Kĩ thuật sử dụng Cauchy

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY
I Bất đẳng thức Cauchy
 ta có : . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
+ Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dưới dạng ;
II Các kĩ thuật sử dụng
 1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Sử dụng dạng : hoặc 
 hoặc
Ví dụ 1: Cho là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
Giải
Ta có 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
.Đẳng thức xảy ra khi 
	Suy ra:
Đẳng thức xảy ra khi hay tan giác đó đều.
Ví dụ 2: Cho. Tìm GTNN của hàm số 
	Giải
	Ta có thì . Đẳng thức xảy ra khi 	 vì 
	Vậy khi 
	Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số 
	Giải
 thì đều dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy khi .
Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số với 
	Giải
	Ta có . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	Vậy khi 
	Ví dụ 5: Cho . Chứng minh rằng 
Giải
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không?
+ Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp:
1. Chứng minh BĐT dạng .
2. Trong bài toán tìm GTNN.
3. Tách thành các số hạng sao cho sau khi sử dung BĐT thì các biểu thức khử nhau chỉ còn lại hằng số
	BÀI TẬP
1. . Chứng minh rằng 	
Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho và Chứng minh rằng .
Cho và . Chứng minh rằng .
cho thỏa mãn . Tìm GTNN của .
Tìm GTNN của hàm số .
Cho và . Chứng minh rằng .
Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?.
Cho . Chứng minh rằng .
Cho và .Chứng minh rằng .
Chứng minh rằng 
Cho thỏa mãn và n là số nguyên dương . Chứng minh
2. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Sử dụng dạng ; 
Ví dụ 1:Cho .Chứng minh rằng 
Giải
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi 
Ví dụ 2. Cho . Chứng mnh rằng 
Giải
Ta có 
	Đẳng thức xảy ra khi 
	Đẳng thức xảy ra khi 
Do đó 
	Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy 
Ví dụ 3: Tìm GTLN của hàm số với 
Giải
Ta có 
( Chú ý : ta có )
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi 
Ví dụ 4: Tìm GTLN của hàm số với 
	Giải
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi 
( Tại sao ta lại phân tích ?)
	Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật này trong
	Chứng minh bất đẳng thức dạng 
Tìm GTLN
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng 
2. Cho và . Chứng minh rằng .
3.Cho và . Chứng minh rằng: .
	4. Cho a, b, c là 3 số thực dương chứng minh rằng :
i) 
ii) 
3. Kỹ thuật ghép đối xứng:
	Để ý : 	
Ví dụ 1: Trong chứng minh rằng 
	Giải
Trong tam giác thì nên ta có :
	 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có 
	Phần chứng minh còn lại dành cho bạn .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi 
	BÀI TẬP
	1. Chứng minh rằng 
	2. Chứng minh rằng 
	3. Chứng minh rằng 
4. Kỹ thuật đổi biến:
	Ví dụ mở đầu : Chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có 
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	Nhận xét: trong Ví dụ trên ta sử dụng tính chất bây giờ ngược lại nếu trong bất đẳng thức cần chứng minh có dạng thì liệu chúng ta có còn sử dụng được tính chất nêu trên nữa không?
	Ví dụ 1: Chứng minh rằng 
	Giải
	Để vận dụng được tính chất nêu trên thì ta phải gói gọn mẫu thành 1 biểu thức (1 chữ cái) còn tử là tổng hoặc hiệu của những biểu thức tính theo mẫu . Để làm việc này ta chỉ cần đặt như sau
	Đặt và bây giờ ta tính theo . Dễ thấy . 
Khi đó . Tương tự ta tính được 
,. Như vậy bất đẳng thức đã cho có thể viết lại
 . Bất đẳng thức này vừa được chứng minh xong !
	Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 
	Giải
	Đặt . Bất đẳng thức đã cho được viết lại :
 . Đến đây không khó để chứng minh 
	 và . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 
	Ngoài cách phân tích như trên ta có thể chứng minh như sau:
	Ví dụ 3: Chứng minh rằng và ta có 
	Giải
	Trong Ví dụ này với cách đặt như 2 ví dụ trên có lẽ không còn phù hợp. Tuy nhiên để ý số ta có liên hệ gì với bất đẳng thức ở Ví dụ 1 không ? Trong Ví dụ 1 bằng cách đặt và quy đồng biến đổi rút gọn ta được : vì bất đẳng thức này đúng với mọi nên ta có thể ràng buộc thêm để phát biểu thành bài toán mới hay . 
