Đề thi olympic toán 8, năm học: 2014 – 2015 - Trường THCS Hồng Dương

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8.
Năm học: 2014 – 2015.
Thời gian : 120 phút.
Bài 1 : (6 điểm) 
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
b. Giải phương trình: 
c. Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 2 (5 điểm): a) Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 
 b) Chøng minh r»ng: 20092009 + 20112010 chia hÕt cho 2010
Bài 3 (6 điểm)
 Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD
Bµi 4 (3 ®iÓm): 
 Cho x, y lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:
 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC TOÁN 8.
Năm học: 2014 – 2015.
Bài 1
(6 điểm)
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
 	= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(2 điểm)
b. 
 (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
(2 điểm)
c. Nhân cả 2 vế của: 
với a + b + c; rút gọn đpcm	
(2 điểm)
Bài 2(5 điểm):
a) 
 yz = –xy–xz (0,5điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,5điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,5điểm )
Do đó: ( 0,5điểm )
Tính đúng A = 1 ( 1 điểm )
 b) a) Ta cã: 20092009 + 20112010 = (20092009 + 1) + ( 20112010 - 1)
 V× 20092009 + 1 = (2009 + 1)(20092008 - ) 
 = 2010.() chia hÕt cho 2010 (1) (1 điểm)
 20112010 - 1 = ( 2011 - 1)(20112009 + )
 = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (2) (1 điểm)
 Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
Bài 6 (6 điểm) : Vẽ hình, ghi GT,KL : 0,5 điểm 
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có , 
0,5đ
Lập luận để có 
0,5đ
 OM = ON
0,5đ
b, (2 điểm)
Xét để có (1), xét để có (2)
Từ (1) và (2) OM.()
0,75đ
Chứng minh tương tự ON. 
0,75đ
từ đó có (OM + ON). 
0,5đ
b, (2 điểm)
, 
0,5đ
Chứng minh được 
0,5đ
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
0,5đ
Bµi 5: (3 điểm )
 (1)
 (1 điểm) 
 V× => => (1 điểm)
 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) (1 điểm)