Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN năm 2011 Môn Toán

Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 
MÔN: TOÁN (Vòng 1) 
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) 
Câu I. 1) Giải hệ phương trình 
  2
2
1 3
( 2) 1 .
x y x y
y x y x



   
   
 2) Giải phương trình 
23 7 .
2( 1)
xx
x x
 

Câu II. 1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên ( , , )x y z thỏa mãn 
đẳng thức 
4 4 47 5.x y z   
 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , )x y thỏa mãn đẳng thức 
4 4 3( 1) ( 1)x x y    . 
Câu III. Cho hình bình hành ABCD với  90 .BAD   Đường phân giác của góc BCD 
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng 
( )d đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng ( )d lần lượt cắt các đường 
thẳng ,CB CD tại ,E F . 
1) Chứng minh rằng OBE ODC   . 
2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 
3) Gọi giao điểm của OC và BD là ,I chứng minh rằng . . . .IB BE EI ID DF FI . 
Câu IV. Với ,x y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 3
3 3 3 3
4
8 ( )
x yP
x y y x y
 
  
. 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Vòng 1) 
Câu I. 1) Hệ phương trình tương đương với 
2
2
( 1) ( 1) 2
( 2) ( 2) 1
x y x y
y x y x
     

    
2
2
( 1)( 1) 2 (1)
( 2)( 1) 1 (2)
x y y
y x x
     
   
+) Nếu 1x  suy ra 2( 1)( 1) 0x y   nên từ (1) 2 0y   22 ( 2)( 1) 0y y x      do đó 
từ (2) 1 0x   1x  mâu thuẫn. 
+) Nếu 1x  , tuơng tự suy ra 1x  mâu thuẫn. 
+) Nếu 1 2x y   (thỏa mãn). 
Đáp số 1, 2.x y  
 2) Điều kiện 0x  . Phương trình tương đương 
232( 1) 7.x x x
x
    
Chia hai vế cho 0x  ta thu được 
1 3 72(1 ) x x
x x x
   
3 1 3 4( ) 2(1 ) 0x x
x x x x
      
3 3 2( 2) ( ) 0x x
x x x
      
+) Giải 23 32 4 4 3 0x x x x
x x
        
1
3
x
x

  
. 
+) Giải 32
3 2 3 4 3 4 0x x x x
x x x x
         2( 1)( 4) 0 1x x x x       . 
Đáp số 1, 3x x  . 
Câu II. 1) Giả sử tồn tại các số nguyên , ,x y z thỏa mãn 
4 4 4 4 4 4 47 5 8 5x y z x y z z        (1) . 
Ta có 4 0,1 (mod 8)a  với mọi số nguyên a 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
4 4 4
4
0,1, 2,3 (mod 8)
8 5 5(mod 8)
x y z
z
    
 
Mâu thuẫn với (1) . Vậy không tồn tại ( , , )x y z thỏa mãn đẳng thức. 
2) Phương trình tương đương với 
2 2 2 2 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x y            
2 3 3 3(2 2)(4 ) 8 8 .x x y x x y      
+) Nếu 3 3 31 8 8 8 (2 1)x x x x x      3 3 3(2 ) (2 1)x y x    (mâu thuẫn vì y nguyên). 
+) Nếu 1x   và ( , )x y là nghiệm, ta suy ra ( , )x y  cũng là nghiệm, mà 1x   mâu 
thuẫn. 
+) Nếu 0 0x y   (thỏa mãn). 
Vậy 0x y  là nghiệm duy nhất. 
Câu III 
1) Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD 
   OBD OCD OCB ODB OBD      cân tại O OB OD  (1) .Tứ giác OBCD nội 
tiếp  ODC OBE (2) (cùng bù với góc OBC ). Trong CEF có CO vừa là đường cao 
vừa là đường phân giác nên CEF cân tại C . Do 
AB CF    AEB AFC EAB  ABE  cân tại B BE BA CD   (3). Từ 
(1), (2), (3) suy ra ( )OBE ODC c g c     (đpcm). 
2) Từ câu 1) OBE ODC   suy ra OE OC . Mà CO là đường cao tam giác cân 
CEF OE OF  . Từ đó OE OC OF  vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
CEF (đpcm). 
E
F
O
I
A
B C
D
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
3) Theo (3) BE CD  mà CE CF BC DF  . Ta có CI là đường phân giác 
góc BCD . .IB CB DF IB BE ID DF
ID CD BE
     . 
Mà CO là trung trực EF và I CO IE IF  . 
Từ hai đẳng thức trên suy ra . . . .IB BE EI ID DF FI (đpcm). 
Câu IV. Ta chứng minh 
3 2
3 3 2 28 2
x x
x y x y

 
(1) 
3 4
3 3 2 2 28 ( 2 )
x x
x y x y
 
 
2 2 2 3 3( 2 ) ( 8 )x y x x y    2 2 4 34 4 8x y y xy   
2 2 2x y xy   (đúng). 
Ta chứng minh 
3 2
3 3 2 2( ) 2
y y
y x y x y

  
(2) 
3 4
3 3 2 2 2( ) ( 2 )
y y
y x y x y
 
  
2 2 3 3( 2 ) ( ( ) )x y y y x y     2 2 2 4 3( 2 ) ( )x y y y x y     2 2 2 2 3( )( 3 ) ( )x y x y y x y     
 Ta có 
2 2 21 ( )
2
x y x y   
2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 ( )x y x y y xy y y x y       
2 2 2 2 2 31( )( 3 ) ( ) .2 ( ) ( )
2
x y x y x y y x y y x y        (2) đúng. 
Từ (1) và (2) 1P  . Dấu bằng xảy ra x y  . Vậy min 1P  . 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 
MÔN: TOÁN (Vòng 2) 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) 
Câu I. 1) Giải phương trình 
  1 13 1xx x     . 
 2) Giải hệ phương trình 
  
