Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 - Đề số 3 Có đáp án)

ĐỀ THI SỐ 3 
Câu 1: (4,0 điểm) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
a) 3x
2
 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). 
Câu 2: (5,0 điểm) 
 Cho biểu thức : 
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ) : ( )
2 4 2 2
x x x x x
A
x x x x x
  
  
   
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? 
b) Tìm giá trị của x để A > 0? 
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. 
Câu 3: (5,0 điểm) 
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 
9x
2
 + y
2
 + 2z
2
 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. 
b) Cho 1
x y z
a b c
   và 0
a b c
x y z
   . Chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   . 
Câu 4: (6,0 điểm) 
 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, 
F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là 
hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. 
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK 
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2 
Đáp án 
 Nội dung đáp án Điểm 
Bài 1 
a 2,0 
 3x
2
 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 
= (x - 2)(3x - 1). 0,5 
b 2,0 
 a(x
2 
+ 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5 
= (x - a)(ax - 1). 0,5 
Bài 2: 5,0 
a 3,0 
ĐKXĐ : 
2
2
2 3
2 0
4 0 0
2 0 2
33 0
2 0
x
x x
x x
xx x
x x
  

  
 
     
 
  
  
 1,0 
2 2 2 2 2 2
2 2 3
2 4 2 3 ( 2 ) 4 ( 2 ) ( 2 )
( ) : ( ) .
2 4 2 2 ( 2 )( 2 ) ( 3 )
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
       
    
      
 1,0 
2
4 8 ( 2 )
.
( 2 ) ( 2 ) 3
x x x x
x x x
 

  
 0,5 
2
4 ( 2 ) ( 2 ) 4
( 2 )( 2 )( 3 ) 3
x x x x x
x x x x
 
 
   
 0,25 
Vậy với 0 , 2 , 3x x x    thì 
2
4 x
3
A
x


. 0,25 
b 1,0 
Với 
2
4
0 , 3, 2 : 0 0
3
x
x x x A
x
      

 0,25 
3 0x   0,25 
3( )x T M D K X D  0,25 
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 
c 1,0 
7 4
7 4
7 4
x
x
x
 
   
  
 0,5 
1 1( )
3( )
x T M D K X D
x K T M D K X D

 

 0,25 
Với x = 11 thì A = 
1 2 1
2
 0,25 
Bài 3 5,0 
a 2,5 
9x
2
 + y
2
 + 2z
2
 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 
 (9x
2
 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 
 9(x - 1)
2
 + (y - 3)
2
 + 2 (z + 1)
2
 = 0 (*) 0,5 
Do : 2 2 2( 1) 0 ; ( 3 ) 0 ; ( 1) 0x y z      0,5 
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 
b 2,5 
Từ : 
a yz + b x z + c x y
0 0
a b c
x y z x y z
     0,5 
 ayz + bxz + cxy = 0 0,25 
 Ta có : 21 ( ) 1
x y z x y z
a b c a b c
       0,5 
2 2 2
2 2 2
2 ( ) 1
x y z x y x z y z
a b c a b a c b c
       0,5 
2 2 2
2 2 2
2 1
x y z c x y b x z a y z
a b c a b c
 
     0,5 
2 2 2
2 2 2
1( )
x y z
d fc m
a b c
    0,25 
Bài 4 6,0 
0,25 
a 2,0 
O
F
E
K
H
C
A
D
B
 Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 
Chứng minh : ( )B E O D F O g c g     0,5 
=> BE = DF 0,25 
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 
b 2,0 
 Ta có: A B C A D C H B C K D C   0,5 
Chứng minh : ( )C B H C D K g g   1,0 
. .
C H C K
C H C D C K C B
C B C D
    0,5 
b, 1,75 
 Chứng minh : A F ( )D A K C g g   0,25 
A F
. A .
A K
A D A K F A C
A D A C
    0,25 
 Chứng minh : ( )C F D A H C g g   0,25 
C F A H
C D A C
  0,25 
 Mà : CD = AB . .
C F A H
A B A H C F A C
A B A C
    0,5 
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2
(đfcm). 
0,25