Giáo án Tin học 8 - Chuyên đề: Vài dạng bài tập khó về phép chia đa thức

Chuyªn ®Ò :Vµi d¹ng bµi tËp khã vÒ phÐp chia ®a thøc
Mét sè vÊn ®Ò vÒ lý thuyÕt
1.Víi ®a thøc nhiÒu biÕn sè : §a thøc A ®­îc gäi lµ chia hÕt cho ®a thøc B kh¸c ®a thøc kh«ng nÕu cã ®a thøc C sao cho A = BC .
2. Víi ®a thøc mét biÕn sè ta cã ®Þnh lý c¬ b¶n sau ®©y : 
§Þnh lý : Víi hai ®a thøc bÊt kú f(x), g(x) vµ g(x) ¹ ®a thøc kh«ng, tån t¹i duy nhÊt hai ®a thøc q(x) vµ r(x)sao cho: 
 f(x) = g(x).q(x) + r(x), víi 	r(x) = 0, hoÆc bËc r(x) < bËc g(x).
 q(x) ®­îc gäi lµ th­¬ng, r(x) ®­îc gäi lµ d­.
 NÕu r(x) = 0 th× ta nãi f(x) chia hÕt cho g(x) vµ ký hiÖu f(x) g(x)
 NÕu r(x) ¹ 0 th× ta nãi f(x) chia cho g(x) cã d­.
§Þnh lý B¬du : D­ trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho x – a lµ mét sè b»ng f(a)
HÖ qu¶ : f(x) – f(a) chia hÕt cho x – a
§a thøc kh«ng : lµ ®a thøc lÊy gi¸ trÞ b»ng 0 víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè
§a thøc víi hÖ sè nguyªn : Lµ ®a thøc cã mäi hÖ sè ®Òu lµ sè nguyªn
PhÇn bµi tËp :
 I.Bµi tËp chøng minh chia hÕt
1.Víi ®a thøc nhiÒu biÕn sè : §Ó chøng minh ®a thøc A chia hÕt cho ®a thøc B , ( B kh¸c ®a thøc kh«ng ), ta ph©n tÝch A thµnh tÝch cña ®a thøc B víi mét ®a thøc kh¸c .
VÝ dô1 : Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 - 3abc chia hÕt cho a + b + c
Gi¶i :
Ta cã: a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b )3 + c3 – 3abc – 3ab( a + b ) =
= ( a + b + c )[( a + b )2 – ( a + b )c + c2 ] – 3ab( a + b + c )
= ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca )
	VËy a3 + b3 + c3 - 3abc chia hÕt cho a + b + c
VÝ dô 2 : Cho x , y , z lµ nh÷ng sè nguyªn d­¬ng kh¸c nhau . Chøng minh r»ng :
	( x – y)5 + ( y – z)5 + ( z – x)5 chia hÕt cho 5(x – y)(y – z)( z – x)
Gi¶i :
§Æt x – y = a ; y – z = b ; z – x = c ta cã a + b + c = 0 . Bµi to¸n trë thµnh :
	Chøng minh r»ng : NÕu a + b + c = 0 th× a5 + b5 + c5 Chia hÕt cho 5abc .
