Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm học 2015-2016 - Lần 1 - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA  NĂM HỌC 2015­2016­LẦN I 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. 
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số = - + 3 2 3 2 y x x 
Câu 2 (1,0 điểm).Tìm cực trị của hàm số :  sin 2 2 y x x = - +  . 
Câu 3 (1,0 điểm). 
a)  Cho  tan 3 = a  . Tính giá trị biểu thức 
3 3 
3sin 2cos 
5sin 4cos 
M 
- 
= 
+ 
a a 
a a 
b)  Tính giới hạn : 
2 3 
4 3 
lim 
9 x 
x x 
L 
x ® 
- - 
= 
- 
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình :  2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 x x x x - + = 
Câu 5 (1,0 điểm). 
a) Tìm  hệ số của  10 x  trong khai triển của biểu thức : 
5 
3 
2 
2 
3x 
x 
æ ö - ç ÷ 
è ø 
. 
b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12  quả đỏ và  8  quả xanh. Lấy ngẫu nhiên (đồng 
thời) 3quả. Tính xác suất để có ít nhất một quả cầu màu xanh. 
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho hình bình hành  ABCD  có hai đỉnh 
( ) 2; 1 A - -  , ( ) 5;0 D  và có  tâm ( ) 2;1 I  . Hãy xác  định  tọa độ hai đỉnh  , B C và góc nhọn hợp bởi hai 
đường chéo của hình bình hành đã cho. 
Câu 7 (1,0 điểm). 
Cho hình chóp S.ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông tại  A , mặt bên  SAB  là tam giác đều và nằm 
trong  mặt  phẳng  vuông  góc  với  mặt  phẳng ( ) ABC  ,  gọi  M  là  điểm  thuộc  cạnh  SC  sao  cho 
2 MC MS =  . Biết  3, 3 3 AB BC = =  ,  tính  thể  tích  của khối  chóp  S.ABC  và khoảng  cách  giữa hai 
đường thẳng  AC  và  BM . 
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho tam giác  ABC  ngoại tiếp đường tròn 
tâm ( ) 2;1 J  . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh  A  của tam giác  ABC  có phương trình :  2 10 0 x y + - = 
và ( ) 2; 4 D -  là giao điểm thứ hai của  AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC . Tìm tọa độ các 
đỉnh tam giác  ABC  biết  B  có hoành độ âm  và  B  thuộc đường thẳng có phương trình  7 0 x y + + =  . 
Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình : 
3 3 2 2 
3 2 
3 12 7 3 6 
2 4 4 2 
x y x y x y 
x y x y x y 
ì - + - + = - ï 
í 
+ + - = + - - ï î 
Câu 10 (1,0 điểm).Cho hai phương trình :  3 2 2 3 4 0 x x x + + + =  và  3 2 8 23 26 0 x x x - + - =  . 
Chứng minh rằng mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó. 
­­­­­­­­Hết­­­­­­­ 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh: 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA  LẦN I 
NĂM HỌC 2015­2016 
Môn: TOÁN ( Gồm 6 trang) 
Câu  Đáp án  Điểm 
Câu 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số = - + 3 2 3 2 y x x  1,0 
Tập xác định:  D = ¡ . 
Ta có  2 3 6 y' x x. = -  ; 
0 
0 
2 
x 
y' 
x 
= é 
= Û ê = ë 
0,25 
­ Xét dấu đạo hàm; Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0) -¥  và  (2; ) +¥  ; nghịch 
biến trên khoảng  (0;2) . 
­ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT =­2. 
