Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 môn thi: Toán khối A có đáp án

Bộ giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009
Môn thi: toán; Khối A
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số (1)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân	
Câu IV (1,0 điểm)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD =a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm)
 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz, ta có:
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3
Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D: . Viết phương trình đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và mặt cầu (S): . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức:
Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): và đường thẳng D: , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và hai đường thẳng D1: , D2: . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
 (x, yẻ R)
--- Hết ---
Huớng dẫn chấm thi
Câu
Đáp án 
Điểm 
Phần chung cho tất cả các thí sinh
7 điểm 
Câu I
a)
Khảo sát hàm số 
1.00
a/ Tập xác định: 
0.25
b/ Sự biến thiên của hàm số 
Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận
 , nên đường thẳng là tiệm cận đứng
 ,, nên đường thẳng là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên : 
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và 
0.25
0.25
c/ Đồ thị: 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm và Cắt trục hoành tại điểm 
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
0.25
b)
Viết phương trình tiếp tuyến 
1.00
* Tam giaực OAB caõn taùi O neõn tieỏp tuyeỏn song song vụựi moọt trong hai ủửụứng thaỳng y = x hoaởc y = -x. Mà y’ < 0, nên:
 ị 
0.50
* D1 : y – 1 = -1(x + 1) Û y = -x (loaùi)
0.25
* D2 : y – 0 = -1(x + 2) Û y = -x – 2 
0.25
Câu II
2.00
a)
Giải phương trình 
1.00
* 	ĐK: , sinx ≠ 1	
0.50
* 
 (loaùi) , k ẻ Z (thoả mãn)
0.50
b)
Giải phương trình 
1.00
* Đặt với 
Ta được 
0.25
* Phương trình đã cho tương đương với Hpt 
0.25
* Giải hệ phương trình ta được 
0.25
* Do đó . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2
0.25
Câu 3
Tính tích phân 
1.00
* Ta có 
0.25
* Tính 
0.25
* Tính 
0.25
* Vậy 
0.25
Câu 4
Tính thể tích của hình chóp
* Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùnh vuông góc với mp(ABCD), nên SI là đường cao của hình chóp 
 Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và mp(ABCD). Hay góc SHI = 600
0.25
* Đáy ABCD có diện tích là: 
0.25
* Tam giác IBC có diện tích 
Suy ra: vì với trung điểm M của AB thì tam giác MBC vuông cân ,nên 
0.25
* Xét tam giác vuông SIH : . Vởy thể tích của hình chóp là : 
0.25
Câu 5
Chứng minh bất đẳng thức
1.00
* Vì x,y,z >0 nên x(x+y+z) = 3yz 
Đặt.Tađược: 
0.25
* Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về
0.25
* 
0.50
* Lại do ,nên bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ĐPCM
Phần riêng cho từng chương trình
3.00
Phần đề thi theo chương trình chuẩn
Câu VI.a
Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian
2.00
a)
Viết phương trình đường thẳng
1.00
* Vì nên toạ độ của E có dạng E(m; 5 – m); Gọi F là trung điểm của AB thì F (12 – m; m – 1). Do E,F đối xứng nhau qua điểm I(6;2)
0.25
* Theo giả thiết
0.25
* Với m = 6 thì AB có VTPT là: , suy ra pt AB là y = 5
0.25
* Với m = 7 thì VTPT là , suy ra pt AB là x – 4y + 19 = 0
0.25
b)
Mặt cầu, đường tròn giao tuyến
1.00
* PT m.c viết thành , nên tâm I(1;2;3) và R=5 
0.25
* Khoảng cách d từ tâm I đến mp(P) là: . Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến là đường tròn tâm J, bán kính r.
0.25
* Bỏn kớnh đường trũn r = 
0.25
* Phương trình JI là x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nên J=(1+2t;2-2t;3-t) và , suy ra tâm của đường tròn là J(3 ;0 ;2)
0.25
Câu VII.a
Số phức 
1.00
* Phương trình có 2 nghiệm phức là z= -1+3i và z = -1- 3i
0.50
* Do đó A = ẵz1ẵ2 + ẵz2ẵ2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20
0.50
Phần đề thi theo chương trình nâng cao
Câu VI.b
Phương pháp toạ độ trong không gian
2.00
a)
Tìm tham số m
1.00
* (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 cú tõm là I (-2; -2); R = 
	Điều kiện để D cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A, B là (1) 
0.25
* Kẻ đường cao IH của DIAB, ta cú: SDABC = = sin
	Do đú SDABC lớn nhất khi và chỉ khi sin = 1 Û DAIB vuụng tại I
0.25
* Ta được IH = (thỏa IH < R) Û 
	Û 1 – 8m + 16m2 = m2 + 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 
0.50
b)
Tìm điểm M
1.00
* Toạ độ của M có dạng: M (-1 + t; t; -9 + 6t) ẻD1
D2 qua A (1; 3; -1) cú vộctơ chỉ phương = (2; 1; -2)
0.25
* Vectơ = (t – 2; t – 3; 6t – 8) ị = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t)
0.25
* Ta cú : d (M, D2) = d (M, (P)) Û 
 Û 35t2 - 88t + 53 = 0 Û t = 1 hay t = 
0.25
* Do đó, có 2 điểm M thoả mãn là : M (0; 1; -3) và M 
0.25
Câu VII.b
GiảI hệ phương trình
1.00
* Điều kiện xy > 0
0.25
* Hệ phương trình Û 
0.25
* GiảI hpt ta được 2nghiệm là: và 
0.50
------------------------------------- Hết ----------------------------------