 Tõ a + b + c = 0 ⟺ a + b = - c ⟺ ( a + b)5 = - c5 ; ( a + b)3 = - c3 
 Ta cã : a5 + b5 + c5 = ( a + b)5 + c5 – 5a4b – 10a3b2 – 10a2b3 – 5ab4
	 = - c5 + c5 – 5ab( a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 )
	 = - 5ab[( a + b)3 – 3ab( a + b) + 2ab( a + b)]
	 = - 5ab[ ( a +b)3 – ab(a+b)] 
	 = - 5ab( - c3 + abc ) = 5abc( c2 – ab ) Þ ®pcm
	2.Víi ®a thøc mét biÕn sè : §Ó chøng minh f(x) chia hÕt cho g(x) , g(x) kh¸c ®a thøc kh«ng , cã hai c¸ch gi¶i quyÕt :
C¸ch 1 : Nh­ ®a thøc nhiÒu biÕn sè
C¸ch 2 : Dïng thuËt to¸n chia cét däc 
C¸ch 3 : Dïng ®Þnh lý B¬du ( nÕu cã thÓ )
VÝ dô : Chøng tá x3 – 6x2 + 11x – 6 chia hÕt cho x2 – 3x + 2
Gi¶i :
 C¸ch 1: x3 – 6x2 + 11x – 6 = x3 – 3x2 – 3x2 + 9x + 2x – 6 = 
 = x2( x – 3 ) – 3x( x – 3) + 2( x – 3 ) 
 = ( x – 3 )( x2 – 3x + 2 ) . Ta cã ®pcm
 C¸ch 2 : 	§Æt thµnh cét däc ta cã x3 – 6x2 + 11x – 6 x2 – 3x + 2
	x3 – 3x2 + 2x x – 3 
3x2 + 9x – 6 
3x2 + 9x – 6 
 0
	VËy x3 – 6x2 + 11x – 6 = ( x – 3 )( x2 – 3x + 2 ) ta cã ®pcm. 
 C¸ch 3 : Ta cã x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 = x( x – 1 ) – 2( x – 1) = ( x – 1)( x – 2) 
 §Æt f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 th× f(1) = 13 – 6.12 + 11.1 – 6 = 0 . VËy f(x) ( x – 1 ) 
 f(2) = 23 – 6.22 + 11.2 – 6 = 8 – 24 + 22 – 6 = 0 . VËy f(x) ( x – 2 ) . Mµ x – 1 vµ x – 2 lµ hai ®a thøc kh«ng ph©n tÝch ®­îc ( BÊt kh¶ quy ) nªn f(x) ( x – 1 )( x – 2 ) hay x2 – 3x + 2, ®pcm.
 Chó ý : NÕu ®a thøc f(x) cã ngiÖm lµ a ; b... th× f(x) chia hÕt cho (x – a)(x – b)...
 II.X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn vÒ hÖ sè ®Ó chia hÕt 
Víi ®a thøc nhiÒu biÕn sè
VÝ dô : X¸c ®Þnh m ®Ó víi mäi x , y , z nguyªn d­¬ng ta cã :
	x3 + y3 + z3 + mxyz chia hÕt cho x + y + z 
Gi¶i :
	 Ta cã : x3 + y3 + z3 + mxyz = x3 + y3 + z3 – 3xyz + 3xyz + mxyz 
 = ( x + y)3 + z3 – 3xy( x + y) – 3xyz + ( m + 3)xyz 
 = ( x + y + z)[( x + y)2 – ( x + y)z + z2 ] – 3xy( x + y + z ) + ( m + 3)xyz
 = ( x + y + z )( x2 + 2xy + y2 – yz – zx – 3xy ) + ( m + 3 )xyz
 = ( x + y + z )( x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) + ( m + 3 )xyz 
 VËy ®Ó x3 + y3 + z3 + mxyz chia hÕt cho x + y + z víi mäi x , y , z nguyªn d­¬ng th× (m + 3 )xyz ph¶i chia hÕt cho x + y + z víi mäi x , y , z nguyªn d­¬ng ,Þ m + 3 = 0 hay m = - 3 
b.Víi ®a thøc mét biÕn sè
 VÝ dô1 : X¸c ®Þnh hÖ sè a ®Ó f(x) = x3 – 3x + a chia hÕt cho ( x – 1 )2 
Gi¶i :
 C¸ch 1 : Dïng phÐp chia cét däc x3 – 3x + a x2 – 2x + 1 
	 x3 – 2x2 + x x + 2 
	 2x2 – 4x + a
	 2x2 – 4x + 2
	 a – 2 
	§Ó x3 – 3x + a chia hÕt cho ( x – 1)2 th× a – 2 = 0 hay a = 2 .
C¸ch 2 : Dïng ph­¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng : 
	Ta viÕt ®­îc : x3 – 3x + a = ( x – 1 )2. Q(x) , (1) , víi Q(x) lµ mét ®a thøc bËc nhÊt . 
Chän x = 1, thay vµo (1) ta ®­îc : 13 – 3.1 + a = 0 . Tõ ®ã ta ®­îc a = 2 .
