Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán

UBND tØnh b¾c ninh
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi: To¸n (Dµnh cho tÊt c¶ thÝ sinh)
Thêi gian: 120 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Ngµy thi: 30 th¸ng 06 n¨m 2012
Bài 1 (2,0điểm)
	1) Tìm giá trị của x để các biểu thức có nghĩa:
 ; 
	2) Rút gọn biểu thức: 
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).
	1) Giải phương trình (1) khi m = 2.
	2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
3) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên.
Bài 3 (2,0 điểm)
	Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
	Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Bài 4 (3,0 điểm)
	Cho đường tròn O. Từ A là một điểm nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AM và AN với (O) ( M; N là các tiếp điểm ).
	1) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO.
	2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại B và C (B nằm giữa A và C ). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh I cũng thuộc đường tròn đường kính AO.
	3) Gọi K là giao điểm của MN và BC . Chứng minh rằng AK.AI = AB.AC.
Bài 5 (1,0 điểm)
	Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x + y = 1.
Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x2 + y2.
 --------------------- Hết --------------------
Câu 1: 
a) có nghĩa 3x – 2 
 có nghĩa 
b) 
 Câu 2: 
1.Thay m = 2 vào pt ta có: 
Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm: 
2. * Nếu m = 0 thì . 
Suy ra: Pt luôn có nghiệm với m=0
*Nếu m 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. 
Ta có: 
Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp ta có: pt luôn có nghiệm với mọi m (đpcm)
3. * Nếu m = 0 thì nguyên 
Suy ra: Với m = 0 pt có nghiệm nguyên 
* Nếu m # 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Từ ý 2 ta có: pt có 2 nghiệm: 
Để pt (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm phải nguyên hay m là ước của 2 m = {-2; -1; 1; 2}
Kết luận: Với m = {} thì pt có nghiệm nguyên
Câu 3: 
Gọi chiều dài hcn là x (m); chiều rộng là y (m) (0 < x, y < 17)
Theo bài ra ta có hpt : (thỏa mãn đk)
Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m
Câu 4 : 
Theo tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính 
tại tiếp điểm ta có : 
 vuông tại M A, M , O thuộc đường tròn 
đường kính AO ( Vì AO là cạnh huyền)
 vuông tại N A, N, O thuộc đường tròn 
đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền)
Vậy: A, M, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO 
Hay tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn đường kính AO
Vì I là trung điểm của BC (theo gt) (tc)
 vuông tại I A, I, O thuộc đường tròn 
đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền)
Vậy I cũng thuộc đường tròn đường kính AO (đpcm)
Nối M với B, C. 
Xét có chung
	 sđ
 (g.g) (1)
Xét có chung
	 (Vì: cùng chắn 
 và )
(g.g) (2)
Từ (1) và (2) ta có: AK.AI = AB.AC (đpcm)
Câu 5:
* Tìm Min A
 Cách 1: 
Ta có: 
Cộng vế với vế ta có: 
Vậy Min A = . Dấu “=” xảy ra khi x = y = 
Cách 2
 Từ Thay vào A ta có : 
Dấu « = » xảy ra khi : x = y = 
Vậy Min A = Dấu “=” xảy ra khi x = y = 
* Tìm Max A
Từ giả thiết suy ra 
Vậy : Max A = 1 khi x = 0, y
GIẢI CÂU 05 
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN BẮC NINH
2012-2013
=====================================
CÂU 05 : 
Cho các số x ; y thoả mãn x và x+ y = 1 
.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
I- TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
CÁCH 01 : 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có x + y = 1 nên y = - x + 1 thay vào A = x2 + y2 ta có : 
x2 + ( -x + 1)2 - A = 0 hay 2x2 - 2x + ( 1- A) = 0 (*) 
do đó để biểu thức A tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm hay .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là khi phương trình (*) có nghiệm kép hay x = mà x + y = 1 thì y = . Vậy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2 ( t/m)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 02 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
 Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có 1 = x + y hay
 1= (x + y)2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m) 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 03 : 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Không mất tính tổng quát ta đặt với 
