Đề thi Olimpic Toán 8 năm học 2014 - 2015 - Trường THCS Mỹ Hưng

Phòng GD- ĐT Thanh Oai
Trường THCS Mỹ Hưng 
 Đề thi Olimpic Toán 8 năm học 2014- 2015
 Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài :1 : ( 6 điểm ) 
1 ) Cho biểu thức D = ( 4 điểm ) 
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên
c) Tìm giá trị của D khi x = 6
2 ) Giải Pt
 (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12
Bài 2 ( 4 điểm )
1 )Tìm thoả mãn: ( 2 điểm ) 
2 )Cho các số A = ; B = ; C = 
CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .
Bài 3 (3 điểm ) Cho x + y + z = 3
 Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2
Bài 4: 
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt AC, BC, AB lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng
a) IM. IN = ID2
b) 
c) AB. AE + AD. AF = AC2
Bài 5 Tìm số nguyên n sao cho : 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1
- Hết -
 (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) 
Đáp án + Biểu điểm 
Bài 1 ( 6 điểm )
1 ( 4 điểm )
a) Nếu x + 2 > 0 thì = x + 2 nên ( 0,25 đ)
D = = ( 0,5 đ)
Nếu x + 2 < 0 thì = - (x + 2) nên ( 0,25 đ)
D = = ( 0,5 đ)
Nếu x + 2 = 0 x = -2 thì biểu thức D không xác định ( 0,5 đ)
b) Để D có giá trị nguyên thì hoặc có giá trị nguyên
+) có giá trị nguyên ( 0,5 đ)
Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2
+) có giá trị nguyên 
 ( 0,5 đ)
c) Khi x = 6 x > - 2 ( 0,5 đ)
 nên D = = ( 0,5 đ)
2 ) (2 điểm )
 (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12
 ...2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – 6 = 0 (x3 – 1) + (5x – 5) 
(x – 1)(x2 + x + 6) = 0 ( 1 điểm )
 (0,5đ )
Vì vô nghiệm) (0,5 đ ) 
Bài 2 
1 ) 
(0,5 đ ) 
 (1 đ)
 Vậy 
 (0,5 đ )
2) Ta có: A ; B = ; C = (1 đ)
 Nên: 
 A + B + C + 8 = + + + 8 = 
= = (1đ )
Bài 3 :Từ Cho x + y + z = 3 (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1) (1 đ )
Ta có x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
= 0 x + y + z xy+ yz + zx (2) 
(1đ )
Đẳng thức xẩy ra khi x = y = z 
a) Từ (1) và (2) suy ra 
9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) (0,5 đ )
 x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1 (0,5đ )
Bài 4 ( 6 đ)
a) Từ AD // CM (1) (0,5đ )
Từ CD // AN (2) ( 0,5 đ )
Từ (1) và (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN (0,5đ )
b) Ta có (3) (0,5đ )
Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN (0,5 đ )
 (4) (0,5 đ )
Từ (3) và (4) suy ra ( 0,5 đ )
c) Ta có AGB AEC AB. AE = AG(AG + CG) (5) (0,5 đ )
CGB AFC (vì CB = AD) ( 0,5đ )
AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6) ( 0,5 đ ) 
Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG (0,5đ ) 
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2
(0,5đ ) Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2 
Bài 5 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5
Để 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1 thì 5 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) ( 0,5 đ )
Vậy: n thì 2n3 + n2 + 7n + 1 2n – 1 ( 0,5 đ )