C¸ch 3 : Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh : 
	Gi¶ sö x3 – 3x + a = ( x2 – 2x + 1)( x + b ) = x3 + ( b – 2 )x2 + ( 1 – 2b)x + b víi mäi x , thÕ th× ta ph¶i cã b – 2 = 0 
	 1 – 2b = - 3 ⟺ a = b = 2 . VËy a = 2 .
	a = b 
	VÝ dô 2 : X¸c ®Þnh a , b ®Ó 5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 chia hÕt cho x2 + x – b 
Gi¶i :
C¸ch 1 : §Æt phÐp chia cét däc ta cã 
	5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 x2 + x – b 
	5x4 + 5x3 – 5bx2 	 5x2 + x + ( a + 5b – 1 )
	 x3 + ( a + 5b)x2 – 8x – 20 
	x3 + x2 – bx 
	 ( a + 5b – 1)x2 + ( b – 8)x – 20 
	 ( a + 5b – 1)x2 + ( a + 5b – 1)x – b( a + 5b – 1)
	( - a – 4b – 7)x + b( a + 5b – 1 ) – 20 
 	Ta cã R(x) = ( - a – 4b – 7)x + b( a + 5b – 1 ) – 20 . VËy ta ph¶i cã R(x) lµ ®a thøc kh«ng , ®iÒu nµy t­¬ng ®­¬ng víi 
 - a – 4b – 7 = 0 	⟺ a = - 4b – 7 	(1)
 b( a + 5b – 1 ) – 20 = 0 	ab + 5b2 – b – 20 = 0	(2)
	Thay (1) vµo (2) ta cã b2 – 8b – 20 = 0 . Tõ ®ã tÝnh ®­îc b = 10 hoÆc b = - 2 
	Víi b = 10 th× a = - 47 ; víi b = - 2 th× a = 1 
C¸ch 2 : Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh : 
	Gi¶ sö ph©n tÝch ®­îc 5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 = ( x2 + x – b)( 5x2 + cx + d ) 
	⟺ 5x4 + 6x3 + ax2 – 8x – 20 = 5x4 + cx3 + dx2 + 5x3 + cx2+ dx – 5bx2 – bcx – bd =
	= 5x4 + ( c + 5)x3 + ( d + c – 5b)x2 + ( d – bc )x – bd 
	§ång nhÊt hÖ sè ta cã : 
	c + 5 = 6 	 c = 1	 d = b – 8 	 b2 – 8b – 20 = 0
	d + c – 5b = a ⟺ d – 5b + 1 = a ⟺ b – 8 – 5b + 1 = a ⟺ a = - 4b – 7 
	d – bc = - 8 	 d – b = - 8 	 ( b – 8)b – 20 = 0
	bd = 20 	 bd = 20
	Tõ ®ã ta còng tÝnh ®­îc kÕt qu¶ nh­ trªn .
III. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn sè x ®Ó f(x) g(x)
VÝ dô 1 : T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2n2+3n+3 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc (2n-1).
Gi¶i :
§Æt phÐp chia:
2n2+3n+3 2n - 1
2n2-n n+2
 4n+3
 4n-2
 5
§a thøc 2n2+3n+3 kh«ng chia hÕt cho ®a thøc (2n -1) nh­ng cã nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña n ®Ó gi¸ trÞ cña 2n2+3n+3 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña 2n-1.
Khi ®ã (2n-1) ph¶i lµ ¦(5)Î{ ±1; ±5}.
2n-1=1	 2n-1= -1	 2n-1=5	 2n-1= -5
 n=1 	 n= 0	 n=3 	 n= -2
VËy víi nÎ{-2;0;1;3} th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2n2+3n+3 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc (2n-1). 
Chó ý : Cã thÓ tr×nh bµy nh­ sau :
2n2 + 3n + 3 = 2n2 – n + 4n – 2 + 5 = n( 2n – 1) + 2( 2n – 1) + 5
 = ( 2n – 1)( n + 2) + 5
VËy 2n2 + 3n + 3 ( 2n – 1) víi n nguyªn khi 5 ( 2n – 1) hay 2n – 1 lµ ­íc cña 5 . PhÇn cßn l¹i gi¶i nh­ trªn .
