Đề thi olympic môn Toán học lớp 8 năm học 2014 - 2015

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ
 ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC 2014 - 2015
Thời gian làm bài: 120 phút 
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 6 điểm): 
 1. Cho x = by + cz; y = ax + cz ; z = ax + by và x + y + z 0
Tính giá trị của biểu thức S = 
2.Giải phương trình:
Bài 2( 4 điểm)
1.Giải phương trình nghiệm nguyên: 3xy – 5x – 2y = 3 
 2.Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d sao cho a2 + b2 = c2 + d2 . Chứng minh rằng tổng a + b + c + d là hợp số.
Bài 3(3 điểm) : Cho a,b, là các số dương và a.b = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 
Câu 4( 6 điểm): 
 Cho tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Vẽ tia Cx song song với AB cắt DE tại G. Gọi H là giao điểm của AC và BG. Vẽ Hy song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
DA. EG = DB.DE 
HC2 = HE.HA 
Bài 5: (1 điểm) Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mãn (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z. Chứng minh rằng x + y + z chia hết cho 27.
....................................... Hết........................................
PHÒNG GD - ĐT THANH OAI
 TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 8
Năm học: 2014-2015
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài1 
(6 điểm)
1/ (3 điểm) : 
Từ các điều kiện đã cho ta có x + y + z = 2(ax + by + cz)
Mặt khác x = by + cz nên x + y + z = 2(ax + x) = 2x(a + 1)
Suy ra 
Tương tự : 
Do đó S = = 
Vậy S = 2
0,25đ
0,75 đ
0,5đ
0,5đ
1đ
 2.Giải phương trình: (3 điểm)
 (1)
 Ta lập bảng xét dấu các nhị thức bậc nhất x + 1; x – 3 
x
 -1 3
x + 1
 0 + +
x – 3
 - 0 +
Xét các trường hợp: 
+ Trường hợp 1: Nếu x < -1 thì phương trình (1) trở thành:
- x – 1 – x + 3 = 2x – 1 x = (không thỏa mãn ĐK)
+ Trường hợp 2: Nếu thì phương trình (1) trở thành:
 x + 1 – x + 3 = 2x – 1 x = (thỏa mãn ĐK)
 + Trường hợp 3: Nếu x > 3 thì phương trình (1) trở thành:
 x + 1 + x - 3 = 2x – 1 0x = 1 vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 
0,75đ
0,75đ
0,75đ
0,75 đ
Bài 2
(4 điểm) 
1/ (2điểm) 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 3xy – 5x – 2y = 3 (1)
Từ (1) ta có: x(3y – 5) – 2y = 3 
 3x(3y – 5) – 6y = 9 
 3x(3y – 5) – 2(3y – 5) = 9 + 10 
 (3x – 2)(3y – 5) = 19 
 3x – 2 ; 3y – 5 Ư(19) ta có bảng sau: 
3x – 2
-19
-1
1
19
3y – 5
-1
-19
19
1
x
1
7
y
8
2
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm nguyên là (x;y) =(1; 8) và
(x;y) = (7; 2)
2/ (2 điểm) 
Xét hiệu (a2 + b2 + c2 + d2) – (a + b + c + d) 
 = (a2 – a) + (b2 – b) + (c2 – c) + (d2 – d) chia hết cho 2
Mặt khác do a2 + b2 = c2 + d2 nên a2 + b2 + c2 + d2 = 2(a2 + b2) chia hết
 cho 2
Suy ra a + b + c + d chia hết cho 2
Do a, b, c, d nguyên dương nên a + b + c + d > 2 
Vậy a + b + c + d là hợp số.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1 đ
1 đ
Bài 3
(3 điểm)
Vì ab = 1 nên ta có : (a2 – b)2 = a4 + b2 – 2a2b 
Tương tự: 
Do đó 
GTLN của A là 1 khi: 
0,5đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(6 điểm)
Bài 5 (1điểm)
x
A
B
D
C
E
G
I
H
y
K
 Vẽ hình đúng 
 a) ; 
Mà CG = DB (BDGC là hình bình hành) nên AD.EG = DB.DE
 b) 
Từ đó suy ra: 
Gọi K là giao điểm của IH và AG
Ta có IH // CG (1)
 HK // CG (2)
 IH//AB (3)
Từ (1); (2); (3) nên IH = HK 
Lại có : IH // CG 
 HK // AB 
Cộng vế với vế ta được: 
Mà IH = HK (cmt) nên: 
 Hay: 
Xét các trường hợp về số dư khi chia cả ba số x, y, z cho 3:
+ Nếu cả ba số x, y, z cho 3 có số dư khác nhau là 0, 1, 2 thì x+ y+ z chia hết cho 3 mà (x – y)(y – z)(z – x) không chia hết cho 3 (Vô lý)
+ Nếu khi chia x, y, z cho 3 mà có hai số dư bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3. Nhưng (x – y)(y – z)(z – x) chia hết cho 3, suy ra khi chia x, y, z cho 3 đều có cùng số dư. Do đó x – y chia hết cho 3; y – z chia hết cho 3 và z – x chia hết cho 3. Vậy (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z chia hết cho 27. 
0,5đ
1.0đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5 đ
0,5đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
(HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
Ban giám hiệu Tổ CM Người ra đề - đáp án
PHT. Vũ Thị Hồng Thắm Trịnh Văn Đông Lê Thị Hồng Thủy