Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Hoành Sơn (Có hướng dẫn chấm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ GIỚI THIỆU
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm : 01 trang
Câu 1 (2 điểm):
	a) Giải phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0
	b) Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (3 điểm):
	1) Rút gọn biểu thức: 
	2) Cho hàm số (d) ( m là tham số). Tìm m để đường thẳng d và các đường thẳng ; đồng qui tại một điểm.
	3) Cho phương trình: 
a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm.
b) Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 3 (1 điểm):
	Một xí nghiệp sản xuất được 120 sản phẩm loại I và 120 sản phẩm loại II trong thời gian 7 giờ. Mỗi giờ xí nghiệp sản xuất được số sản phẩm loại I ít hơn số sản phẩm loại II là 10 sản phẩm. Hỏi mỗi giờ xí nghiệp sản xuất được bao nhiêu sản phẩm mỗi loại.
Câu 4 (3 điểm): 
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MPBC (PBC). Chứng minh: .
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b là hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2. Chứng minh: .
=========== Hết ===========
HƯỚNG DẤN CHẤM
Câu
Đáp án
Điểm
1a
Giải phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0. Phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = .
1.0
1b
Giải hệ: 
1.0
2.1
Ta có  
0.25
P = 
0.25
=
0.5
2.2
Đường thẳng: (d) cắt các đường thẳng (d1); (d2) 
Tọa độ giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) là nghiểm của hệ: 
Đường thẳng (d); (d1) và (d2) đồng qui tại một điểm khi và chỉ khi đường thẳng d đi qua ( -1; -2) 
Vậy m = 0.
0.25
0.25
0.25
0.25
2.3
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
	.
	Phương trình có nghiệm .
b) Ta có 
Theo Vi-ét ta có : ; .
Vì Vậy Bmin = 0 khi m = 1
0.25
0.25
 0.25
0.25
3
Gọi x là số sản phẩm loại I mà xí nghiệp sản xuất được trong 1 giờ(x > 0). 
0.25
Suy ra số sản phẩm loại II sản xuất được trong một giờ là x + 10.
Thời gian sản xuất 120 sản phẩm loại I là (giờ)
Thời gian sản xuất 120 sản phẩm loại II là (giờ) 
Theo bài ra ta có phương trình: (1)
0. 5
Giải phương trình (1) ta được x1 = 30 (thỏa mãn); x2 = (loại). 
0.125
Vậy mỗi giờ xí nghiệp sản xuất được 30 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II.
0.125
4
0.25
a
a) Ta có:(gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.
0.75
b
b) Tứ giác CPMK có (gt). 
Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp(1). 
Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: (cùng chắn ) (2).
Từ (1) và (2) suy ra (3)
0.25
0.25
0.25
0.25
c
Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp. 
Suy ra: (4). Từ (3) và (4) suy ra .
Tương tự ta chứng minh được . 
Suy ra: MPK∆MIPMI.MK = MP2 MI.MK.MP = MP3. 
Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (5) 
- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).
Lại có: MP + OH OM = R MP R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (6). 
Từ (5) và (6) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
0.25
0.25
0.25
0.25
5
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
Ta có: = (1) (bđt Côsi)
 (bđt Cô si)Þ (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: 
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2 Û a = và b = 
0.25
0.25
0.25
0.25
(Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)