Toán học - Rèn luyện kĩ năng giải toán về đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
TRÒN
VÌ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG
THẲNG
1. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm và một điểm A cách O là 13cm. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
Xem lời giải tại:
2. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Chứng minh rằng AC là
tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA.
Xem lời giải tại:
3. Cho điểm M ở ngoài (O ; R), qua M ta kẻ cát tuyến MAB qua tâm O và cát tuyến
MCD. Kẻ tiếp tuyến MT. Chứng minh rằng:
a.  MA.MB = MC.MD = MT2
b.  ΔMTC  ∼  Δ MDT.
Xem lời giải tại:
4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối
xứng với B qua H. Đường tròn có đường kính là EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng
HK là tiếp tuyến của đường tròn.
Xem lời giải tại:
5. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Bˆ = 900) có 
^
CMD = 900, với M là trung điểm
AB. Biết AB = 2.a.
a.  Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
b.  Tính tích BC.AD theo a.
Xem lời giải tại:
6. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường
tròn, A là tiếp điểm. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Qua O kẻ đường thẳng vuông
góc với BM, cắt d tại N. Xác định vị trí của M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
7. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) thỏa mãn OA = 3R, kẻ hai tiếp tuyến
AM và AN với đường tròn , M và N là hai tiếp điểm. Qua E thuộc cung nhỏ MN, kẻ
tiếp tuyến thứ ba với đường tròn (O) cắt AM và AN lần lượt tại H và K. Tính chu
vi tam giác AHK theo R.
Xem lời giải tại:
8. Cho điểm O cách đường thẳng (d) là 4cm. Vẽ đường tròn (O ; 5cm).
a.  Chứng minh rằng đường tròn (O) có hai giao điểm với đường thẳng (d).
b.  Gọi hai giao điểm nói trên là B và C, tính độ dài BC
Xem lời giải tại:
9. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây MN vuông góc với OA tại trung
điểm I của OA. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng OA tại E. Tính
độ dài IE theo R.
Xem lời giải tại:
10. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB; Qua điểm M nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến cắt
Ax và By tại D và E với DE không song song với AB. Vẽ đường tròn tâm I đường
kính DE. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I)
Xem lời giải tại:
11. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Xem lời giải tại:
12. Cho đường tròn tâm O. Điểm K nằm bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O). Tiếp tuyến
của (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
a.  Tam giác KBC và tam giác OBE đồng dạng với nhau.
b.  CK  ⊥  OE.
Xem lời giải tại:
13. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính
AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A ; AH). Tiếp tuyến của đường tròn
tại D cắt AC tại E.
a.  Chứng minh rằng tam giác BEC cân.
b.  Gọi I là hình chiếu của A lên BE. Chứng minh rằng AI = AH.
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của (A ; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE.
Xem lời giải tại:
14. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Đường tròn tâm I đường
kính BH cắt AB tại M. Đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại N. Gọi O là
giao điểm của AH và MN. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của (I) tại M, là tiếp
tuyển của (K) tại N.
Xem lời giải tại:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
15. Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').
b.  Dây AN của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại M. Chứng minh rằng AM =
MN.
Xem lời giải tại:
16. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A và B. Kẻ một cát tuyến chung của hai đường tròn đi qua A cắt (O) tại D và
(O') tại E. Chứng minh rằng BD = BE.
Xem lời giải tại:
17. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD của hai đường tròn, trong đó A và C thuộc (O); B và D thuộc (O'). Tiếp
tuyến chung của hai đường tròn là GH cắt AB và CD theo thứ tự ở E và F; G thuộc
(O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
18. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại A. Qua A vẽ một
cát tuyến cắt hai đường tròn (O) và (O') lần lượt tại B và C. Kẻ các tiếp tuyến Bx
của đường tròn (O) và Cy của đườn tròn (O'). Chứng minh rằng Bx // Cy.
Xem lời giải tại:
19. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho hai điểm O và O'
cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB. Biết OA = 30cm, O'A = 26cm, AB = 48cm.
Tính độ dài OO'.
Xem lời giải tại:
20. Cho hai đường tròn (O) và (O') nằm ngoài nhau, AB và CD là hai tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn, đường thẳng AD cắt (O) tại điểm M, cắt (O') tại
điểm N. Chứng minh rằng AM = DN.
