Đề thi khảo sát năng lực giáo viên môn Toán cấp THCS 2015 (Có đáp án)

ĐỀ THI KS NĂNG LỰC GIÁO VIÊN MÔN TOÁN CẤP THCS 2015 
Câu 1: 
Tìm x, y, z biết: 
4 8 5 3 3 4
2 3 4
x y z x y z  
 
 và x + y + z = 48 
Tìm phân số dương nhỏ nhất mà khi chia phân số này cho các phân số 
18 27
;
115 110 ta được kết quả là một số tự nhiên. 
Câu 2: Giải phương trình: 
     1 2 3x x x x x x    
Câu 3: Cho phương trình x2 – 2(m+1)x + m + 3 = 0 
Giải phương trình khi m = 2 
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm. 
Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương. 
Câu 4: Cho đường tròn tâm O, dây AB. Điểm M thuộc cung lớn AB. Các đường 
cao AE, BF của ABM cắt nhau tại I. 
Chứng minh rằng: Tứ giác ABEF nội tiếp 1 đường tròn. 
Chứng minh rằng: OM  EF. 
Đường tròn tâm I bán kính IM cắt MA, MB theo thứ tự tại C, D. Chứng 
minh rằng: Đường thẳng đi qua M và vuông góc với CD luôn đi qua một 
điểm cố định. 
ĐÁP ÁN: 
Câu 1: 
4 8 5 3 3 4
2 3 4
x y z x y z  
 
=
     3 4 8 4. 5 3 5. 3 4
0
3.2 4.3 5.4
x y z x y z  
  
 4x – 5y = 5z – 3x = 3y – 4z = 0 

3 4 0 3 4 0 3 4 0 20
4 5 0 4 4 9 0 4 5 0 16
48 4 4 4 192 9 4 192 12
y z y z y z x
x y x y y x y y
x y z x y z y z z
         
   
             
               
Gọi phân số cần tìm là 
x
y (x,y  N* và (x;y) = 1) 
Vì 
18
115
x
y và 
27
110
x
y nên 115x 18y và 110x 27y 
Mặt khác: (x;y) = 1 nên x  BC(18;27) và y  ƯC(110;115) 
Để phân số 
x
y là nhỏ nhất thì x = BCNN(18;27) và y = ƯCLN(110;115) 
Vậy phân số cần tìm là: 
54
5 
Câu 2: Giải phương trình: 
     1 2 3x x x x x x    
 (1) 
ĐKXĐ: 
0
3
x
x

   
(1)  
0
1 2 3 2
x
x x x


     
Đặt: X = 2x  
Ta có: (2)  1 1X X X    
  X2 – 2X + 2 = 0 
  (X – 1)2 + 1 = 0 (Vô nghiệm) 
Vậy nghiệm phương trình là S={0}. 
Câu 3: Cho phương trình: x2 – 2(m+1)x + m + 3 = 0 (*) 
Khi m = 2 thì (*)  x2 – 6x + 5 = 0 
 S = {1;5} 
Để phương trình có 2 nghiệm cùng âm thì (*) phải thỏa mãn điểu kiện sau: 
   
'
20
1 3 0
0 1 0 3 2
2
3 0
0
m m
S
m m
m
P
        
        
   
  
Để phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương thì (*) phải thỏa mãn điểu kiện 
sau: 
' 0
0
0
2
P
S

 



 
 (1) hoặc 
' 0
0P
 

 (2) 
   
2
1 3 0
3 0 1
1 0
m m
m m
m
    

    
  
 
   
2
1 3 0
3
3 0
m m
m
m
    
   
  
Vậy để (*) có ít nhất 1 nghiệm dương thì điều kiện của m là: 
m < -3 hoặc m 1 
Câu 4: 
CM: ABEF nội tiếp 
Vì AE và BF là đường cao ABM nên A, B, E, F cùng thuộc đường tròn 
đường kính AB. Vậy ABEF nội tiếp đường tròn. 
CM: OM  EF 
Kẻ tiếp tuyến Mx, ta có: AMx = ABM (cùng 
chắn cung AM) 
 OMF =BAE (cùng phụ với 2 góc bằng 
nhau) (1) 
Mặt khác: IFE =BAE (cùng chắn cung BE) 
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có: IFE =OMF 
 EFM + OMF = 900 (vì EFM + IFE = 
900) 
Vậy OM  EF. 
Ta có, tứ giác MEIF nội tiếp 1 đường tròn vì 
090IFM IEM  
 MEF =MIF (cùng chắn cung FM) 
Mặt khác: 
IF  dây CM nên 
1
2
MIF MIC
 MIF MDC (góc ở tâm và góc nội tiếp) 
 MEF =MDC 
CD//EF hay CDOM 
Do đó, đường thẳng đi qua M và  với CD là đường thẳng CD. 
Vì O là tâm đường tròn nên khi M di chuyển trên cung lớn AB của đường 
tròn tâm O thì MO luôn đi qua điểm cố định O. 
x
D
C I
E
F
O
A
B
M