Hệ thống các vấn đề cơ bản của Toán 9

 phương trình: 
Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.
Bài 20. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận theo tham số m.
Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
Bài 21. Cho hệ phương trình: (m là tham số).
Giải và biện luận theo m.
Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương.
Bài 22. Cho hệ phương trình: 
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 23 Cho hệ phương trình: 
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Bài 24. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = -1.
Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.
Bài 25. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m: 
Bài 26. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = 2.
Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Bài 27. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = - 3.
Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
Bài 28. Cho hệ phương trình: (m là tham số nguyên).
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.
Bài 29. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận hệ đã cho.
Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức: .
Bài 30. Cho hệ phương trình: 
Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình: có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
Bài 32. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận theo m.
Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .
Bài 33. Giải và biện các hệ phương trình: 
a. 	b. 	c. 
Bài 34. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình lúc m = 1.
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số.
Bài 35. Cho hệ phương trình (m là tham số ): 
Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phương trình có vô số nghiệm.
Giải hệ lúc m khác 1.
Bài 36. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 
 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0.
Bài 37. Với giá trị nào của m, hệ phương trình: có nghiệm?
Bài 38. Cho hệ phương trình: . Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó.
Bài 39. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ phương trình có nghiệm kép.
Bài 40. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 41. Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho: . Tìm giá trị của biểu thức: M = x2 +y2.
Bài 42. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận hệ phương trình trên. 
Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Bài 43. Cho hệ phương trình: (a là tham số).
Giải hệ phương trình với a = 2.
Giải và biện luận hệ phương trình.
Tìm giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
Bài 44. Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết: 
A(-1; 1), B(-1; 3).
A(1; 2), B(3; 2).
A(1; 5), B(4; 3).
Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.
Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 48. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: 
Bài 49. Cho hệ phương trình: (m là tham số).
Giải hệ phương trình trên.
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn
 x < 0, y < 0.
Bài 50. Cho hệ phương trình: (m là tham số)
Giải hệ phương trình. 
Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.
Bài 51. Cho hệ phương trình: (m là tham số)
Giải hệ phương trình.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.
Bài 52. Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
Bài 53. 
Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phương trình có nghiệm là số dương, số âm.
;
Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau: có nghiệm 
x > 0 và y < 0.
Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phương trình: có nghiệm thỏa mãn 
Bài 54. 
Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình với a = 2.
Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm
VẤN ĐỀ 6: 
BẤT ĐẲNG THỨC – TèM GIÁ TRỊ MIN–MAX CỦA BIỂU THỨC
Bài 1: " x, y, z chứng minh rằng :
 a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu 
x + y + z- xy – yz - zx
=.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
=đúng với mọi x;y;z
Vì (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x + y + z xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )
= x + y + z- 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z) đúng với mọi x;y;z
Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x + y + z+3 – 2( x+ y +z )
= x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Bài 2: chứng minh rằng :
 a) b) 
Giải
a) Ta xét hiệu 
 =
 = 
 	=
 Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
 =
 Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
Bài 3: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a) 
b)
c)
Giải:
a) 
 (bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) 
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Giải:
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 5: Cho x.y =1 và x.y 
Chứng minh 
Giải:
 vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Sử dụng một số bất đẳng thức cổ điển thụng dụng:
 a) 
 b) dấu( = ) khi x = y = 0
 c) 
 d)
 2)Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS)
 4) Bất đẳng thức Trê- Bư-Sép:
 Nếu 
 Nếu 
Dấu bằng xảy ra khi
Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải:
 Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Tacó ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Vậy
Bài 7: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng
Giải:
 Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Bài 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Giải:
Ta có 
Do abcd =1 nên cd = 
Ta có (1)	 Mặt khác: 
 =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
 =
Bài 9: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
Giải:
Ta cú: 
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Tacó ac+bd
Bài 10: Chứng minh rằng 
Giải:
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có:
 3
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Bài 11: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
Giải :
 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1)
 Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
	 < < (3)
 Tương tự ta có 
 	 (4)
 (5)
 (6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 
 điều phải chứng minh
Bài 11: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
 Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 ị 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > ờb-c ù ị > 0
 b > ờa-c ù	ị > 0
 c > ờa-b ù	ị 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Bài 12: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
Bài 13: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng:
 (1)
Giải:
Đặt x = ; y = ; z = 
 Ta có 
 (1) Với x+y+z 0
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có
 3. 