Vậy để giải quyết bài toán trong Ví dụ 3 đầu tiên ta đổi biến trong đó . Khi đó 
 vì . Cách chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1.
	BÀI TẬP
	1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với 
	2. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có 
	3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có 
	4. Cho thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	5. Cho tam giác ABC chứng minh rằng :
	6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
	7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: trong đó p là nửa chu vi.
5. Kỹ thuật cân bằng hệ số:
	Ví dụ 1: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	Giải
	Ta có . Suy ra . Vậy 
	Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi và do đó mâu thuẫn với giả thiết .
	Cách giải đúng là : 
Ta có 	 . Đẳng thức xảy ra khi 
	 . Đẳng thức xảy ra khi 
	 . Đẳng thức xảy ra khi 
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy khi 
Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có nhận xét: Vai trò của trong bài toán là như nhau nên dự đoán xảy ra khi . Bây giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng trong đó m là số dương sao cho đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 2: Cho . Chứng minh 
	Giải
	Phân tích ta sẽ sử dụng dạng: . Như vậy . Vấn đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy ra khi . Do đó ta sẽ tìm m sao cho và , dễ thấy là giá trị cần tìm. Ta giải bài toán như sau:
	Ta có 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Suy ra . 
Đẳng thức xảy ra khi 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu thì 
	Giải 
	Phân tích: 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Bây giờ ta cần chọn thỏa mãn . Giải hệ này ta được . Ta trình bày lại cách giải : Ta có:	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	Giải
	Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép trong đó . Tương tự
	; . 
Suy ra 	. Đến đây ta cần tìm sao cho và để ý đẳng thức xảy ra khi . Như thế ta tìm bằng cách giải hệ:
. 
Khi đó 
Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!!
	BÀI TẬP
	1. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	2. Tìm giá trị lớn nhất của 
	3. Cho . Chứng minh rằng 
	4. Cho . Chứng minh rằng 
	5. Cho . Chứng minh rằng 
6. Kỹ thuật ghép nhóm:
	Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ thuật cân bằng hệ số .
	Ví dụ 1: Cho . Chứng minh rằng 
	Giải 
	Ta có 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có 	 ( Hãy suy nghĩ vì sao có số ? )
	Suy ra 	
Đến đây không khó để chứng tỏ . Do đó ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có 	. Đẳng thức xảy ra khi mà ta dự đoán trong bài toán trên đẳng thức xảy ra khi nên 
	Do đó 	
	Suy ra 
	Đẳng thức xảy ra khi 
	BÀI TẬP
	1. Cho . Chứng minh rằng 
	2. Cho . Chứng minh rằng 
	3. Cho . Chứng minh rằng 
	4. Cho . Chứng minh rằng .
	5. Cho . Chứng minh rằng 
	6. Cho .Chứng minh rằng 
	7. Cho . Chứng minh rằng 
	8. Cho . Chứng minh rằng 
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOVSKI
	Dạng 1: 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 1: Cho . Chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có	
	Do đó 	
	 . Đẳng thức xảy ra khi 
 	Dạng 1 này có thể rìm thấy nhiều trong các sách tham khảo . 
	Dạng 2: với còn a, b tùy ý. Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 1: chứng minh rằng với 
	Giải
	Ta có 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có 
	Giải
	Ta có . Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 3: Chứng minh rằng .
	Giải
	Ta có 	. Đẳng thức xảy ra khi 
	Ví dụ 4: Chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có	
	Mặt khác . Từ đó suy ra điều phải chứng minh
	Ví dụ 5: Cho chứng minh rằng 
	Giải
	Ta có	 
	Công các bất đẳng thức lại ta được điều cần chứng minh.
	BÀI TẬP
	1. Cho . Chứng minh 
	2. Cho . Chứng minh 
	3. Cho . Chứng minh 
	4. Cho . Chứng minh