Hệ thống kiến thức cơ bản môn: Hình học lớp 7; 8

HÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n
—²™
M«n : H×nh häc 
Líp : 7; 8
1. §­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iÓm cña nã ®­îc gäi lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy
b) Tæng qu¸t:
a lµ ®­êng trung trùc cña AB
ó 
a
I
B
A
2. C¸c gãc t¹o bëi mét ®­êng th¼ng c¾t hai ®­êng th¼ng
a) C¸c cÆp gãc so le trong:
; .
b) C¸c cÆp gãc ®ång vÞ:
; ;
; .
c) Khi a//b th× ; gäi lµ c¸c cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau
1
4
2
3
4
3
2
1
b
a
B
A
3. Hai ®­êng th¼ng song song
a) DÊu hiÖu nhËn biÕt
- NÕu ®­êng th¼ng c c¾t hai ®­êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau
b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt
c
b
a
- Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®­êng th¼ng chØ cã mét ®­êng th¼ng song song víi ®­êng th¼ng ®ã
b
a
M
c, TÝnh chÊt hai ®­êng th¼ng song song
- NÕu mét ®­êng th¼ng c¾t hai ®­êng th¼ng song song th×:
Hai gãc so le trong b»ng nhau;
Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau;
Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.
d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song
- Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau
c
b
a
- Mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai ®­êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng kia
c
b
a
e) Ba ®­êng th¼ng song song
- Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®­êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau
a//c vµ b//c => a//b
c
b
a
4. Gãc ngoµi cña tam gi¸c
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tam gi¸c Êy
b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã
x
C
B
A
5. Hai tam gi¸c b»ng nhau
a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng nhau lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t­¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t­¬ng øng b»ng nhau
A
C'
B'
A'
C
B
b) C¸c tr­êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c
*) Tr­êng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh
(c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
C'
B'
A'
C
B
A
*) Tr­êng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh
(c.g.c)
- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
C'
B'
A'
C
B
A
*) Tr­êng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc
 (g.c.g)
- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
A
B
C
A'
B'
C'
c) C¸c tr­êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
Tr­êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
C'
B'
A'
C
B
A
Tr­êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
C'
B'
A'
C
B
A
Tr­êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
A
B
C
A'
B'
C'
Tr­êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
	C'
B'
A'
C
B
A
6. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c)
- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n
A
B
C
Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n
7. Quan hÖ gi÷a ®­êng vu«ng gãc vµ ®­êng xiªn, ®­êng xiªn vµ h×nh chiÕu
Kh¸i niÖm ®­êng vu«ng gãc, ®­êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®­êng xiªn
- :
- §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A ®Õn ®­êng th¼ng d
- §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®­êng th¼ng d
- §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®­êng xiªn kÎ tõ A ®Õn ®­êng th¼ng d
- §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña ®­êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d
d
B
H
A
Quan hÖ gi÷a ®­êng xiªn vµ ®­êng vu«ng gãc: Trong c¸c ®­êng xiªn vµ ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi mét ®­êng th¼ng ®Õn ®­êng th¼ng ®ã, ®­êng vu«ng gãc lµ ®­êng ng¾n nhÊt.
Quan hÖ gi÷a ®­êng xiªn vµ h×nh chiÕu: Trong hai ®­êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®­êng th¼ng ®Õn ®­êng th¼ng ®ã, th×:
§­êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n
§­êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n
NÕu hai ®­êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ ng­îc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®­êng xiªn b»ng nhau.
8. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c
- Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
C
B
A
- Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i.