­ Giới hạn:  lim , lim 
x x 
y y 
®+¥ ®-¥ 
= +¥ = -¥ 
0,25 
Bảng biến thiên: 
x -¥  0                        2 +¥ 
y'  +          0  ­  0              + 
y  2 +¥ 
-¥  ­2 
0,25 
1 (1,0 đ)  Đồ thị: 
f(x)=(x^3)­3*(x)^2+2 
­8  ­6  ­4  ­2  2  4  6  8 
­5 
5 
x 
y 
0,25 
Câu 2 .Tìm cực trị của hàm số :  sin 2 2 y x x = - +  .  1,0 
Tập xác định  D = ¡ 
( ) ( ) 1 2cos 2 , 4sin 2 f x x f x x ¢ ¢¢ = - =  0,25 
2 (1,0 đ) ( )  1 0 1 2cos 2 0 cos 2 , 
2 6 
f x x x x k k 
p ¢ = Û - = Û = Û = ± + p ΢  0,25
4sin 2 3 0 
6 3 
f k 
p p æ ö æ ö ¢¢ - + p = - = - < Þ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
hàm số đạt cực đại tại 
6 i 
x k 
p 
= - + p 
Với 
3 
2 , 
6 6 2 C 
y f k k k 
p p æ ö = - + p = - + + + p Î ç ÷ 
è ø 
D  ¢ 
0,25 
4sin 2 3 0 
6 3 
f k 
p p æ ö æ ö ¢¢ + p = = > Þ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
hàm số đạt cực tiểu tại 
6 i 
x k 
p 
= + p 
Với 
3 
2 , 
6 6 2 C 
y f k k k 
p p æ ö = + p = - + + p Î ç ÷ 
è ø 
T  ¢ 
0,25 
Cho  tan 3 = a  . Tính giá trị biểu thức 
3 3 
3sin 2cos 
5sin 4cos 
M 
- 
= 
+ 
a a 
a a 
0,5 
( ) ( ) 2 2 2 2 
3 3 
3sin sin cos 2cos sin cos 
5sin 4cos 
M 
+ - + 
= 
+ 
a a a a a a 
a a 
3 2 2 3 
3 3 
3sin 2sin cos 3sin cos 2cos 
5sin 4cos 
- + - 
= 
+ 
a a a a a a 
a a 
(chia tử và mẫu cho  3 cos a ) 
3 2 
3 
3 tan 2 tan 3tan 2 
5 tan 4 
- + - 
= 
+ 
a a a 
a 
0,25 
3.(1,0đ)  Thay  tan 3 = a  vào ta được 
3 2 
3 
3.3 2.3 3.3 2 70 
5.3 4 139 
M 
- + - 
= = 
+ 
0,25 
Lưu ý: HS cũng có thể từ  tan 3 a =  suy ra  2 2 
2 
k k p p a p < < +  và 
1 3 
cos ; sin 
10 10 
a a = =  rồi thay vào biểu thức M. 
b) Tính giới hạn : 
2 3 
4 3 
lim 
9 x 
x x 
L 
x ® 
- - 
= 
-  0,5 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
2 
2 2 3 3 
4 3 4 3  4 3 
lim lim 
9 4 3 9 4 3 x x 
x x x x  x x 
L 
x x x x x x ® ® 
- - + - - + 
= = 
- + - - + - 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( ) 3 
1 3 1 1 
lim 
18 3 4 3 3 3 3 4.3 1 x 
x 
L 
x x x ® 
- - 
= = = 
+ + - + + -  0,25 
Câu 4.Giải phương trình :  2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 x x x x - + =  1,0 
4 .(1,0 đ)  Phương trình ( ) 2 2 2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 sin cos x x x x x x Û - + = + 
2 2 sin 4sin cos 3cos 0 x x x x Û - + = 
0,25 
( ) ( ) sin cos sin 3cos 0 sin cos 0 sin 3cos 0 x x x x x x x x Û - - = Û - = Ú - =  0,25 
tan 1 tan 3 arctan3 , 
4 
x x x k x k k 
p 
Û = Ú = Û = + p Ú = + p ÎZ  0,25 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:  , arctan 3 , 
4 
x k x k k 
p 
= + p = + p ÎZ  0,25 
a) Tìm  hệ số của số hạng chứa  10 x  trong khai triển của biểu thức : 
5 
3 
2 
2 
3x 
x 
æ ö - ç ÷ 
è ø 
.  1,0 
( ) ( ) 
5  5 5 5 
3 3 5 15 5 
5 5 2 2 
0 0 
2 2 
3 3 . 1 3 .2 
k k 
k k k k k k 
k k 
x C x C x 
x x 
- 
- - 
= = 
æ ö æ ö - = - = - ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
å å  0,25 
Hệ số của của số hạng chứa  10 x  là  5 5 ( 1) 3 2 , 
k k k k C - -  với 15 5 10 1 k k - = Û = 
Vậy hệ số của  10 x  là : ( ) 1 1 4 1 5  1 3 2 810 C - = - 
0,25
5 (1,0 đ)  b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12  quả đỏ và  8  quả xanh. Lấy ngẫu 
nhiên3quả. Tính  xác  suất để  trong 3 quả cầu chọn  ra có  ít nhất một quả cầu màu 
xanh. 
