Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đường trung bình của tam giác

Hướng dẫn học sinh giải Một số bài toán liên quan đến đường trung bình của Tam giác
A. Đặt vấn đề 
Trong quá trình học tập bộ môn hình học học sinh lớp 8 còn bỡ ngỡ đối với các bài toán chứng minh và còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài tập Vì vậy việc cung cấp cho các em các bài toán mẫu , hướng dẫn các em đưa cho các em các bài toán cơ bản (bài toán gốc ) là việc làm hết sức cần thiết để các em làm quen và học hỏi 
Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã rút ra một số kinh nghiệm về việc “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đường trung bình của tam giác ”
B. Giải quyết vấn đề
I> Khai thác bài toán gốc 
 	. Bài toán 1-1 
 	Cho tam giác cân ABC (AB=AC) .Gọi M là trung điểm của đường cao AH, gọi D là giao điểm của cạnh AB với CM . Chứng minh : AB=3AD
A
B
C
M
H
D
E
=
= 
 	Nhận xét : Tam giác ABC cân (AB=AC)
Vậy đường cao AH đồng thời là đường gì ?
Dẫn đến HB=HC .Đã có H là trung điểm
ƒ
của BC . Muốn làm xuất hiện đường trung bình ta làm như thế nào? 
 ( Kẻ AH // CD hoặc gọi E là trung điểm của DB )
 	* Cách giải :
 +C1 : Kẻ HE // CD .Ta có : HE là đường trung bình của tam giác BDC nên EB=ED(1)
DM là đường trung bình của tam giác AEH nên DA=DE(2)
Từ (1) và (2) suy ra BE=ED=DA hay AB=3AD
+C2 : Gọi E là trung điểm của BD . Chứng minh AD=DE=EB
Trong bài toán trên nếu thay điều kiện tam giác cân ABC bởi tam giác bất kỳ và đường cao AH bằng đường trung tuyến ta có bài toán sau 
 2.Bài toán 1-2
A
B
D
I
M
C
// //
_
 _
 Cho tam giác ABC , trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của AM.D là giao điểm của CI và AB . Chứng minh :BD = 2 AD. 
Nhận xét
 Bài toán này dễ dàng đưa về bài 
toán 1 và cách giải hoàn toàn tương 
=
 = 
tự .
 Sau khi các em giải được bài toán này tôi mạnh dạn cho các em tiếp cận với các bài toán về tỷ số nhằm tạo hứng thú học tập và niềm vui đối với các em 
 3 . Bài toán 1-3
 Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB=3AE . Đoạn thẳng AM cắt CE tại I
a> Tính 
b> tính tỷ số giữa diện tích hai tam giác AIC và diện tích tam giác ABC 
A
B
C
M
I
E
K
// // 
 Nhận xét 
 Ta nhận thấy giả thiết bài toán là kết luận của bài toán 1 . Vậy liệu I có phải là trung điểm của AM không 
 Muốn tính ta chọn đoạn thẳng trung gian và đưa bài toán về bài toán 1
 Cách giải
a> Gọi K là trung điểm của EB .Ta có AE=EK=KB=
Nối KM .Ta có KM là đường trung bình của tam giác BEC nên 
EC =2KM (1)
EI là đường trung bình của tam giác AKM nên KM = 2 EI (2)
Từ (1) và (2) suy EC = 2.2.EI =4EI =>
b> Ta có : CI là trung tuyến tam giác ACM nên (1)
Mặt khác AM là trung tuyến tam giác ABC nên (2)
Từ (1)và(2) suy ra 
Vậy 
II> Các bài toán áp dụng tính chất của đường trung bình 
 1. Bài toán 2-1
P
A
B
C
E
M
N
D
 Cho đoạn thẳng AC và một điểm B nằm giữa A và C . Dựng các tam giác vuông cân ABD và BCE (vuông ở B và cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AD,DE,EC .Chứng minh rằng : Tam giác MNP vuông cân 
 Phân tích bài toán
 - Cần phân biệt khái niệm “điểm nằm giữa” và “điểm nằm chính giữa” để tránh nhầm lẫn 
-Xác định xem tam giác 
MNP vuông cân tại đâu (N)
-Muốn chứng minh tam giác MNP vuông cân tại N cần chứng minh điều gì ?( MNP =900 , MN=NP)
-Muốn chứng minh MN=NP cần chứng minh .điều gì ?
