Hệ thống các vấn đề cơ bản của Toán lớp 9

ối thì nên thay giá trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp
 -Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trước khi thay vào tính (dạng căn bậc hai, căn bậc 3)
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
 -Cần rút gọn biểu thức trước
 -Sau khi tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
 -Tìm giá trị của nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên:
	Thực hiện chia f(x) cho g(x) đua về dạng: (với)
 Hoặc phân tích: 
 Hay Ư(m)=g(x)
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và 
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Phương trình bậc hai 
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt :
*) Nếu phương trình có nghiệm kép : 
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn : 
Phương trình bậc hai và 
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt :
*) Nếu phương trình có nghiệm kép : 
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì : 
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :
(Điều kiện để có u và v là )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : 
 Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : 
IV: Cỏc bộ điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm thỏa món đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: 
 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) Û D ³ 0
 2. Vô nghiệm Û D < 0
 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0
 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) Û D > 0
 5. Hai nghiệm cùng dấu Û D³ 0 và P > 0
 6. Hai nghiệm trái dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0
 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0
 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0
 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0
 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1
 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
 Û a.c < 0 và S < 0
 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
 Û a.c 0
 Các dạng toán về phương trình bậc hai
Lưu ý : Cần phân biệt rõ bài toán c/m và bài toán tìm đk ?
Dạng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm 
Phương pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng ,tích 2 nghiệm theo Viet
-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm (Tức là phải có được dạng x1+x2 và x1.x2)
1.Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 	
Dạng 1. 
Dạng 2. 
Dạng 3. 
Dạng 4. 
Dạng 5. Ta biết 
Dạng 6. =
Dạng 7. = =. 
Dạng 8. = = 
Dạng 9. = = ..
Dạng 10. 	
 Dạng 11. 	=	
Dạng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
Dạng13 
Trường hợp ở dạng phân số thì phải thực hiện quy đồng, biến đổi để xuất hiện tổng và tích.
Dạng 3 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số
Bước 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại 
Dạng 4 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm 
Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm .Nếu không được thì giải hệ... ( Hệ thức có bậc 1 )
Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm .- Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì có thể bình phương ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần
Khi tìm GTNN của biểu thức, biến đổi BT về dạng (A+B)2+mm hoặc (A-B)2+mm
	Khi đó : GTNN(min)=m khi A+B=0 hoặc A-B=0
Khi tìm GTLN của biểu thức, biến đổi BT về dạng -(A+B)2+mm hoặc -(A-B)2+mm
	Khi đó :GT LN (max)=m khi A+B=0 hoặc A-B=0
Dạng 5 : Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm 
Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn 
- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm ta làm như sau :
Tính Vậy PTB2 cần lập là : x2- Sx+ P =0
Dạng6 :Tìm 2 số biết tổng và tích :Dùng phương pháp thế đưa về PTB2
có thì u và v là hai nghiệm của pt: x2-Sx+P=0
	đk có nghiệm: 
Dạng 8: Nghiệm chung của 2 phương trình
Dạng 9:Hai phương trình tương đương
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phương trình vô nghiệm thường vội kết luận ngay là hai phương trình đó không tương đương với nhau:
Phần IV : Các dạng phương trình cơ bản
A.Phân loại và phương pháp giải
Loại 1 : Phương trình bậc nhất 1 ẩn và phương trình đưa được về dạng ax = B
Phương pháp giải : Biến đổi tương đương phương trình về dạng : ax = b
-Nếu a khác 0 thì phương trình có 1 nghiệm : x = b/a
-Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm khi b khác 0 , vô số nghiệm khi b = 0
-Nếu a chưa rõ ta phải xét tất cả các trường hợp (biện luận)
Chú ý : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thường phá ngoặc . –Nếu có mẫu thường quy đồng rồi khử mẫu 
- Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu .-Chỉ được cùng nhân ,chia 1số khác 0
Loại 3 : phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
Phương pháp giải : Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Chú ý : -Đối chiếu ĐK . Giải từng phương trình tìm x và đối chiếu với đk cho từng trường hợp và kết luận nghiệm của pt đã cho.
Loại 4 : phương trình chứa ẩn trong dấu căn (PT vô tỉ)
Giải PT vô tỉ trước hết phải tìm ĐKXĐ
 = g (x)	(1). Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ.
 	 Sơ đồ cách giải: 
 = g (x) 
	 Hoặc 
Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phương trình (1).
Loại 5 : Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Giải PT chứa ẩn ở mẫu trước hết phải tìm ĐKXĐ
Phương pháp giải : 1) Thông thường - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận
2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo 
3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên) 
Chú ý: Trong quá trình biến đổi tương đương đẻ giải pt, cần sử dụng linh hoạt các quy tắc chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử, 
VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ BẬC NHẤT – BẬC 2 (KHUYẾT)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Hàm số bậc nhất
Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0
Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
 Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0). Khi đó
+ 
+ 
+ 
+ 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. 