VÝ dô 2 : T×m sè nguyªn x ®Ó :
	( x4 – 16) chia hÕt cho ( x4 – 4x3 + 8x2 – 16x + 16 )
Gi¶i :
	§Æt A = , bµi to¸n trë thµnh : T×m sè nguyªn x ®Ó biÓu thøc A lÊy gi¸ trÞ t­¬ng øng lµ sè nguyªn . Ta cã :
VËy A cã gi¸ trÞ nguyªn khi x lµ sè nguyªn kh¸c 2 vµ x – 2 lµ ­íc cña 4 . Tõ ®ã 
	x – 2 Î { }. Ta t×m ®­îc x Î { 0 , - 2 , 1 , 3 , 4 , 6 }
 VÝ dô 3 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x ®Ó ( x3 – 8x2 + 2x ) chia hÕt cho x2 + 1
Gi¶i :
	Ta cã x3 – 8x2 + 2x = x3 – 8x2 + x – 8 + x + 8 = x2( x – 8 ) + ( x – 8) + ( x + 8 ) 
	 = ( x – 8 )( x2 + 1 ) + ( x + 8 )
§Ó x3 – 8x2 + 2x chia hÕt cho x2 + 1 víi x nguyªn th× x + 8 ph¶i chia hÕt cho x2 + 1 víi x nguyªn . Tr­íc hÕt ta thÊy ngay x + 8 = 0 hay x = - 8 tháa m·n . NÕu x + 8 kh¸c 0 th× ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó x + 8 chia hÕt cho x2 + 1 víi x nguyªn lµ ׀ x + 8 ׀ ≥ x2 + 1 .
⟺ 
	DÔ thÉy x2 + x + 9 £ 0 v« nghiÖm , nªn chØ cÇn xÐt x2 – x – 7 £ 0 víi x nguyªn .
	x2 – x – 7 £ 0 ⟺ x2 – x £ 7 ⟺ x( x – 1 ) £ 7 víi x nguyªn .
 NÕu x ≥ 4 th× x(x – 1) ≥ 4.3 = 12 > 7 nªn x £ 3 
 NÕu x £ - 3 th× x(x – 1) ≥ (- 3).( - 4) = 12 > 7 nªn x ≥ - 2
	VËy x Î { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
Thö l¹i : 
 x
 x + 8
 x2 + 1 
( x + 8):(x2 + 1)
kÕt luËn
 - 2
 6
 5
 6 : 5 
 lo¹i
 - 1
 7
 2
 7 : 2
 lo¹i
 0
 8
 1 
 8 : 1
 Chän
 1
 9
 2
 9 : 2
 Lo¹i
 2
 10
 5
 10 : 5
 Chän
 3
 11
 10
 11 : 10
 Lo¹i
§¸p sè x Î { - 8 ; 0 ; 2 }
IV. X¸c ®Þnh hÖ sè trong phÐp chia cßn d­
	VÝ dô 1 : X¸c ®Þnh a vµ b sao cho 2x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d­ – 6 vµ ki chia cho x – 2 th× d­ 21 .
Gi¶i :
C¸ch 1 : §Æt f (x) = 2x3 + ax + b ¸p dông ®Þnh lý B¬ du ta cã f ( - 1) = - 6 vµ f (2) = 21. VËy:
C¸ch 2 : §Æt phÐp chia cét däc ( B¹n ®äc tù chøng minh )
	VÝ dô 2 : T×m a , b , c sao cho ax3 + bx2 + c chia hÕt cho x + 2 vµ khi ®em chia cho x2 – 1 th× d­ x + 5 .
Gi¶i :
 §Æt f (x) = ax3 + bx2 + c ; ¸p dông ®Þnh lý B¬ du ta cã f ( - 2) = - 8a + 4b + c = 0 (1)
MÆt kh¸c theo ®Þnh lý c¬ b¶n th× tån t¹i ®a thøc Q(x) sao cho :
	 ax3 + bx2 + c = ( x2 – 1 )Q(x) + x + 5 .