	3. .
 Mà x+y+z < 1
 Vậy (đpcm)
Bài 14: Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng 
Giải :
Ta có (vì xy = 1)
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài 15: Cho xy 1 .Chứng minh rằng 
Giải :
Ta có 
BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 16: a. Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
 Chứng minh rằng 
 b. Cho a,b,c là các số dương 
 Chứng minh rằng 
Giải :
 a. áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
 b. 
 áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0
 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
 Vậy (đpcm)
Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
 T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Giải :
 Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Và 	(2)
 Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = 4
 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 
 (2) Dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 
Bài 18: 
 Tìm giá trị lớn nhất của 
 S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
Giải :
 Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có
 x+ y + z 
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
 Vậy S 
 Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x=y=z=
Bài 19:Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải :
 áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
 Ta có 
 (1)
 Ap dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta có 
 Từ (1) và (2) 
 Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x=y=z=
Bài 20: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn
Giải :
 Vì x,y,z là các số nguyên nên:
 (*)
 Mà 
 Các số x,y,z phải tìm là 
VẤN ĐỀ 7: HèNH HỌC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
---***---
Phần I: Lý thuyết cần nhớ:
I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng.
Trong một tam giỏc vuụng:
Bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tớch hai hỡnh chiếu của 2 cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền.
Tớch hai cạnh gúc vuụng bằng tớch cạnh huyền với đường cao tương ứng.
Bỡnh phương mỗi cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền với hỡnh chiếu tương ứng của cạnh gúc vuụng đú trờn cạnh huyền.
Nghịch đảo bỡnh phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bỡnh phương hai cạnh gúc vuụng.
II. Cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn trong tam giỏc vuụng.
1. Cỏc tỉ số lượng giỏc.
Mẹo nhớ: “Sin Đi – Học, Cos Khụng – Hư, tg Đoàn – Kết, Cotg Kết – Đoàn”
	A
B 
 H C
	A
Cạnh kề
	Cạnh đối
 B 
 Cạnh huyền
2. Một số tớnh chất và đẳng thức lượng giỏc cần nhớ:
a. Với gúc nhọn () thỡ 
b. 
c. 
d. (Cỏc bạn nhớ chỉ được lấy giỏ trị dương vỡ tuõn theo tớnh chất a ở mục này)
e. Với gúc nhọn và 
f. (Cụng thức này thầy đó chứng minh cho cỏc bạn)
3. Mối quan hệ lượng giỏc của cỏc gúc phụ nhau.
Nếu thỡ cỏc giỏ trị lượng giỏc của và chộo nhau, tức là:
4. Hệ thức liờn hệ giữa cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng. A
 c	 b
Vậy: Trong một tam giỏc vuụng: B	a	 C
a. Độ dài một cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền với sin gúc đối hoặc cos gúc kề.
b. Độ dài một cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh gúc vuụng cũn lại với tg gúc đối hoặc cotg gúc kề.
Note: Giải tam giỏc là khỏi niệm của việc đi tớnh số đo của cỏc gúc nhọn, độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc vuụng.
II. GểC VÀ ĐƯỜNG TRềN
Đường tròn:
1,Định nghĩa:
 Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đường tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí tương đối:
* Của một điểm với một đường tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
Vị trí tương đối
Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R )
OM > R
M nằm trên( O ; R ) hay M thuộc( O ; R)
OM = R
M nằm trong ( O ; R )
OM < R
* Vị trớ của một đường thẳng với một đường tròn :
xét ( O; R) và đường thẳng a bất kì (với d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a)
vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức
a cắt ( O ; R )
2
d < R
 a tiếp xúc ( O ; R )
1
d = R
a và ( O ; R ) không giao nhau
0
d > R
* Của hai đường tròn :
xét ( O;R) và (O’; R’) ( với d = O O’ ) 
vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức
Hai đường tròn cắt nhau
2
R – r < d < R- r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau : 
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :
1
d = R + r
d = R – r
Haiđường tròn không giao nhau :
+hai đường tròn ở ngoài nhau :
+đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ :
0
d > R + r
d < R -r
3 . Tiếp tuyến của đường tròn :
a. Định nghĩa : 
đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đường đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đường thẳng đó có một điểm chung với đường tròn đó .