2 2 2 2
2 21 .
2
4x y xy
x y x y
x y


 
 

Câu II. 1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt 
quá a và ký hiệu là  a . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức 
2
3
1 1
27 3
n n
 
 
  
   không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số 
nguyên dương. 
2) Với , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức 5xy yz zx   , tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
.3 3 2
6( 5) 6( 5) 5
x y z
x y z
P  
    
 
Câu III. Cho hình thang ABCD với BC song song .AD Các góc BAD và CDA là các góc 
nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại .I P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng 
BC ( P không trùng với ,B C ). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt 
đoạn thẳng PA tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn 
thẳng PD tại N khác .P 
1) Chứng minh rằng năm điểm , , , ,A M I N D cùng nằm trên một đường tròn. Gọi 
đường tròn này là ( ).K 
2) Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại ,Q chứng minh rằng Q cũng 
nằm trên đường tròn ( ).K 
3) Trong trường hợp , ,P I Q thẳng hàng, chứng minh rằng .PB BD
PC CA
 
Câu IV. Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên . Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, 
phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A  1 ,x  luôn tồn tại ,a b cũng thuộc A 
sao cho x a b  ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất. 
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011 
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Vòng 2) 
Câu I. 1) Điều kiện 0 1x  , phương trình tương đương 
với 3 ( 1 1) 1
3
x
x x
   
 
3( 1 1) 3x x x      
Nếu  0 1 3 1 1 3x x      đồng thời 3 1 4 3x x     
Suy ra VT VP. (loại). 
Thử lại ta thấy 1x  là nghiệm. 
2) 0x y  là nghiệm. Xét 0, 0x y  hệ phương trình tương đương với 
2 2 2 2
1 1 1 12 2 (1)
1 1 1 1 1 21 4 2 8 (2)
x y x y
x y xy x y xy
     
 
 
                       
Thay (1) vào (2) ta thu được 
3
1 1 2
1 1 8
1 1
x y
x y
xy
        
   

1x y   
Câu II. 
1) Ký hiệu 3 1 1 ,
27 3
K n
 
   
 
 do 1n  1K  . Ta có 
3
1 1 1
27 3
K n K     3 31 1 2( ) ( )
3 27 3
K n K      
3 2 3 21 1 4 82
3 27 27 3 27
KK K n K K K          
3 2 3 2 4 13
3 3 3
KK n K K K K        3 2 3( 1)K n K K     
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Suy ra 
2
2 3
1 1
27 3
n K n n
 
     
 
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số 
nguyên dương. 
2) Ta có 
            2 2 26 5 6 5 5 6 6x y z x y x z y z y x z x z y              
           3 2 3 2
2 2 2
x y x z x y y z z x z y        
    9 9 6 3 3 3 2
2 2
x y z x y z     
Suy ra 
2 2 2
3 3 2 2 .
36( 5) 6( 5) 5
x y zP
x y z
 
 
    
 Đẳng thức xảy ra 1, 2.x y z    
 Vậy min
2 .
3
P  
Câu III. 
1) Tứ giác BPIM nội tiếp và 
AD BC   MAD BPM BIM    tứ giác AMID nội tiếp. Tương tự tứ giác DNIA 
nội tiếp. Vậy năm điểm , , , ,A M I N D thuộc một đường tròn  K 
2) Do các tứ giác BPIM và CPIN 
nội tiếp nên ta có   QMI BPI CNI  
 tứ giác MINQ nội tiếp. 
Mà  , ,M I N K Tứ giác MINQ nội tiếp đường tròn  K . 
Vậy Q thuộc đường tròn  K (đpcm) 
3) Khi , ,P I Q thẳng hàng, kết hợp với 
Q thuộc đường tròn  K ta có 
 AIQ PIC (đối đỉnh) 
  PIC PNC (do tứ giác NIPC nội tiếp) 
  PNC QND (đối đỉnh) 
  QND QID (do tứ giác INDQ nội tiếp ) 
 AIQ QID  
IQ là phân giác DIA nên IP là phân giác góc.BIC 
K
Q
NM I
B C
A D
P
K
Q
N
M
P
I
B C
A D
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội 
https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath 
Do đó PB IB ID IB ID BD PB BD
PC IC IA IC IA AC PC CA

     

(đpcm) 
Câu IV. Giả sử A có n số, chúng ta xếp chúng theo thứ tự 
 1 2 21 100. 1nx x x x      
Suy ra với mỗi  1,2,3, , 1k n  ta có  1 2 2i jk k k kx x x x x x      với 1 , .i j k  
 Áp dụng kết quả  2 ta thu được 2 3 4 51 1 2, 2 2 4, 8, 16,x x x x        
6 732, 64.x x  Suy ra tập A phải có ít nhất 8 phần tử. 
+) Giả sứ 8n  8 100x  . 
Vì 7 7 76 832 64 96 2 50.x x x x x        
Vì 5 76 6 616 32 48 2 25.x x x x x        
Vì 5 5 54 6
25
2
8 16 24 25 2x x x x x        
(mâu thuẫn). 
+) 9n  ta có tập  1,2,3,5,10,20,25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán . 
Đáp số: 9n 