Số phần tử của không gian mẫu là ( )  3 20 n C W = 
GọiA là biến cố “Chọn được ba quả cầu  trong đó có ít nhất một quả cầu màu xanh” 
0,25 
Thì A là biến cố “Chọn được ba quả cầu  màu đỏ” ( ) ( ) 
3 
3  12 
12  3 
20 
C 
n A C P A 
C 
Þ = Þ = 
Vậy xác suất của biến cố A là ( ) ( ) 
3 
12 
3 
20 
46 
1 1 
57 
C 
P A P A 
C 
= - = - = 
0,25 
Câu 6 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho hình bình hành  ABCD  có hai 
đỉnh ( ) 2; 1 A - -  , ( ) 5;0 D  và có tâm ( ) 2;1 I  . Hãy xác định tọa độ hai đỉnh  , B C và 
góc nhọn hợp bởi hai đường chéo của hình bình hành đã cho. 
1,0 
Do  I  là trung điểm  BD . Suy ra ( ) 
2 4 5 1 
1;2 
2 2 0 2 
B I D 
B I D 
x x x 
B 
y y y 
= - = - = - ì 
Þ - í = - = - = î 
0,25 
6 .(1,0 đ)  Do  I  là trung điểm  AC . Suy ra ( ) 
2 4 2 6 
6;3 
2 2 1 3 
C I A 
C I A 
x x x 
C 
y y y 
= - = + = ì 
Þ í = - = + = î 
0,25 
Góc nhọn ( ) , AC BD a =  . Ta có ( ) ( ) 8;4 , 6; 2 AC BD = = - 
uuur uuur 
0,25 
( )  48 8 2 cos cos , 45 
2 4 5.2 10 
AC BD 
AC BD 
AC BD 
× - 
a = = = = Þ a = o 
uuur uuur uuur uuur 
uuur uuur  0,25 
Câu 7 . Cho hình chóp S.ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông tại  A , mặt bên  SAB 
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC  , gọi  M 
là điểm thuộc cạnh SC  sao cho  2 MC MS =  . Biết  3, 3 3 AB BC = =  , tính thể tích 
của khối chóp S.ABC  và khoảng cách giữa hai đường thẳng  AC  và  BM . 
1,0 
Gọi  H là trung điểm  AB SH AB Þ ^  ( do 
SAB D  đều). 
Do ( ) ( ) ( ) SAB ABC SH ABC ^ Þ ^ 
Do  ABC D  đều  cạnh bằng  3 
nên  2 2 
3 3 
S , 3 2 
2 
H AC BC AB = = - = 
K 
N  M 
H 
C 
B 
A 
S 
0,25 
3 
. 