Cho x = 1 ta ®­îc : a + b + c = 6 (2)
Cho x = - 1 ta ®­îc : - a + b + c = 4 (3)
KÕt hîp (1) , (2) , (3) ta ®­îc : 
 Tõ ®ã cã ®¸p sè cña bµi tËp 
	VÝ dô 3 : T×m ®a thøc f(x) biÕt f(x) chia cho x – 1 th× d­ 2 ; chia cho x + 1 th× d­ 3 vµ chia cho x2 – 1 th× cã th­¬ng lµ 3x vµ cßn d­ .
Gi¶i :
	Theo ®Þnh lý B¬ du ta cã f(1) = 2 vµ f(- 1) = 3 .
	MÆt kh¸c theo ®Þnh lý c¬ b¶n ta viÕt ®­îc : f(x) = ( x2 – 1).3x + ( ax + b) (1)
Thay x = 1 vµo (1) ta cã 2 = a + b 
Thay x = - 1 vµo (1) ta cã 3 = - a + b 
	Tõ ®©y dÔ dµng tÝnh ®­îc a = - 0,5 vµ b = 2,5
	VËy f(x) = ( x2 – 1).3x + ( ax + b) = 3x3 – 3x – 0,5x + 2,5 = 3x3 – 3,5x + 2,5 
V. T×m d­ trong phÐp chia f(x) cho g(x)
	VÝ dô 1 : Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia , h·y t×m d­ trong phÐp chia 
f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x cho 
g(x) = x – 1
h(x) = x2 – 1
Gi¶i :
¸p dông ®Þnh lý B¬ du ta cã d­ trong phÐp chia f(x) cho x – 1 lµ f(1) = 5
Theo ®Þnh lý c¬ b¶n ta viÕt ®­îc :
f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x = ( x2 – 1).Q(x) + ( ax + b ) (1)
Thay x = 1 vµo (1) ta cã : a + b = 5
Thay x = - 1 vµo (1) ta cã a – b = 5 
 Tõ ®©y dÔ dµng tÝnh ®­îc a = 5 vµ b = 0 . VËy d­ trong tr­êng hîp nµy lµ 5x
	VÝ dô 2 : Gi¶ sö ®a thøc f(x) chia cho x + 1 d­ 4 ; chia cho x2 + 1 d­ 2x + 3 . H·y t×m d­ trong phÐp chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + 1 )
Gi¶i :
	¸p dông ®Þnh lý B¬ du ta cã f( - 1 ) = 4	 (1)
	¸p dông ®Þnh lý c¬ b¶n ta viÕt ®­îc : 
	f(x) = ( x + 1)( x2 + 1 )Q(x) + ax2 + bx + c . (2)
Thay (1) vµo (2) ta cã : a – b + c = 4 (3)
MÆt kh¸c ta viÕt ®­îc : 
	 f(x) = ( x + 1)( x2 + 1 )Q(x) + ax2 + bx + c 
	 = ( x + 1)x2.Q(x) + ( x + 1)Q(x) + ax2 + bx + c 
	= x2[( x + 1)Q(x) + a ] + [( x + 1)Q(x) + a ] + bx + c – a 
	= [( x + 1)Q(x) + a ]( x2 + 1 ) + bx + c – a 
	VËy bx + c – a chÝnh lµ d­ trong phÐp chia f(x) cho x2 + 1 nªn bx+ c – a = 2x + 3
§ång nhÊt hÖ sã ta cã b = 2 vµ c – a = 3 (4) . KÕt hîp (3) vµ (4) ta t×m thªm ®­îc :
 a = 1,5 vµ c = 4,5 .
