Hình học 12 - Thể tích của khối lăng trụ

Vấn đề 	THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ 
DẠNG 1. Khối lăng trụ đứng và lăng trụ đều
B
A
C
D
A’
B’
C’
D’
A
B
C
A’
B’
C’
Chú ý: 
ü Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Do đó các cạnh bên cũng là chiều cao của lăng trụ đứng.
ü Lăng trụ đứng có các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
ü Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Do đó các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh và . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với , ; góc giữa mặt phẳng (C’AB) và mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (AA’C’C) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với , . Cho biết , tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (ABCD) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh . Khoảng cách giữa đường thẳng A’B’ và mặt phẳng (C’AB) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Giải
Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao .
Diện tích tam giác đều ABC.
A
B
A’
B’
C’
M
N
H
C
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và AB.
Trong kẻ tại H.
.
.
Vì nên 
.
Ta có là đường cao của tam giác đều A’B’C’ nên .
Trong vuông tại M có MH là đường cao nên: 
.
.
Chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là .
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: .
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với , , . Góc giữa mặt phẳng (C’BD) và mặt phẳng (ABCD) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
Giải
D
A
B
C
H
A’
B’
C’
D’
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng 
nên có chiều cao AA’.
Diện tích hình bình hành ABCD là: 
.
Trong kẻ .
.
Suy ra là góc giữa hai mặt phẳng (C’BD)
và (ABCD). Ta có .
Áp dụng định lí côsin trong , ta có:
.
Ta có .
Mà .
Trong vuông tại C, ta có:
.
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là .
Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là .
A
B
C
Ghi nhớ: 
Định lí côsin trong tam giác ABC.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh . Gọi M là trung điểm của AB; góc giữa đường thẳng MC’ và mặt đáy (ABC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
	KQ: 
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với , . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
	KQ: 
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có , , . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (B’AC) bằng , tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
	KQ: 
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với , . Góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
	KQ: 
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi với , . Cho biết tam giác O’AC vuông tại O’ (với O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’), tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
	KQ: 
DẠNG 2. Khối lăng trụ xiên
A
B
C
A’
B’
C’
D
D’
A
B
C
A’
B’
C’
Chú ý:
ü Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.
ü Các cạnh bên song song và bằng nhau. Do đó các mặt bên là những hình bình hành.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC; góc giữa cạnh bên AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với , . Cho biết , tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với , . Tam giác A’AC cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC); các cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh . Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho ; hai mặt phẳng (AB’I) và (BB’I) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cho biết , tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Bài 6. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với , . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy (ABCD) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo . 
GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với và . Góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
Giải
 B
A
C
M
G
A’
 B’
C’
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có . Suy ra AG là hình chiếu 
của AA’ trên mặt phẳng (ABC). Do đó 
là góc giữa đường thẳng AA’ và (ABC). 
Ta có .
Trong vuông tại G, ta có:
.
.
.
Trong vuông tại B, ta có 
	 	(1)
Trong vuông tại B, ta có 	(2)
Từ (1) và (2). Suy ra .
Suy ra .
Diện tích tam giác ABC vuông tại B là: .
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
.
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với , và . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
Giải
Ta có . Suy ra là chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
.
Trong vuông tại A, ta có .
 	.
A’
B
A
C
D
O
B’
C’
D’
Ta có .
Trong vuông tại O, ta có:
.
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
.
Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh ; góc giữa cạnh bên BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng . Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
	KQ: 
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với . Mặt bên (AA’C’C) vuông góc với mặt phẳng (ABC); cạnh bên và tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
	KQ: 
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với , . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC; góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo .
	KQ: 
Bài 4. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh . Hai mặt phẳng (B’AC) và (B’D’DB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa cạnh bên B’B và mặt phẳng (ABCD) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
	KQ: 
Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với , , . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC; các cạnh bên bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo .
	KQ: 
Ghi nhớ: Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác