Đề thi Olympic Toán 7 - Năm học 2013-2014 - Thanh Oai

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Đề THI OLYMPIC TOÁN 7
Trường THCS Thanh Văn Năm học 2013-2014
 (Thời gian 120 phút )
 Câu 1. (5điểm )
 1. Cho c2=ab Chứng minh rằng: 
 a ; 
 b; = 
 2. Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó.
 Câu 2. (6 điểm ) 
 1. Cho đa thức:
 f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +.+ 2000x – 1
 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
 2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:
 A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn.
 Câu 3.(2 điểm ). 
 Tìm số tự nhiên x để phân số có giá trị lớn nhất.
 Câu 4. (7 điểm ). 
 1. Cho tam giác ABC cân tại A, = 500.Gọi K là điểm trong tam giác sao cho =100, = 300.
 a, Chứng minh BA=BK
 b, Tính số đo 
 2. Cho xAy = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh :
 a, K là trung điểm của AC
 b, KMC là tam giác đều 
 c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh AKM
	- Hết-
Duyệt của BGH	 Người ra đề
 Nguyễn Thị Lan Hương
 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC 
 Môn: Toán 7( Năm 2013-2014)
 Câu 1 . (5đ)
 1.(2đ) a, Từ c2=a.b 
 b, Theo câu a ta có 
 2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c = 
 Và a : b : c = = 6 : 40 : 25 .
 Suy ra a = ; b = ; c = 
 Câu 2.(6điểm )
 1. (3đ)
 f(x) =x17 – 1999x16 – x16 + 1999x15 + x15 – 1999x14 - x14++1999x + x – 1
f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915- 199914++19992+1999 – 1
 = 1999 – 1 = 1998.
 2.(3đ)
 Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = .. = 2m + 2n – 3
 Với m, n N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số 
 5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn. 
 Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn.
 Câu 3 . (2 đ)
 .Đặt A=
 Đặt B= Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất 
 GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2
Câu 4;(7 đ)
1.(4đ)
a,-vẽ tia phân giác cắt CK ở I . .Ta có cân nên IB=IC
..(ccc)
nên =120o
Do đó (gcg)
b, ..Từ phần a ta tính được 
2.(3đ)
V ẽ h ình , GT _ KL 
a, ABC cân tại B do và BK là đường cao BK là đường trung tuyến
 K là trung điểm của AC 
b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )
 BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC
 BH = AC
 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC là tam giác cân ( 1 )
Mặt khác : = 900 và = 300
 = 600 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
 AK = 
Mà KC = AC => KC = AK = 
KCM đều => KC = KM = 
Theo phần b) AB = BC = 4
 AH = BK = 2
 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
=> AM = AH + HM = 6