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương 
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
-Hệ số a trong y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b 
II. Hàm số bậc hai
Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0
+ Nếu a 0
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng 
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Kiến thức bổ xung
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
III. Tương quan đồ thị Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc hai.
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó:
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2= mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
- Khi c/m đồ thị hs luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của tham số, biến đổi hs về dạng: A(x,y).m+B(x,y).m=0 => Đẳng thức độc lập với m khi => giải hệ tìm ra x và y là tọa độ điểm cố định cần tìm mà đồ thị hs luôm đi qua với mọi m. 
	A(x,y) và B(x,y) là các đa thức của 2 biến x và y.
- Khi tìm giá trị của tham số để 3 đường thẳng đồng quy, xác định tọa độ giao điểm của 2 trong 3 đường thẳng rồi thay vào đường thẳng còn lại để tìm giá trị của tham số.
- Khi viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có tọa độ cho trước, thay lần lượt tọa độ các điểm vào đường thẳng tổng quát: y=ax+b, sau đó giả hệ pt tìm a và b => pt đường thẳng cần tìm.
VẤN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH 
HỆ PHƯƠNG TRèNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Phương phỏp chung:
Bước 1: Gọi ẩn phự hợp, đơn vị tớnh, điều kiện cho ẩn nếu cú.
Bước 2: Biểu đạt cỏc đại lượng chưa biết thụng qua ẩn và cỏc đại lượng đó biết.
Bước 3: Lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh.
Bước 4: Giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh lập được ở bước 3.
Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
A.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’ R 
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Quy tắc thế
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ 
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Quy tắc cộng
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
A.2 Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình: x2 + SX + P = 0
A.3 Kiến thức bổ xung
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi
Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P
Giải hệ để tìm S và P 
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: 
t2 – St + P = 0
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
A.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2
Định nghĩa
 Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
Cách giải
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
A.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
Định nghĩa
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 
Cách giải
Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
Khử x rồi giải hệ tìm t
Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự
VẤN ĐỀ 7: HèNH HỌC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
2. Một số tớnh chất và đẳng thức lượng giỏc cần nhớ:
a. Với gúc nhọn () thỡ 
b. 
c. 
d. (Cỏc bạn nhớ chỉ được lấy giỏ trị dương vỡ tuõn theo tớnh chất a ở mục này)
e. Với gúc nhọn và 
f. (Cụng thức này thầy đó chứng minh cho cỏc bạn)
3. Mối quan hệ lượng giỏc của cỏc gúc phụ nhau.
Nếu thỡ cỏc giỏ trị lượng giỏc của và chộo nhau, tức là:
4. Hệ thức liờn hệ giữa cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng. A
 c	 b
Vậy: Trong một tam giỏc vuụng: B	a	 C
a. Độ dài một cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền với sin gúc đối hoặc cos gúc kề.
b. Độ dài một cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh gúc vuụng cũn lại với tg gúc đối hoặc cotg gúc kề.
Note: Giải tam giỏc là khỏi niệm của việc đi tớnh số đo của cỏc gúc nhọn, độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc vuụng.
II. GểC VÀ ĐƯỜNG TRềN
Đường tròn:
1,Định nghĩa:
 Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đường tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
3 . Tiếp tuyến của đường tròn :
a. Định nghĩa : 
đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đường thẳng đó có một điểm chung với đường tròn đó .
Cách 2 : chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính của đường tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đường tròn .
4 . Quan hệ giữa đường kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau .
* Định lí 2 : Đường kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:
 a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
 b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:
 a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
 b, Dây lớn hơn trương cung lớn hơn.
KHI CHứNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT
Và PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN
A.Khai thác giả thiết 
-Khi chứng minh Hình cần khai thác những điều có được từ đầu bài ,những điều đã chứng minh được.Đặc biệt cần chú ý những điều sau:
I.Nếu có điểm thuộc đường tròn thì nghĩ tới
1, Các bán kính bằng nhau
2, Tứ giác nội tiếp
3,Các góc với đường tròn.Đặc biệt nếu có đường kính thì sẽ có góc vuông
II. Nếu có Tứ giác nội tiếp thì nghĩ tới
1,Các góc đối bù nhau
2, 4 cặp góc nội tiếp bằng nhau(nếu nối 2 đường chéo)
3, Góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối( Phải chứng minh)
4, Điểm thuộc đường tròn
III. Nếu có Tiếp tuyến thì nghĩ tới
1,Các tính chất Vuông góc , cách đều , phân giác
2, Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
IV. Quan hệ Góc - Cung - Dây - Khoảng cách từ tâm đến dây
V .Nếu có tam giác cân, tam giác đều , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình vuôngthì nghĩ tới
 Tính chất của các hình ấy
VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông thì nghĩ tới 
định lý Pi ta go và các hệ thức lượng trong tam giác vuông
VII.Nếu có 2 đường thẳng song song thì nghĩ tới 
Định lý Ta Lét và các cặp góc So le trong , Đồng vị
VIII.Nếu có đường phân giác , đường trung tuyến , đường cao , trung trực của tam giác thì nghĩ tới tính chất của chúng
B.phân tích đi lên từ kết luận(Dựa vào các phép chứng minh)
I - Chứng minh các yếu tố bằng nhau.