VËy d­ trong phÐp chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + 1 ) lµ R(x) = 1,5x2 + 2x + 4,5 
VI . Bµi tËp luyÖn tËp chuyªn ®Ò
Bµi 1 . Thùc hiÖn c¸c phÐp chia sau ®©y 
( x3 – 2x2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 )
( 2x4 – 21x3 + 74x2 – 105x + 50 ) : ( x2 – 3x + 2 )
( x3 – 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 )
3x4 – 2x3 – 2x2 + 4x – 8 ) : ( x2 – 2 ) 
( 2x3 – 2bx – 24 ) : ( x2 + 4x + 3 )
Bµi 2 : T×m a , b ®Ó 
( x4 + ax3 + bx – 1 ) chia hÕt cho ( x2 – 1 )
( 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2 ) chia hÕt cho ( x2 – x + b ) 
( x3 + 8x2 + 5x + a chia hÕt cho ( x2 + 3x + b )
( x4 + ax2 + b ) chia hÕt cho ( x2 – 3x + 2 vµ h·y t×m ®a thøc th­¬ng
( x4 – 3x3 – 3x2 + ax + b ) chia hÕt cho ( x2 – 3x + 4 )
(x4 + x3 – x2 + ax + b ) chia hÕt cho ( x2 + x – 2 )
( ax4 + bx3 + 1 ) chia hÕt cho ( x – 1 )2 
( x3 + ax2 + 2x + b ) chia hÕt cho ( x2 + x + 1 )
( x4 – x3 – 3x2 + ax + b ) chia cho x2 – x – 2 th× cã d­ lµ 2x – 3 
 ( x10 + ax3 + b ) chia cho x2 – 1 th× d­ 2x + 1
Bµi 3 : T×m a , b , c ®Ó 
( x4 + ax3 + bx + c ) chia hÕt cho ( x – 3 )3 
( x5 + x4 – 9x3 + ax2 + bx + c ) chia hÕt cho ( x – 2 )( x + 2)( x + 3)
( 2x4 + ax2 + bx + c ) chia hÕt cho x – 2 vµ khi chia cho x2 – 1 th× d­ x
Bµi 4 : T×m d­ trong phÐp chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 – 1
Bµi 5 : Chøng minh r»ng ( x2 + x – 1 )10 + ( x2 – x + 1)10 chia hÕt cho x – 1 
Bµi 6 : Cho ®a thøc f(x) . H·y t×m d­ trong phÐp chia f(x) cho x2 – 2x – 3 , biÕt r»ng f(x) chia cho x + 1 th× d­ – 45 vµ chia cho x -3 th× d­ – 165 
Bµi 7 : T×m ®a thøc f(x) biÕt :
f(x) chia cho x – 3 th× d­ 7 , chia cho x – 2 th× d­ 5 , chia cho ( x – 2)( x – 3) th× cã th­¬ng lµ 3x vµ cßn d­ 
f(x) chia cho x – 3 th× d­ 2 , chia cho x + 4 th× d­ 9 , Chia cho x2 + x – 12 th× ®­îc th­¬ng lµ x2 + 3 vµ cßn d­
f(x) cã bËc 3 vµ tháa m·n : f( - 1) = 0 vµ chia cho x – 1 , x + 2 , x + 3 ®Òu d­ 8
f(x) cã bËc 3 vµ tháa m·n : f( - 1) = - 18 vµ chia cho x – 1 , x – 2 , x – 3 ®Òu d­ 6
f(x) cã bËc 3 vµ tháa m·n : f(0) = 10 ; f(1) = 12 ; f(2) = 4 ; f(3) = 1 
f(x) cã bËc 2 vµ tháa m·n : f(0) = 19 ; f(1) = 5 ; f(2) = 1995
 f(x) cã bËc 4 vµ tháa m·n : f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47
Bµi 8 : Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia h·y t×m d­ trong c¸c phÐp chia sau :
( x5 + x + 1 ) chia cho ( x3 – x )
( x100 + x99 + x98 + x97 + ... + x2 + x + 1 ) chia cho x2 – 1 
x2 + x9 + x1996 chia cho x2 – 1 
Bµi 9 : Cho ®a thøc P(x) bËc 4 tháa m·n : P(1) = 0 ; P(x) – P(x – 1) = x( x + 1)( 2x + 1) 
X¸c ®Þnh P(x) 
Suy ra c¸ch tÝnh tæng S = 1.2.3 + 2.3.5 + ... + n( n + 1)( 2n + 1 ) ,víi n Î Z+