Xem lời giải tại:
21. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ cát tuyến CAD
và EAF (C và E thuộc (O), A và F thuộc (O')) sao cho AB là tia phân giác của 
^
CAF.
Hãy chứng minh rằng CD = CF.
Xem lời giải tại:
22. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai
đường thẳng cắt (O) và (O') lần lượt tại B và C (BC không song song với OO').
a.  Chứng minh OB và O'C song song với nhau.
b.  Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), đường kính CE của đường tròn (O').
Chứng minh rằng AB.CE = AC.BD.
Xem lời giải tại:
23. Cho ba đường tròn tâm O1, O2, O3 cùng có bán kính R và đôi một tiếp xúc
ngoài với nhau. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
Xem lời giải tại:
24. Cho (O' ; R') tiếp xúc trong với đường tròn (O ; R) sao cho điểm O nằm trên
(O'). Một dây cung AB của (O) di động và tiếp xúc với (O') tại C. Hãy xác định vị
trí của dây AB để AC2 + BC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ ĐƯỜNG
TRÒN
BÀI TẬP
25. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau, kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD (A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’)). Kẻ tiếp tuyến chung trong GH (G
thuộc (O); H thuộc (O’)). GH cắt AB, CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
26. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài nhau tại A, kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, trong đó B ∈ (O); C ∈ O ′ . OI cắt AB tại K, IO’ cắt AC tại H
a.  Tứ giác IKAH là hình gì?
b.  Tứ giác OBCO’ là hình gì? Tính chu vi của tứ giác OBCO’.
c.  Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn (O) (D ≠ A) , chứng minh rằng ba
điểm B, O, D thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
27. Cho ΔMAB. Vẽ đường tròn (O), đường kính AB cắt MA ở C cắt MB ở D. Kẻ AP
⊥CD, BQ⊥CD. Gọi giao điểm của AD với BC là H. Chứng minh:
a.  CP = DQ
b.  PD. DQ = AP. BQ
c.  QC. CP = PD. QD
d.  MH⊥AB
Xem lời giải tại:
28. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A. Gọi BC là một
đường kính của đường tròn, H và K là hình chiếu của B và C trên d. Chứng minh:
( )
a.  BA là tia phân giác của 
^
OBH
b.  Các đường tròn (B; BH) và (C; CK) tiếp xúc ngoài với nhau
c.  BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh các đường tròn (B; BH); (C; CK) và (A; AH) cùng đi qua một
điểm.
Xem lời giải tại:
29. Bán kính của đường tròn nội tiếp một tam giác bằng 2cm, tiếp điểm trên
một cạnh chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng 4cm và 6cm. Tính các cạnh còn lại
của tam giác.
Xem lời giải tại:
30. Cho ΔABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm
trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF. Chứng
minh rằng: 
^
BHE =
^
CHF 
Xem lời giải tại:
31. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là dây cung của nó. Kẻ tiếp
tuyến Ax và kẻ đường phân giác của 
^
CAx cắt đường tròn tại E và BC kéo dài tại
D. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh:
a.  Tam giác ADB cân
b.  OE // BD
c.  DI⊥AB
d.  Khi C chạy trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào
Xem lời giải tại:
32. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là
giao điểm CM và DN.
a.  Tính 
^
CEN
b.  Chứng minh: A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn.
c.  Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm B, D, E.
Xem lời giải tại:
33. Cho hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính cắt nhau tại A và B. Kẻ cát
tuyến chung DAE của hai đường tròn D ∈ (O); E ∈ O ′ . Chứng minh rằng 
BD = BE.
Xem lời giải tại:
34. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi
C là một điểm trên nửa đường tròn (O). Đường thẳng qua C vuông góc với IC cắt
các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N. 
a.  ΔCAI ∼ ΔCBN
b.  ΔABC ∼ ΔINC
Xem lời giải tại:
35. Cho đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Gọi AB và CD là các tiếp tuyến
chung ngoài trong đó A, C ∈ (O); B, D ∈ O ′ . Đường thẳng AD cắt (O) và (O’)
lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a.  Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b.  AE = DF.