1 1 3 6 9 6 
3 6 12 4 S ABC ABC 
V SH S SH AB AC Þ = × × = × × × = =  (đvtt)  0,25 
7. (1,0 đ)  Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt  SA  tại ( ) || || N AC MN AC BMN Þ Þ 
( ) , AC AB AC SH AC SAB ^ ^ Þ ^  , ( ) ( ) || AC MN MN SAB MN SAB Þ ^ Þ ^ 
( ) ( ) BMN SAB Þ ^  theo giao tuyến  BN . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) || , , , AC BMN d AC BM d AC BMN d A BMN AK Þ = = =  với  K 
là hình chiếu của  A  trên  BN 
0,25 
2 2 2 2 3 3 3 3 
3 3 3 4 2 ABN SAB 
NA MC 
S S 
SA SC 
= = Þ = = × =  (đvdt) và 
2 
2 
3 
AN SA = =  0,25
2 2 0 2A . .cos60 7 BN AN AB N AB = + - = 
3 3 
2 2S  3 21 2 
7 7 
ABN AK 
BN 
× 
Þ = = = 
Vậy ( )  3 21 d , 
7 
AC BM =  (đvđd) 
Lưu ý: Việc tính thể tích, học sinh cũng có thể giải quyết theo hướng  ( ) CA SAB ^ 
và  . . S ABC C SAB V V = 
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy  , cho tam giác  ABC  ngoại tiếp đường 
tròn  tâm ( ) 2;1 J  . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh  A  của tam giác  ABC  có phương 
trình :  2 10 0 x y + - =  và ( ) 2; 4 D -  là giao điểm thứ hai của  AJ với đường tròn ngoại 
tiếp tam giác  ABC . Tìm tọa độ các đỉnh tam giác  ABC  biết  B  có hoành độ âm  và 
B  thuộc đường thẳng có phương trình  7 0 x y + + =  . 
1,0 
AJ đi qua ( ) 2;1 J  và ( ) 2; 4 D -  nên có 
phương trình  : 2 0 AJ x - = 
{ }  , A AJ AH = Ç  ( trong đó  H  là chân 
đường cao xuất phát từ đỉnh  A ) 
Tọa độ  A  là nghiệm của hệ 
( ) 
2 0 2 
2;6 
2 10 0 6 
x x 
A 
x y y 
- = = ì ì 
Û Þ í í + - = = î î 
0,25 
8 .(1,0 đ)  Gọi  E  là giao điểm thứ hai của  BJ  với đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC . 
Ta có  » » DB DC DB DC = Þ =  và  » » EC EA = 
·  1 
2 
DBJ =  (sđ » EC + sđ » DC )= 1 
2 
(sđ » EA + sđ » DB )= · DJB DBJ Þ D  cân tại  D Þ 
DC DB DJ = =  hay  D  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  JBC 
Suy  ra  , B C  nằm  trên  đường  tròn  tâm ( ) 2; 4 D -  bán  kính  2 2 0 5 5 JD = + =  có 
phương trình ( ) ( ) 2 2 2 4 25 x y - + + =  . Khi đó tọa độ  B  là nghiệm của hệ 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
2 2  3; 4 3 2 2 4 25 
4 9  2; 9 7 0 
B x x x y 
y y  B x y 
ì - - é = - = ì ì - + + = ï Û Ú Þ ê í í í = - = - - + + = î î ê ï ë î 
Do  B  có hoành độ âm  nên ta được ( ) 3; 4 B - - 
0,25 
( ) ( ) 
( ) 
3; 4 3; 4 
: : 
1; 2 AH 
qua B qua B 
BC BC 
vtpt n u AH 
- - ì - - ì ï ï Þ í í 
= = - ^ ï ï î î 
r r  : 2 5 0 BC x y Þ - - = 
Khi đó tọa độ C  là nghiệm của hệ 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
( ) 
2 2  3; 4 3 5 2 4 25 
5;0 
4 0  5;0 2 5 0 
C B x x x y 
C 
y y  C x y 
ì - - º é = - = ì ì - + + = ï Û Ú Þ Þ ê í í í = - = - - = î î ê ï ë î 
Vậy ( ) ( ) ( ) 2;6 , 3; 4 , 5;0 A B C - - 
0,25 
Câu 9. Giải hệ phương trình : 
( )
( ) 
3 3 2 2 
3 2 
3 12 7 3 6 1 
2 4 4 2 2 
x y x y x y 
x y x y x y 
ì - + - + = - ï 
í 
+ + - = + - - ï î 
1,0 
Điều kiện : 
2 0 2 
4 0 4 
x x 
y y 
