Luyện tập Hình học 8 - Bài 2: Hình thang

Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
BÀI 2: HèNH THANG 
1. Định nghĩa 
 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. 
Nhận xét: 
 Tổng hai góc kề một cạnh bên của hình thang bằng 1800. 
 Hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. 
 Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. 
2. Hình thang vuông 
 Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 
3. Ví dụ 
Ví dụ 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD), biết rằng  3A D ,   030B C  . 
Giải 
       0 0 0 0 0 0180 3 180 4 180 45 3 3.45 135A D D D D D A D             
 
 
   
0
0 0 0 0
0
180
2 210 105 30 75
30
B C
B B C B
B C
  
       
  
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình 
thang. 
Giải 
Ta có:  1 2 cân tại CBC CD BCD B D     (1) 
BD là tia phân giác của góc D  1 2D D  (2) 
Từ (1) và (2)  1 1B D  
mà hai góc này lại ở vị trí so le trong AD // BC Tứ giác ABCD là hình thang  
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song 
song với BC, cắt cạnh AB và AC ở D và E. 
a. Tìm các hình thang trong hình vẽ. 
b. Chứng minh rằng hình thang BDEC có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên. 
Giải 
a. Ta có các hình thang: BCID, BCEI, BDEC. 
b.  1 2B B (vì BI là tia phân giác của góc B) 
 
2 1B I (hai góc so le trong) 
 
1 1 cân tại DB I BID DI DB      
 
2 1I C (hai góc so le trong) 
 
1 2C C (CI là phân giác của góc C) 
1
2
1
B
A
D
C
1
2
2
2
1
1
E
D
I
A
B
C
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
 
2 2 cân tại EI C CIE EI EC      
DE DI EI BD CE    . Vậy cạnh đáy DE bẳng tổng hai cạnh bên. 
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác BCD vuông cân tại 
B. Tứ giác ABDC là hình gì vì sao? 
Giải 
Tam giác ABC vuông cân tại A:   045ABC ACB  
Tam giác BCD vuông cân tại B:   045BDC BCD  
  045 mà hai góc này lại ở vị trí so le trongABC BCD   
AB // CD 
Tứ giác ABDC có: AB // CD và  090 là hình thang vuôngA ABDC  
Ví dụ 5: Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai cạnh đáy. 
Giải 
Kẻ CE // AD với E AB 
Hình thang AECD có hai cạnh bên AD // CE 
 và AD CE AE CD   
AD BC CE BC    
AB CD AB AE BE    
Xét tam giác BCE có: 
BC CE BE AD BC AB DC      (đpcm) 
Ví dụ 6:Hình thang vuông ABCD có   090A D  , 2AB AD cm  , 4DC cm . Tính các góc của hình 
thang. 
Giải 
Kẻ BE CD với E CD 
Hình thang ABED có hai cạnh bên AD // BE 
2 và 2AB DE cm AD BE cm     
4 2 2CE CD DE cm      
Xét tam giác BCE có:  02 và 90 vuông cân tại EBE CE cm BEC BEC     
  045C CBE   ,  0 0 0 0180 180 45 135B C     
Ví dụ 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm M của AD. Chứng 
minh rằng: 
a.  090BMC  
b. .BC AB CD  
Giải 
a. 1 2M M (hai góc đối đỉnh) 
 
2A D (hai góc so le trong) 
D C
AB
E
D C
A
B
C
E
D
A B
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Xét và có:AEM DCM  
 
 
 
1 2
2
M M
MA MD AEM DCM g c g
A D


      

 
 và ME MC AE CD   
 
1 2C C (CM là tia phân giác) 
 
2C E (hai góc so le trong) 
 
1 cân tại BC E BCE BE BC      
Tam giác BCE cân tại B nên BM là đường trung tuyến 
đồng thời là đường cao  090BMC  (đpcm) 
b. BC BE AB AE AB CD     (đpcm) 
Ví dụ 8: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 3cm, CD = 7cm, AD = 10cm. Gọi M là trung điểm của 
BC. Chứng minh rằng AM DM . 
Giải 
Gọi E AM DC  . Ta có: 
 
1B C (hai góc so le trong) 
  1 2M M (hai góc đối đỉnh) 
Xét và có:ABM ECM  
 
 
 
1
2 1
B C
BM CM ABM ECM g c g
M M


      

 
 và 3MA ME AB CE cm    
7 3 10DE DC CE cm      
Xét tam giác ADE có: AD = DE = 10cm cân tại DADE  
DM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao AM DM  (đpcm) 
2
1
1
B
M
A
ED C
2
1
2
2
1
E
BA
CD
M