VD: AB - AC < BC < AB + AC
9. TÝnh chÊt ba ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c
Ba ®­êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã c¸ch mçi ®Ønh mét kho¶ng b»ng ®é dµi ®­êng trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy:
G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC
G
D
F
E
C
B
A
10. TÝnh chÊt ba ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c
Ba ®­êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã
- §iÓm O lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC (líp 9)
O
C
B
A
11. TÝnh chÊt ba ®­êng trung trùc cña tam gi¸c
Ba ®­êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c ®ã
- §iÓm O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
O
C
B
A
12. Ph­¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n (sö dông mét trong c¸c c¸ch sau ®©y)
a) Chøng minh tam gi¸c c©n
Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®­êng trung tuyÕn võa lµ ®­êng cao
Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®­êng cao võa lµ ®­êng ph©n gi¸c ë ®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu
Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600
c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh
	1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh
	2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
	3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
	4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
	5. Tø gi¸c cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng lµ h×nh b×nh hµnh
d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang: Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song
e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n
	1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau
	2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau
f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt
	1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
	2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
	3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
	4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt
g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi
	1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau
	2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
	3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau
	4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®­êng chÐo lµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc
h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng
	1. H×nh ch÷ nhËt co hai c¹nh kÒ b»ng nhau
	2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc
	3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®­êng chÐo lµ ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc
	4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
	5. H×nh thoi cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau
13. §­êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang
a) §­êng trung b×nh cña tam gi¸c
 §Þnh nghÜa: §­êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c
 §Þnh lÝ: §­êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy
E
C
B
D
A
b) §­êng trung b×nh cña h×nh thang
 §Þnh nghÜa: §­êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang
 §Þnh lÝ: §­êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa tæng hai ®¸y
EF//AB, EF//CD, 
F
E
D
C
B
A
14. Tam gi¸c ®ång d¹ng
a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c: NÕu mét ®­êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t­¬ng øng tØ lÖ
C'
B'
a
C
B
A
b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt: NÕu mét ®­êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t­¬ng øng tØ lÖ th× ®­êng th¼ng ®ã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c
	VÝ dô: ; C¸c tr­êng hîp kh¸c t­¬ng tù
c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt
- NÕu mét ®­êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t­¬ng øng tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong tr­êng hîp ®­êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh cßn l¹i ()
C'
B'
a
C
B
A
C'
B'
a
C
B
A
d) TÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c: §­êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã
D'
C
B
A
D
C
B
A
e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng : Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c gãc t­¬ng øng b»ng nhau vµ c¸c c¹nh t­¬ng øng tØ lÖ
S
f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng: NÕu mét ®­êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c ®· cho
S
*) L­u ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi tr­êng hîp ®­êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i
a
N
M
C
B
A
g) C¸c tr­êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c
*)Tr­êng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
C'
B'
A'
C
B
A
S
*)Tr­êng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng
C'
B'
A'
C
B
A
S
*)Tr­êng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn l­ît b»ng hai gãc cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;
C'
B'
A'
C
B
A
S
h) C¸c tr­êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng
*)Tr­êng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th× chóng ®ång d¹ng;
C'
B'
A’
C
B
A
S
*)Tr­êng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng;
C'
B'
A'
C
B
A
S
*)Tr­êng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
S
15. TØ sè hai ®­êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng
	- TØ sè hai ®­êng cao t­¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng
	- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph­¬ng tØ sè ®ång d¹ng
S
	- Cô thÓ : 
	=> 
16. HÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)
 (Pi_ta_go)
bc = ah
a
H
h
b'
b
c'
c
C
B
A
17. DiÖn tÝch c¸c h×nh
a
b
a
h
a
h
a
h
a
F
E
b
h
a
h
a
d1
d2
18. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n (dïng th­íc vµ compa)
a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tr­íc;
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr­íc;
c) Dùng ®­êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tr­íc, dùng trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tr­íc;
d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr­íc;
e) Qua mét ®iÓm cho tr­íc, dùng ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc;
f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc, dùng ®­êng th¼ng song song víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc;
g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a, hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ.
Chuùc caùc em ñaït keát quaû cao trong hoïc taäp
Thaày giaùo : Phaïm Vaên Hieäu
*) H·y gi÷ phÝm ctrl vµ nhÊn vµo ®­êng link nµy -