Đề thi olympic năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán 8

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC 
TRƯỜNG THCS THANH VĂN Năm học 2014-2015
 Môn thi : Toán 8
	 (Thời gian 120 phút )
Câu I(6 điểm):
 1.Cho M= 
 a)Rút gọn M.
 b)Tính giá trị nguyên của a để M nhận giá trị nguyên.
 2.Giải phương trình:
 a) 
 b) =9
Câu II(4 điểm):
 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
 2.Chứng minh rằng nếu m thì không là số nguyên tố.
Câu III(3 điểm):
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A=
Câu IV(6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm 	D và E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho .Chứng minh 	rằng:
 a) và đồng dạng.
 b) BD.CE không đổi.
 c) DM là phân giác của .
Câu V(1 điểm): Chứng minh rằng đa thức sau:
 A= chia hết cho 24 với là số tự nhiên.
Thẩm định của tổ 	 Người ra đề
	Nguyễn Thị Lan Hương
Duyệt của BGH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
Năm học: 2014-2015
Môn thi: Toán lớp 8
Câu
 Nội dung
Điểm
Câu I
(6điểm)
1.a)
M=
 = (với a)
 b)
 M=
 M nguyên khi a-2 là ước của 4 mà Ư(4)={
2. a) =0
 mà ( với nên (1) hoặc 
 Vậy nghiệm phương trình : x=1 hoặc x=-1
 b)+=9 (2)
 Xét x < 2 thì (2)= 2 - x + 3 - x =9 x=-2 (thỏa mãn)
 Xét 2thì (2)=x -2 +3 - x=9 (vô lý)
 Xét x >3 thì (2)=x - 2 +x - 3=9 x=7(thỏa mãn)
 Vậy nghiệm phương trình: x=-2 hoặc x=7
2đ
1đ
1,5đ
1,5đ
Câu II
(4điểm)
1. (2)
 (vì x=5 không là nghiệm (2))
 vì x,y nguyên nên x-5 là ước của 3 x-5{-1,1,3,-3} hay 
 x { 4,6,8,2}
x
2
6
4
8
y
0
8
0
8
Vậy nghiệm phương trình (x,y)=(2,0);(4,0);(6,8);(8,8)
2. 
 =
 =[(
 =[(
 vì 
 nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi a=-1
 giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1 nếu a=1
 còn các trường hợp khác là tích >1
 Vậy ngoài a=1 hoặc a=-1 khi đó m=5 thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên m không thể là số nguyên tố.
2đ
2đ
CâuIII
(3điểm)
A=
vì và nên A
vậy GTNN của A=-1 khi x=6
A=
 =
vì và nên A
vậy GTLN của A=4 khi x=
1,5đ
1,5đ
Câu IV
(6điểm)
 A
 E
 D
 B M C
a) Xét BDM có ,
 mà 
Xét và có và 
và đồng dạng
b)từ câu (a)
vậy BD.CE không đổi.
c)CM : 
là phân giác của 
0,5đ
2đ
2đ
1,5đ
Câu V
(1điểm)
đa thức là 4 số TN liên tiếp 
vì trong 3 số TN liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 đa thức chia hết cho 3.
vì trong 4 số TN liên tiếp có 2 số chẵn chia hết cho 2 và có 1 trong 2 số đó chia hết cho 4 đa thức chia hết cho 8 vì (3,8)=1.
tích của 4 số TN liên tiếp chia hết cho 24.
vậy (chia hết cho 24
1đ