP1) Là hình bình hành có một góc vuông .
 PP2) Có bốn góc bằng nhau .
 PP3) Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau .
 PP4) Là hình thang cân có một góc vuông .
 PP5) Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác
 4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI
 Chứng minh tứ giác
 PP1) Là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau .
 PP2) Có bốn cạnh bằng nhau .
 PP3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc .
 PP4) Có mỗi đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo đó .
 PP5) Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy .
 PP6) Có mỗi đường thẳng qua hai đỉnh đối nhau là một trục đối xứng của nó .
 5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH VUÔNG
 Chứng minh tứ giác
 PP1) Là hình thoi có một góc vuông .
 PP2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau .
 PP3) Là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau .
 PP4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc .
 PP5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối nhau , các đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối nhau .
B.ÁP DỤNG:
1.Phương pháp :Đường chéo của tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình .
 * Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.
Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì về đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông ?
 * Giải : 
 a) Vẽ 2 đường chéo AC,BD
 Ta có : (tính chất đường trung bình của tam giác )
 Vậy MNPQ là hình bình hành .
 b)- MNPQ là hình chữ nhật thì = 1v
 - MNPQ là hình thoi thì MN = MQ
 - MNPQ là hình vuông thì và AC = BD
2.Phương pháp :Vị trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình .
 * Cho,D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC. Chúng cắt các cạnh AC , AB theo thứ tự tại E và F .
 a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
 b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ?
 c)Nếuvuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
 * Giải :
 a) Ta có : (gt)	
	 (gt) Vậy AEDF là hình bình hành .
 b)Vẽ đường chéo AD
 Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác Â
 Vậy D là giao điểm của phân giác  và BC
 c) Nếu thì AEDF là hình chữ nhật
 Để AEDF là hình vuông thì : Â = 1v và AD là phân giácÂ
 3. Phương pháp : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình .
 * Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
 a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành .
 b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
 - Nếu ABCD là hình thoi thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
 - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
 - Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
* Giải :
 a) (Xem bài 1 phần a )
 b) - Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình bình hành (tương tự phần a)
 - Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD 
 Vậy MNPQ là hình thoi .
 - Nếu ABCD là hình thoi thì : hay = 1v
 Vậy MNPQ là hình chữ nhật .
	- Nếu ABCD là hình vuông thì : MN = MQ và = 1v
	 Vậy MNPQ là hình vuông .
 4. Phương pháp :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình .
 * Cho hình thang ABCD (). Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, AC, DC, BD .
 a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành .
 b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ?
 c) Khi MNPQ là hình vuông . Tính các góc của hình thang ABCD.
 * Giải :
 a) Ta có : ( tính chất đường trung bình của tam giác )
 Vậy MNPQ là hình bình hành
 b) Nếu ABCD là hình thang cân thì AD = BC 
 Vậy MNPQ là hình thoi .
 c) Khi MNPQ là hình vuông thì = 1v hay
	 nên = = 450 Do đó Â = = 1350
5.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình .
 * Cho cân tại A . Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC . Q là điểm đối xứng của P qua N .
 a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang .
 b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật .
 c)phải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông .
 * Giải :
 a) Ta có : (tính chất đường trung bình của tam giác )
 hay Vậy PMAQ là hình thang
 b) Ta có NA = NC (gt)
	 NP = NQ ( tính chất đối xứng)
 cân tại A nên AP cũng là đường cao , do đó ; hay = 1v
 Vậy APCQ là hình chữ nhật .
 c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành)
	 P = A (góc đối hình thoi )
 Do đó : Â = Vậy đều 
	- Nếu APCQ là hình vuông thì AP = PC (=) 
	Vậy vuông cân tại A
 6.Phương pháp :Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình và góc giữa 2 trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình .
 * Cho . Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G . Gọi I,J là trung điểm GB, GC .
 a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành .
 b) phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ?
 c) Nếu thì tứ giác EFIJ là hình gì ?
* Giải :
 a) Ta có : (tính chất đường trung bình của tam giác)
 Vậy EFIJ là hình bình hành .
 b) Để EFIJ là hình chữ nhật thì FJ = IE . Do đó BE = CF .
 Vậy cân tại A
 c) Nếu hay Vậy EFIJ là hình vuông .
* BÀI TẬP THAM KHẢO :
 \1. Cho, đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AC , D là điểm đối xứng với M qua I .
 a) Tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ?
 b) Nếu có Â = 900 thì tứ giác AMCD là hình gì ? Vì sao ?
 c) Tìm điều kiện của để AMCD là hình vuông ?
 2. Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo BD lấy E,K sao cho BE = DK .
 a) Chứng minh AKCE là hình bình hành .
 b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để AKCE là hình thoi ?
 3. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Vẽ đường thẳng qua B và song song AC , vẽ đường thẳng qua C và song song BD . Hai đường đó cắt nhau tại K .
 a)Tứ giác OBKC là hình gì ? Vì sao ?
 b) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông ?
 4. Cho tứ giác ABCD , các phân giác các góc Â, B,C,D cắt nhau tại M,N P,Q .
 a) Chứng minh tứ giác MNPQ có tổng các góc đối bù nhau . 
 b) Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
 c) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
 d) Nếu ABCD là hình thoi , hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
 5. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E,F là trung điểm AB, CD . AF cắt BC tại G , BF cắt AD tại H.
 a) Chứng minh ABGH là hình thoi .
 b) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để ABGH là hình vuông ?
 6. Cho hình thang ABCD () . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD , DA .
 a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành .
 b) Với điều kiện nào của hình thang ABCD thì MNPQ là hình thoi , hình vuông .
 7. Cho, gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC . gọi M,N,P,Q là trung điểm AD, AE, EF, FD .
 a) Chứng minh các tứ giác ADFE, MNPQ là hình bình hành .
 b) Khi có A = 1v thì ADFE, MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
 8. Cho có AA’, BB’,CC’ là các trung tuyến , Trọng tâm G . Trên tia đối của tia B’G lấy D sao cho B’D = B’G . Trên tia đối của tia C’G lấy E sao cho C’E = C’G .
 a) Chứng minh BEDC là hình bìng hành .
 b) Tìm điều kiện của để BEDC là hình chữ nhật ?
 c) Tứ giác BEDC có thể là hình vuông , hình thoi được không ? Vì sao ?
 9. Cho và H là trực tâm . Các đường thẳng vuông góc với AB tại B , vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D .
 a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành .
 b) Nếu có Â = 1v thì BDCH là hình gì ?
 c) Tìm điều kiện của để BDCH là hình thoi ?
 10. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N,P,Q là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD ,DA . Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt nhau tại E, F, G, H .
 a) Chứng minh EFGH là hình bình hành .
 b) Nếu ABCD là hình vuông thì EFGH là hình gì ? Chứng minh .