+ ³ ³ - ì ì 
Û í í - ³ £ î î 
0,25 
H 
E 
J  I
D 
C B 
A
Từ phương trình ( ) 1  ta có ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 1 2 1 3 x y x y y x - = - Û - = - Û = + 
9 .(1,0 đ)  Thay ( ) 3  vào ( ) 2  ta được pt: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 1 1 4 2 1 x x x x x x + + - + = + + - - + 
Û  3 2 2 3 4 1 x x x x x + + - = + - -  , Đ/K  2 3 x - £ £ 
0,25 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
3 2 2 
2 2 3 2 
2 3 3 4 4 1 4 
2 3 3 
x x 
x x x x x x x 
x x 
+ - - 
Û + + - - = + - - Û = + - 
+ + - + 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
2 
2 2 3 4 
1 4 
2 3 3 2 3 2 
x x 
x x 
x x x x 
+ - - é ù ë û Û = + - 
+ + - + + - + 
( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 
2 
2 
2 2 
2 2 
2 3 3 2 3 2 
x x 
x x x 
x x x x 
- + + 
Û = + - - 
+ + - + + - + 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
2 
0 
2 
2 2 0 
2 3 3 2 3 2 
x x x 
x x x x 
> 
æ ö 
ç ÷ 
ç ÷ Û - - + + = ç ÷ + + - + + - + ç ÷ 
ç ÷ 
è ø 
144444444424444444443 
2  2 0 2 1 x x x x Û - - = Û = Ú = - 
· ( ) ( ) ( ) 3 2 3 ; 2;3 x y x y = ¾¾® = Þ =  ( thỏa mãn đ/k) 
· ( ) ( ) ( ) 3 1 0 ; 1;0 x y x y = - ¾¾® = Þ = -  ( thỏa mãn đ/k) 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2;3 , ; 1;0 x y x y = = - 
0,25 
Câu10.Chohai phương trình:  3 2 2 3 4 0 x x x + + + =  và  3 2 8 23 26 0 x x x - + - =  .Chứng 
minh rằng mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó 
1,0 
·  Hàm số ( )  3 2 2 3 4 f x x x x = + + +  xác định và liên tục trên tập ¡ 
Đạo hàm ( ) ( ) 2 3 2 3 0, f x x x x f x ¢ = + + > " Î Þ ¡  đồng biến trên ¡ ( ) * 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 . 0 40 .4 160 0 4;0 : 0 ** f f a f a - = - = - < Þ $ Î - = 
Từ ( ) *  và ( ) **  suy ra  phương trình 
3 2 2 3 4 0 x x x + + + =  có một nhiệm duy nhất  x a = 
0,25 
10.(1,0đ) ·  Tương tự phương trình 
3 2 8 23 26 0 x x x - + - =  có một nhiệm duy nhất  x b =  0,25 
Theo trên :  3 2 2 3 4 0 a a a + + + = ( ) 1 
Và ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 8 23 26 0 2 2 2 3 2 4 0 2 b b b b b b - + - = Û - + - + - + = 
Từ ( ) 1  và ( ) 2 Þ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 4 2 2 2 3 2 4 3 a a a b b b + + + = - + - + - + 
0,25 
Theo trên hàm số ( )  3 2 2 3 4 f x x x x = + + +  đồng biến  và liên tục trên tập ¡ 
Đẳng thức ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 f a f b a b a b Û = - Û = - Û + = 
Vậy tổng hai nghiệm của hai phương trình đó bằng  2 . 
0,25 
Lưu ý khi chấm bài: 
­ Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm 
nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. 
­ Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. 
­ Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. 
­ Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
­ Trong lời giải câu 7 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. 
­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.