1. Chứng minh hai góc bằng nhau.
C1 Thường CM chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng.
C2/ Nếu là hai góc trong 1 tam giác thường CM chúng là hai góc ở đáy của tam giác cân. 
C3/ Nếu là hai góc đối trong một tứ giác ta thường CM tứ giác đó là hình bình hành.
C4/ Nếu là hai góc kề trong một tứ giác thường CM tứ giác là hình thang cân.
C6/ Nếu là hai góc So le trong hoặc đồng vị thường chứng minh hai đường thẳng song song.
C7/ Nếu là hai góc trong đường tròn ta thường chuyển về chứng minh cung , dây tương ứng bằng nhau.
C8/ Ngoài ra ta có thể sử dụng: hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân giác, hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc hay song song,
*Chú ý: Nếu không cm được trực tiếp. Ta nghĩ tới việc sử dụng góc thứ 3 làm trung gian. (CM chúng cùng bằng ,cùng bù,cùng phụ với 1góc .Hay 2 góc cùng bằng tổng ,hiệu của 2 góc bằng nhau.) 
2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
C1/ Thông thường gắn vào hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
C2/ CM là hai cạnh bên của một tam giác cân hoặc hình thang cân.
C3/ CM là hai cạnh đối của hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vuông).
C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đường trung tuyến, đường trung trực,bán kính , tiếp tuyến
C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về đường trung bình trong tam giác, hình thang.
C6/ Nếu là 2 đường chéo trong 1 tứ giác thường CM tứ giác là Hình thang cân, HCN, HV.
C7/ Nếu là 2 dây cung trong 1 đường tròn thường chuyển về dây , góc , kc đến tâm tương ứng. 
*Chú ý: Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng cách: 
+ Biến đổi đại số trên đoạn thẳng bằng nhau.
+ Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
+ Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng. 
II-Chứng minh 2 đường thẳng song song, 2 đường thẳng vuông góc
1. Chứng minh hai đường thẳng song song.
C1/CM cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
C2/ CM 1 cặp góc So le trong hoặc đồng vị bằng nhau , hoặc 1 cặp Trong cùng phía bù nhau.
C3/ Nếu là 2 cạnh trong 1 tứ giác thường CM tứ giác là Hình bình hành
C4/ Nếu có các đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo của định lí Talét.
C5/ Nếu có nhiều trung điểm thường dùng đường trung bình của tam giác , hình thang. 
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
C1/ Cm chúng là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù hay hai đường thẳng cắt nhau tạo ra góc bằng 900.
C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường cao trong tam giác. Sử dụng tính chất đường cao ứng với cạnh đáy trong tam giác cân hoặc đường trung trực.
C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Đường kính của đường tròn đi qua trung điểm của dây cung hay tính chất của tiếp tuyến.
C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago. 
C5/ Nếu là 2 đường chéo trong 1 tứ giác thường chứng minh tứ giác là hình thoi
C6/ Chứng minh đường thẳng này vuông góc với đường thẳng song song với đường kia hoặc song song với đường thẳng vuông góc với đường kia.
III - chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui.
1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( Cùng thuộc một đường thẳng )
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng :
C1/ AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB, BA + AC = BC).
C2/ Chứng minh góc ABC = 1800.
C3/ CM: AB, AC cùng song song với một đường thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.
C4/ Dùng tính chất: Trung điểm 1 đường chéo và 2 đầu đường chéo kia trong hình bình hành thẳng hàng. Đường kính đi qua tâm. 
2. Chứng minh ba đường thẳng đồng qui.
C1/ Chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng kia.
C2/ Sử dụng tính chất các đường thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đường cao đồng qui, 
3 đường trung tuyến đồng qui, 3 đường phân giác đồng qui, 3 đường trung trực đồng qui.
C3/ Dùng tính chất : Các đường kính đồng quy tại tâm .Các đường chéo của những hình bình hành có chung 1 đường chéo đồng quy.
C4/ Đưa về chứng minh ba điểm thẳng hàng. 
IV - chứng minh các hình c