Cách 2 : chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính của đường tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đường tròn .
4 . Quan hệ giữa đường kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau .
* Định lí 2 : Đường kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
Góc trong đường tròn:
1, Các loại góc trong đường tròn:
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:
 a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
 b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:
 a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
 b, Dây lớn hơn trương cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp: a, Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn . Đương tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dưới cùng một góc. 
Hình học không gian.
1. Các vị trí tương đối:
 a.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
 * a // b Û a , b è (P), a và b không có điểm chung.
 * a cắt b Û a , b è (P), a và b có một điểm chung.
 * a và b chéo nhau Û a và b không cùng thuộc một mặt phẳng.
 b. Vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (P):
 * a // (P) Û a và (P) không có điểm chung.
 * a cắt (P) Û a và (P) có một điểm chung.
 * a è (P) Û a và (P) có vô số điểm chung. 
c. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) và (Q):
* (P) // (Q) Û không có điểm chung.
* (P) ầ (Q) = a Û có một đường thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).
* (P) º (Q).
2. Một số cách chứng minh:
a. Chứng minh hai đường thẳng song song:
C1: a và b cùng thuộc một mặt phẳng.
 a và b không có điểm chung.
C2: a // c và b // c.
C3 : 
b.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:
 c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:
 d.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
 e.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
 g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:	
Một số hình không gian:
Hình lăng trụ:
Sxq = P . h với P: chu vi đáy
V = B . h h : chiều cao
 B: diện tích đáy
Hình trụ:
Sxq = P.h = 2pR.h với R: bán kính đáy
V = B.h = pR2.h h: chiều cao.
Hình chóp:
 với d: đường cao mặt bên
Hình nón:
d: đường sinh; h: chiều cao.
Hình chóp cụt:
Hình nón cụt:
Hình cầu:
B. MỘT SỐ BÀI TẬP Cể LỜI GIẢI.
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Tứ giác CEHD, nội tiếp .
Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
HD GIẢI:
Xét tứ giác CEHD ta có:
é CEH = 900 ,é CDH = 900 ( Vì BE, AD là đường cao)
=> é CEH + é CDH = 1800
Mà é CEH và é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC 
=> éBEC = 900.
 CF là đường cao => CF ^ AB => éBFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: é AEH = é ADC = 900 ; Â là góc chung 
=> D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: é BEC = é ADC = 900 ; éC là góc chung 
=> D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có éC1 = éA1 ( vì cùng phụ với góc ABC)
éC2 = éA1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> éC1 = é C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM 
=> D CHM cân tại C 
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
 => éC1 = éE1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 
éC1 = éE2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
éE1 = éE2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
HD GIẢI:
Xét tứ giác CEHD ta có:
é CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
 é CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
=> é CEH + é CDH = 1800
Mà é CEH và é CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2. Theo giả thiết: 	BE là đường cao => BE ^ AC => éBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => éBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến 
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có éBEC = 900 .
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => éE1 = éA1 (1).
Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => éE3 = éB1 (2)
Mà éB1 = éA1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => éE1 = éE3 => éE1 + éE2 = éE2 + éE3 
Mà éE1 + éE2 = éBEA = 900 => éE2 + éE3 = 900 = éOED => DE ^ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ú ED2 = 52 – 32 ú ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Chứng minh AC + BD = CD.
Chứng minh éCOD = 900.
Chứng minh AC. BD = .
Chứng minh OC // BM
Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Chứn