 Cách giải : 
Ta có MN là đương trung bình của tam giác DAE nên MN//AE,
AE=2MN .(1)
Tương tự NP là đương trung bình của tam giác EDC nên 
NP//CD , CD=2NP(2)
Xét △ABE và △DBC có : AB=BD (do △ABD cân )
 ABE = DBC =900 
 BE=BC (Do △EBC cân )
Vậy △ABE=△DBC (c.g.c)=>AE=DC (3)
Từ (1) ;(2);(3)suy ra MN =NP (*)
Mặt khác MNB=AEB( đồng vị )mà AEB=DCB
(△ BDC=△ BAE) Nên MNB =DCB 
Do Np//CD nên BNP = BDC 
A
B
C
M
P
N
K
E
I
Vậy MNB+BNP =MND=DCB+BDC=900(**)
Từ (*)và(**)suy ra △MNP vuông cân tại N
 2. Bài toán 2-2
I
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A . P là trung điểm của AB , trên cạnh AB lấy một điểm M . Gọi N là trung điểm của MC . E là giao điểm của đường thẳng qua B song song với AC Và đường thẳng qua A vuông góc với PN .Chứng minh rằng tam giác BME vuông cân 
 Cách giải
 Gọi K là trung điểm của BC . Ta có NK là đường trung bình của tam giác CMB suy ra : BM=2NK(1);
NK//AB 
 Gọi I là giao điểm của PK và AE .Do PK là đường trung bình cuả tam giác ABC nên PK//AC mà AC//BE nên PK//BE .Lại có PA=PB(gt) nên PI là đường trung bình của tam giác ABE :
PI//BE và BE=2PI (2)
Xét△APIvà △PKN ta có:AP=KP=AB:2
 API = PKN =900
 PAI=IPN (Vì PAI+APN=APN+IPN=900)
Vậy △API= △PKN (g.c.g)=>PI=NK (3)
Từ (1);(2);(3) Suy ra BM=BE(*)
Ta có MBE=BAC=900 (**)(do BE//AC)
Từ (*) và(**)suy ra tam giác BME vuông cân tại B
 3 . Bài toán 2-3
 Cho tam giác ABC ; M là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB=4AM . N là trung điểm của AC và D là một điểm nằm trên tia đối của tia CB sao cho BC=2CD 
A
B
C
D
N
Q
M
P
Chứng minh rằng 3 điểm M , N , P thẳng hàng 
 Cách giải
 Gọi P là trung điểm của AB .Ta có PA=PB=AB:2 . Mặt khác theo giả thiết AB=4AM => AB=4MA=4MP . NA=NC (gt) => MN là đường trung bình của tam giác APC nên MN//CP(1)
 Gọi Q là trung điểm của BC 
Xét△PBC và△ NQD có : NQ=PB=AB:2
 PBC=NQD(đồng vị )
 BC=QD 
Vậy △PBC= △NQD(c.g.c)=>PCB = NQD =>PC//ND(2)
Từ (1)và(2) suy ra M ,N,D thẳng hàng 
Nhận xét : Qua bài toán này củng cố kỹ năng chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng cách sử dụng tiên đề Ơclit
 - Bên cạnh việc cung cấp cho các em các bài tập sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác tôi còn hướng dẫn các em giải bài tập sử dụng tính chất đường trung bình áp dụng vào tam giác vuông 
 III> Tính chất đường trung bình áp dụng vào tam giác vuông 
 1 . Bài toán 3-1
 Cho tam giác cân ABC(AB =AC) phân giác BD .Qua D vẽ đường vuông góc với BD cắt BC ở E.Chứng minh rằng :BE=2CD
A
B
C
D
E
K
A
B
C
D
H
K
I
 Phân tích bài toán
 Để chứng minh BE= 2CD Ta tạo ra một đoạn thẳng bằng BE:2 Sau đó chứng minh đoạn thẳng này bằng CD
 Cách giải
Gọi K là trung điểm của BE . 
Trong tam giác vuông BDE có DK là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK=BE:2 (1)
 Lại có tam giác BKD cân nên KBD=BDK 
Mặt khác DKC =KBD + BDK =2 KBD =ABC=ACB 
Suy ra tam giác DKC cân tại D : DK =DC (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC=BE :2 hay BE=2CD
 2 .Bài toán 3-2 
 Cho tam giác ABC vuông ở A có AB<AC . Kẻ đường cao AH . trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HB=HD .Kẻ đoạn CI vuông góc với đường thẳng AD , Chứng minh tam giác AHI cân
 Cách giải 
 Ta có △ABD cân nên ABD =ADB .
 Lại có ACB+ABD =BCK+ADB =900 nên ACB=BCK
{
 Gọi K là giao điểm của CI và AH .Ta có tam giác ACK cân (phân giác CH đồng thời là đường cao )nên AH=HK=AK:2(1)
Trong tam giác vuông IAK có IH là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IH=AK:2 (2)
Từ (1) và(2) suy ra AH=HI hay tam giác AHI cân tại H
 C > Kết thúc vấn đề
 Sau khi hướng dẫn các em giải các bài toán liên quan đến đường trung bình tôi thấy các em nắm vững tính chất đường trung bình và biết cách giải bài toán hình bằng cách đưa về các bài toán cơ bản đã có trong sách giáo khoa .
 Trên đây là một ý kiến nhỏ bản thân tôi đưa ra chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết. Mong các quí thầy cô đồng nghiệp góp ý./.