Xem lời giải tại:
36. Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). AC = 40cm; BC = 48cm. Tính
khoảng cách từ O đến BC.
( )
( )
Xem lời giải tại:
37. Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); cạnh bên bằng b, đường cao 
AH = h. Tính bán kính của đường tròn.
Xem lời giải tại:
38. Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là trung điểm của BC. Giả
sử O nằm trong ΔAMC hoặc O nằm giữa A và M. Gọi I là trung điểm của AC.
Chứng minh rằng:
a.  Chu vi của ΔIMC lớn hơn 2R
b.  Chu vi của ΔABC lớn hơn 4R
Xem lời giải tại:
39. Cho ΔABC cân tại A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp ΔBIC
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O).
Chứng minh rằng 
AI
AK
=
HI
HK
.
Xem lời giải tại:
40. Cho ΔABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm (A) bán kính AH. Gọi
HD là đường kính của đường tròn (A; AH) tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA
tại E.
a.  Chứng minh ΔBEC cân
b.  Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh rằng AI = AH
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE
Xem lời giải tại:
41. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm
thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và
Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:
a.  AC. BD = AB2
b.  ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
42. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc
nửa đường tròn. H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới AB, vẽ đường tròn (M;
MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn M (C và D là các tiếp điểm khác
H).
a.  Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b.  Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC
+ BD không đổi.
c.  Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Xem lời giải tại:
43. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3 cm. Qua A kẻ một
đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự E và F (A nằm giữa E và
F). Vậy đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu.
Xem lời giải tại:
44. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến
với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường
tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.
a.  Chứng minh rằng ba điểm M, O, H thẳng hàng.
b.  Tứ giác AOBH là hình gì?
c.  Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào?
Xem lời giải tại:
45. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R) tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các
đường kính AOB, AO'C, dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung
điểm K của BC.
a.  Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b.  Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O'). Chứng minh rằng 3 điểm D, A, I
thẳng hàng.
c.  Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Xem lời giải tại:
46. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới
đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, N thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
47. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Kẻ
dây AD ⊥ BC tại I. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông
góc với BC, cắt BC tại H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a.  ΔEBF là tam giác cân
b.  ΔHAF là tam giác cân
c.  HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
48. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di
động trên đường thẳng d⊥OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,
C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a.  Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b.  Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c.  Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC là
nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải tại:
49. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kỳ thuộc cung BC không
chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí M
để DE có độ dài lớn nhất.
Xem lời giải tại:
50. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của
AC, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại điểm
thứ hai là F.
a.  Chứng minh BC // AE
b.  Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
c.  Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC và OI . Tính tỉ số 
^
BAC
^
BGO
.
Xem lời giải tại:
51. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, kẻ tiếp tuyến chung
ngoài MN với M ∈ (O) và N ∈ O ′ . Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là
điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a.  MNQP là hình thang cân
b.  PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c.  MN + PQ = MP + NQ
Xem lời giải tại:
52. Cho nửa đường tròn đường kính AB, qua điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn
dựng đường thẳng d là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của A, B lên d, H là hình chiếu của C lên AB. chứng minh rằng:
a.  C là trung điểm của đoạn thẳng EF.
b.  BC là tia phân giác của 
^
ABF
c.  CH2 = AE. BF
Xem lời giải tại:
( )
53. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ AB). Một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn
(O’) ở D. Kẻ OM⊥CD và O’N⊥CD.
a.  Chứng minh MN =
CD
2
b.  Gọi I là trung điểm của MN, Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I vuông
góc với CD đi qua điểm cố định khi cát tuyến CD qua A thay đổi.
c.  Nếu CD / /OO ′  thì tứ giác MOO’N là hình gì?
Xem lời giải tại:
54. Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm I nằm giữa A và O. Qua I kẻ dây
cung CD rồi kẻ AH, OE, BK vuông góc với CD. Đường thẳng OE cắt BH ở F. Chứng
minh:
a.  F là trung điểm của HB
b.  OE =
BK − AH
2
c.  AI. IK = IH. IB
Xem lời giải tại:
55. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn C ∈ (O); D ∈ O ′ .
a.  Tính số đo 
^
CAD
b.  Tính độ dài CD biết OA = 4, 5cm; O ′A = 2cm
Xem lời giải tại:
( )