Đề thi olympic lớp 8 năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
Trường THCS Dân Hoà
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
 (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6,0 điểm)
 1,Cho biểu thức : 
 a,Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A 
 b,Tìm giá trị của x để A > 0?
 2, Giải phương trình
 a, 	
 b, ( x2 + 3x +2)( x2 + 11x + 30) – 60 = 0
Bài 2: ( 4 điểm) 
 a,Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 9x2 + y2 + 2z2 - 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
 b,T×m sè tù nhiªn n ®Ó:
 A= n3- n2 + n -1 lµ sè nguyªn tè.
Bài 3: ( 3 điểm )
 Cho x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 1. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x6 + y6
Bài 4: (6 điểm) 
 Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
 a) Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
 b) Chứng minh: DCHK DBCA
 c) Chứng minh: AC2 = AB. AH + AD.AK
Bài 5 : (1 điểm)
 Tìm số nguyên n sao cho n3 – n2 + 2n + 7 chia hết cho n2 + 1 
 Hết..
TM NHÀ TRƯỜNG NGƯỜI RA ĐỀ
 NGUYỄN THỊ THỦY
 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Câu
Đáp án
Điểm
1
1,
a, ĐKXĐ : 
Vậy với thì .
b, Với 
Vậy với x > 3 thì A > 0.
2, 
a, 
 Ta cã: => > 0
nªn 
 PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:
 = 5 – 3
 = 2
 +) x - 2 = 2 => x = 4
 +) x - 2 = -2 => x = 0
 S = {0;4} 
b, ( x2 + 3x +2)( x2 + 11x + 30) – 60 = 0
ó (x + 2)( x +1) (x +5)( x+ 6) – 60 = 0
ó[(x + 2)( x +5)][ (x +1)( x+ 6)] - 60 = 0
ó( x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 6) – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 6) – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 8 + 2)( x2 + 7x + 8 - 2) – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 8)2- 4 – 60 = 0
ó( x2 + 7x + 8)2 - 64 = 0
ó( x2 + 7x + 8 – 8) ( x2 + 7x + 8 + 8) = 0
ó( x2 + 7x ) ( x2 + 7x + 16) = 0 
óx( x + 7 ) ( x2 + 7x + 16) = 0 
 Vì x2 + 7x + 16 > 0
=> S = {0; -7} 	
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
1đ
2
a) 9(x2-2x+1) + (y2-6y+9) + 2(z2+2z+1)=0
 9(x-1)2 + (y-3)2 + 2(z+1)2 = 0
b, A = n3 - n2 + n – 1 = (n2+1)(n-1)
 Vì n2+1 > n -1
 §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1= 1n = 2 khi ®ã A = 5
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
1đ
3
 Ta có A = x6 + y6 = = (x2 + y2)(x4 + y4 - x2y2)
 = x4 + y4 - x2y2 (Vì x2 + y2 = 1)
 = (x2 + y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2
Vì x2y2 ≥ 0 với mọi x, y nên 3x2y2 ≥ 0 1-3x2y2 ≤ 1 với mọi x, y
Hay A ≤ 1 max A = 1 x2y2 = 0 (1)
Mà x2 + y2 = 1 nên (1) 
Vậy max A = 1 x = 0 ; y = hoặc x = ; y = 0
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
=> DFBE là hình bình hành
a) DF // BE (vì cùng vuông góc với AC)
DAFD = DCEB (C.huyền – G.nhọn) => DF = BE 
b) BC // AK => BCK = 900 
=> ABC = HCK
ABC = 900 + BCH (góc ngoài của D CHB) 
HCK = 900 + BCH
Có CKD = ACD + DAC (góc ngoài DDKC)
 HBC = BAC + BCA
mà BCA = DAC ; BAC = DCA 
DCKD DCBH => 
hay 
 DCHK DBCA (c.g.c)	
c) DAEB DAHC => 
 => AE.AC = AB.AH (1)
 DAFD DAKC => 
 => AF.AC = AD.AK (2) 
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có: AE.AC + AF.AC = AB.AH + AD.AK (3)
	Mà DAFD = DCEB (CM trên) => AF = CE
(3) AC.(AE + EC) = AB.AH + AD.AK
 AC2 = AB.AH +AD.AK	
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
5
Chia n3 – n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 ta được thương là n - 1 dư n + 8
nên n + 8 n2 + 1 
 Lần lượt cho n2 +1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n = 0; 
 Thử lại ta có các giá trị n = 0; n = 2; n = -8 thỏa mãn
0,5đ
0,5đ
 (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)