Luyện tập Hình học 8 - Bài 3: Hình thang cân

Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
BÀI 3: HèNH THANG CÂN 
1. Định nghĩa 
 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 
2. Tính chất 
 Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau. 
 Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau. 
3. Dấu hiệu nhận biết 
 Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. 
 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 
4. Bài tập 
Bài 1: Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ đường cao AH và BK. CMR: DH = CK. 
Giải 
Xét và có:AHD BKC  
   ch - gnhon
AD BC
AHD BKC
ADH BCK
 
   
 
 đpcmDH CK  
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng: 
 OA = OB và OC = OD. 
Giải 
Xét và có:ABC BAD  
  chung
AD BC
AB ABC BAD c c c
AC BD
 

     
 
    hay cân tại OBAC ABD OAB OBA OAB OA OB       
Xét và có:ACD BDC  
  chung
AC BD
CD ACD BDC c c c
AD BC
 

     
 
    hay cân tại OACD BDC OCD ODC OCD OC OD       
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE và CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang 
cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. 
Giải 
    cân tại AABC B C ABE ACF     
  Xét ABE và ACF có: chung, , A AB AC ABE ACF    
 ABE ACF g c g     cân tại AAE BF AEF    
KH
B
D C
A
O
B
D
C
A
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
 
0180
2
A
AFE AEF

   (1) 
Tam giác ABC cân tại A 
 
0180
2
A
ABC ACB

   (2) 
Từ (1) và (2)   AFE ABC  
Mà hai góc này lại ở vị trí đồng vị // EF BC 
Tứ giác BFEC có:   // EF và BC B C 
 là hình thang cânBFEC 
   BE là phân giác FBE EBC B ,    hai góc ở vị trí so le trongFEB EBC 
  cân tại FFBE FEB BFE EF BF      
Vậy BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. 
Bài 4: Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao 
điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy. 
Giải 
 Xét có: cân tại OOCD C D OCD OC OD      
nên O thuộc đường trung trực của CD (1) 
OA OD AD  , OB OC BC  mà OD = OC và AD = BC 
 thuộc đường trung trực của ABOA OB O   (2) 
Xét ACD và BDC có:  
  chung
AD BC
CD ACD BDC c c c
AC BC
 

     
 
    hay cân tại EACD BDC ECD EDC ECD     
 thuộc đường trung trực của CDEC ED E   (3) 
 thuộc đừng trung trực của AB
AC BD
AC EC BD ED EA EB E
EC ED
 
      
 
(4) 
Từ (1) (2) (3) và (4) là đường trung trực của hai đáyOE . 
Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB = a, đáy nhỏ CD = b, đường cao DH. 
a. Chứng minh rằng:  
1
2
HA a b  và  
1
2
HB a b  . 
b. áp dụng tính đường cao của hình thang cân có hai đáy bằng 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm. 
Giải 
Kẻ   // vì cùng vuông góc với ABCK AB CK DH  
E
F
B C
A
E
B
D C
O
A
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Hình thang CDHK có: CK // DH và CK = DHCD HK  
Xét AHD và BKC vuông tại H và K có:  
 
AD BC
AHD BKC ch cgv
DH CK
 
    
 
AH BK  
2AB HA HK BK HA CD     
   
1 1
2 2
HA AB CD a b     
   
1 1
2 2
HB AB HA a a b a b       
b.  
1 26 10
8
2 2
AH AB CD cm

    
Xét ADH vuông tại H: 2 2 2 2 2 2 217 8 225 15DH AD AH DH AD AH cm         
Bài 6: Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, DB là tia phân giác của góc 
D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm. 
Giải 
a. Gọi O DA CB  
 ADB CDB (BD là phân giác của góc D) 
 ABD CDB (hai góc so le trong) 
   cùng bằng ABD ADB CDB  
 cân tại DABD AD AB    3AB AD BC cm    
Xét OCD có: DB là đường phân giác đồng thời là đường cao 
  cân tại DOCD O C    mà  C B 
OCD là tam giác đều 2 6DC OD OC BC cm     
Chu vi của hình thang cân ABCD: 3 3 6 3 15ABCDC AB BC CD AD cm         
Bài 7: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = a, CD = b, AC vuông góc với BD. Tính độ dài đường cao 
BH của hình thang. 
Giải 
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC ở E. 
Tứ giác ABEC có: AB // CE nên ABEC là hình thang 
Lại có AC // BE và AB CE AC BE   
Mà cân tại BAC BD BE BD BDE     
 090
BE // AC
BD AC
BE BD DBE
 
   

KH
C
A
B
D
A B
O
D
C
EH C
A
D
B
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
BDE vuông cân tại B 
BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
2 2
AB CD a b
BH DH
 
    
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. 
a. BDEC là hình gì? vì sao? 
b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ? 
Giải 
a. Tam giác ABC cân tại A  
0180
2
A
B C

   (1) 
Tam giác ADE có: AD = AE 
 
0180
 cân tại A
2
A
ADE ADE AED

     (2) 
Từ (1) và (2)   mà hai góc này lại ở vị trí đồng vịB ADE  
BC // DE BDEC là hình thang  
Lại có:   BDEC là hình thang cânB C  
b. cân tại DDB DE BDE    DBE DEB  
   hai góc ở vị trí so le trongDEB CBE 
   là phân giác của DBE CBE BE B   
  cân tại EED EC CDE EDC ECD     ,    hai góc so le trongBCD EDC 
   là phân giác của BCD ECD CD C   
Vậy với BE và CD là phân giác của góc B và C thì BD = DE = EC. 
E
B C
A
D