Mà A= x2 + y2 . Do đó A = ( 1- m)2 + m2 hay A= 2m2 - 2m +1 
hay 2A = (4m2 - 4m + 1) + 1 hay 2A = (2m- 1)2 + 1 hay . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi m= 1/2 hay x = y = 1/2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
CÁCH 04 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có A = x2 + y2 = ( x+ y)2 - 2xy = 1 -2xy ( vì x + y =1 )
 mà xy .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
CÁCH 05 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Xét bài toán phụ sau : Với a , b bất kì và c ; d > 0 ta luôn có :
(*) , dấu “=” xảy ra khi 
Thật vậy : có (ĐPCM)
.ÁP DỤNG 
Cho a = x và b = y ,từ (*) có : A= x2 + y2 = mà x+ y =1 
Nên A .Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 06 :
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có A = x2 + y2 hay xy = (*) mà x + y =1 (**) 
Vậy từ (*) ;(**) có hệ phương trình ,hệ này có nghiệm . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x+ y =1 và x2 + y2 = hay x = y = 1/2. 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 07 :
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có A = x2 + y2 = x2 + y2 + 1 - 1 mà x + y =1 nên A = x2 + y2 - x - y -1
Hay A = . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2. 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 08 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có A= x2 + y2 = 
Mà x + y =1 nên A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2. khi x = y = 1/2. 
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
CÁCH 09 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có x + y = 1 là một đường thẳng , còn x2 + y2 = A là một đường tròn có tâm là gốc toạ độ O bán kín mà x thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn trên . Do đó để tồn tại cực trị thì khoảng cách từ O đến đường thẳng x + y =1 phải nhỏ hơn hay bằng bán kín đường tròn hay A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 10 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có x + y =1 . Vậy để chứng minh A 
với A = x2 + y2 thì ta chỉ cần chứng minh . 
Thật vậy :
Ta có 0 
Hay ( luôn đúng ) Vậy A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y =1/2. 
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 11 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Không mất tính tổng quát ta đặt 
.Do đó A = x2 + y2 hay (2-m)2 + (m-1)2 - A =0 hay 2m2 - 6m +5 = A 
Hay . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 12 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Không mất tính tổng quát ta đặt 
.Do đó A = x2 + y2 hay (3-m)2 + (m-2)2 - A =0 hay 2m2 - 10m +13 = A 
Hay . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 13 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = 3 mà A = x2 + y2 hay 
A = (x2 + 2x + 1) + ( y2 + 2y +1) - 4 hay A = (x+1)2 + ( y+1)2 - 4
,do đó ta đặt . Khi ta có bài toán mới sau :
Cho hai số a , b thoả mãn và a + b =3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 + b2 - 4
Thật vậy : Ta có A = a2 + b2 - 4 = (a+b)2 - 2ab - 4 = 5 - 2ab ( vì a+b=3)
Mặt khác theo côsi có : do đó A . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 14 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Không mất tính tổng quát ta đặt 
 ( với a > b vì a - b =1 hay a = b+ 1 hay a > b )
.Do đó A = x2 + y2 hay (a-m)2 + (m-b)2 - A =0 hay
 2m2 - 2m (a+b) +(a2 + b2) = A hay 
Hay 
(Vì a - b= 1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
CÁCH 15 : 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Ta có x + y =1 hay y = 1 - x mà y 
Do đó x2 + y2 - A = 0 hay 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 .
Khi đó ta có bài toán mới sau :
Tìm A để phương trình 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 (*) có nghiệm 
Với x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (*)
Thật vậy để phương trình (*) có nghiệm 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0 .
II- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
CÁCH 01 : 
Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0
CÁCH 02 : 
Ta có A = x2 + y2 hay xy = (*) vì x + y =1 mà x 
Do đó theo (*) có A . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0
CÁCH 03 : 
Không mất tính tổng quát ta đặt 
Do đó A = . 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1
 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0