Giải toán sáng tạo từ một định lý đường trung bình của hình thang Toán 8

Giải toán sáng tạo từ một định lý
đường trung bình của hình thang toán 8.
Bài toán: Cho hình thang ABCD (AB // CD).M là trung điểm của AD . Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại N . Chứng minh rằng N là trung điểm của BC.
Lời giải:
Cách 1: 
Lấy N’ là trung điểm của BC ( hình 1),vậy MN’ là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra MN’// AB
Từ giả thiết MN // ABMN// MN’MNMN’NN’N là trungđiểm của BC
 Hình 1 Hình 2
Cách 2: 
Gọi P =ACMN(hình 2) Từ giả thiết suy ra MN// CD . xét tam giác ACD, M là trung điểm của AD, MP // CD nên MP là đường trung bình của tam giác , suy ra P là trung điểm của AC.
Xét CAB , tương tự ta có PN là đường trung bình của tam giác nên N là trung điểm của BC.
Cách 3: 
Qua B , kẻ đường thẳng song song với AD , cắt MN,CD lần lượt tại P, Q (hình3), kết hợp với giả thiết , ta suy ra ABPM và MPQD là các hình bình hành nên AM=PB., MD= PQ.
Mặt khác , M là trung điểm của AD hay AM=MD nên PB= PQ hay P là trung điểm của BQ.
Xét BQC,tương tự như cách 2 ta có PN là đường trung bình của tam giác nên N là trung điểm của BC. 
 Hình 3	 Hình 4
Cách 4:
 Qua B , N kẻ các đường thẳng song song với AD, lần lượt cắt MN, CD
 tại P, Q(hình 4). Dễ thấy ABPM và MNQD là các hình bình hành nên
 AM=PB, MD=NQPB=NQ(do AM=MD). Mặt khác , PBN = QNC.
(đồng vị ), BPN= NQC (cạnh tương ứng song song cùng chiều )
Vậy BPN= NQC(g-c-g) BN=CNN là trung điểm của BC.
Cách 5: (Dùng phương pháp diện tích ) 
 Hình 5.
Lấy điểm E bất kì trên đoạn MN(hình 5)
Vì M là trung điểm của AD, MN//AB, AB//CD nên hoàn toàn có thể chứng minh được khoảng cách từ các điểm A ,B ,C , D xuống MN bằng nhau , ta kí hiệu là h
Suy ra S. Mặt khác , hai tam giác này có cùng chiều cao xuất phát từ E xuống BC nên BN= CN hay N là trung điểm của BC.