Luyện tập Hình học 8 - Bài 1: Tứ giác

Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
BÀI 1: TỨ GIÁC 
1. Định nghĩa 
 Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng 
không cùng nằm trên một đường thẳng. 
 Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào 
của tứ giác. 
 Chú ý: Từ nay, khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi. 
2. Tổng các góc của một tứ giác 
 Tổng các góc trong một tứ giác bằng 3600. 
3. Góc ngoài của tứ giác 
 Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác. 
 Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng 3600. 
4. Ví dụ 
Ví dụ 1: Tính tổng các góc ngoài của một tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài). 
Giải 
Gọi A1, B1, C1, D1 là các góc ngoài tại đỉnh A, B, C, D 
Của tứ giác ABCD. 
 0
1 180A A  
 0
1 180B B  
 0
1 180C C  
 0
1 180D D  
           0 0 0 01 1 1 1 180 180 180 180A B C D A B C D            
        0 0 0 0 0 0 0 0180 180 180 180 720 720 360 360A B C D A B C D                . 
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA. 
a. Chứng minh rằng BD là trung trực của AC. 
b. Cho  0 0100 , 70B D  , tính Avà C . 
Giải 
a. AB = BC B nằm trên đường trung trực của đoạn AC (1) 
CD = DA D nằm trên đường trung trực của đoạn AC (2) 
Từ (1) và (2) BD là đường trung trực của đoạn AC. 
b. Xét ABD và CBD có: 
  chung
AB BC
BD ABD CBD c c c
AD CD
 

     
 
 A C  
1
1
1
1
A
B
C
D
100°70°
A
C
D B
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Xét tứ giác ABCD: 
            0 0 0360 360 2 360A B C D A C B D A B D             
 
    0 0 0 0 0 0 0 0360 360 100 70 360 170 190 95
2 2 2 2
B D
A C
    
       
Ví dụ 3: Tính các góc ngoài của tứ giác ABCD, biết rằng:    : : : 1 : 2 : 3 : 4A B C D  
Giải 
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc trong một tứ giác ta có: 
        0
0360 36
1 2 3 4 1 2 3 4 10
A B C D A B C D  
     
  
 036A  ,  0 02.36 72B   ,  0 03.36 108C   ,  04.36 144D   
Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc 
trong tại các đỉnh B và D. 
Giải 
Gọi  1 1 và A C là các góc ngoài tại đỉnh A và C 
 0
1 180A A  
 0
1 180C C  
     0 01 1 180 180A C A C      
    0360 A C B D     (đpcm) 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu 
vi của tứ giác đó. 
Giải 
Gọi O AC BD  
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 
OA OB AB  (1) 
OB OC BC  (2) 
OC OD CD  (3) 
OA OD AD  (4) 
Từ (1) (2) (3) và (4) ta có: OA OB OB OC OC OD OD OA AB BC CD AD           
 2 2 2 2 2OA OB OC OD AB BC CD AB OA OB OC OD AB BC CD AD                
 2
2
ABCDCAC BD AB BC CD AD AC BD         (*) 
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: AC AB BC  (5), AC AD CD  (6) 
BD BC CD  (7) 
BD AB AD  (8) 
1
1
A
B
C
D
O
A
B
C
D
Biờn soạn: Phựng Thế Ngoại Mobile: 0944 260 811 
Từ (5) (6) (7) và (8) ta có: AC AC BD BD AB BC AD CD BC CD AB AD           
   2 2 ABCDAC BD AB BC CD AD AC BD AB BC CD AC AC BD C               (**) 
Từ (*) và (**)
2
ABCD
ABCD
C
AC BD C    (đpcm) 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối. 
Giải 
Gọi O AC BD  
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 
OA OD AD  (1) 
OB OC BC  (2) 
Từ (1) và (2) OA OD OB OC AD BC      
AC BD AD BC    (đpcm) 
Ví dụ 7: Tứ giác ABCD có AD = BC. Các đường trung trực của AB và CD cắt nhau ở E. Chứng minh rằng 
 EAB EDC . 
Giải 
E thuộc đường trung trục của AB cân tại EEA EB ABE    
E thuộc đường trung trực của DC cân tại EED EC CDE    
 
xét và có:ADE BCE
AE BE
AD BC ADE BCE c c c
DE CE
 
 

      
 
 AED BEC  
     AED DEB BEC DEB AEB CED      
Các tam giác cân ABE và CDE có hai góc ở đỉnh bằng nhau 
Nên hai góc ở đáy bằng nhau  EAB EDC  (đpcm) 
O
A
B
C
D
E
A
B
D
C