Đề thi học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Hồng Lĩnh (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ HỒNG LĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017


ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán
(Đề có 01 trang)
Thời gian làm bài: 120 phút
PHẦN I. GHI KẾT VÀO BÀI LÀM:
Câu 1: Tính giá trị biểu thức A biết A = 
Câu 2: Cho hình vuông kích thước 4 x 4 được tạo từ 16
 hình vuông nhỏ kích thước 1x1 vẽ bên : 
Hỏi có bao nhiêu hình vuông?
Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật ?
Câu 3: Cho dãy số: 12, 5, 25, 29, 85, 89,...
Tìm số tiếp theo
Tìm số thứ 2016 của dãy số trên
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC). Tính cạnh BC biết diện tích các tam giác AHB, AHC lần lượt là 54cm2 và 96cm2. 
Câu 5: Cho các số nguyên a, b, c biết a + b+ c = 20172106. Hỏi a3 + b3 + c3 chia 6 dư mấy? 
Câu 6: Phương trình có nghiệm là: 
Câu 7: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỷ số đồng dạng là 2. Khi đó tỷ số diện tích của tam giác DEF và tam giác ABC là ? 
Câu 8: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AB = cm, CH = 4cm. Tính BC. 
Câu 9: Cho . Giá trị nhỏ nhất của biết thức bằng: 
Câu 10: Hàm số bậc nhất y = ax + b đi qua 2 điểm M(1; 3) và N(2; 4). Tìm a và b?
PHẦN II. 
Câu 11:
 a) Rút gọn biểu thức 
 b) Giải phương trình 
Câu 12:
 a) Tính tổng 
 b) Cho các số a, b, c đôi một phân biệt thỏa mãn 
Tính giá trị biểu thức: .
Câu 13: 
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh:
 a) ( với I là trung điểm của BC)
 b) 
2. Cho là các góc nhọn thõa mãn: . Chứng minh ./.
--Hết--
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM:
PHẦN I. (Mỗi câu 1,0 điểm)
Câu 1: A = 10
Câu 2: a) 
 b) 100
Câu 3: a) Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau là tổng bình phương các chữ số của số đứng trước nó : Do đó số hạng tiếp theo là: 145 =
	 b) 42
Câu 4: BC = 25 cm
Câu 5: Dư 1
Câu 6: 
Câu 7: 
Câu 8: BC = 8 cm
Câu 9: 30
Câu 10: a = 1; b = 2
PHẦN II.
Câu 11
(4 điểm)
a) ĐKXĐ là 
 Ta có 

 

-Suy ra 

b) ĐKXĐ 

Với điều kiện đó phương trình đã cho 
(*) 
( vì nên x+ 4 >0)

Nếu do đó nếu thì phương trình (*) vô nghiệm.

Nếu do đó nếu thì phương trình (*) vô nghiệm.

Dễ thấy x = 5 đúng. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.

Câu 12
(3 điểm)
a) Ta có :
 ; ; ;

Do đó =

b) Từ giả thiết 

(vì a khác b).


Khi đó:

Vậy 
Câu 13
(3 điểm)

(Hình 1)

1) (Hình 1) a) Vì tam giác ABC nhọn nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trong tam giác ABC do đó tía AO nằm giữa hai tia AB và AC nên 
Kẻ tia Ox là tia đối của tia OA, Vì OA = OB = OC nên 
 (1)
Mặt khác: Do I là trung điểm của BC, OB = OC nên OI là tia phân giác của suy ra (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra 

b) Từ chứng minh trên ta suy ra và do đó ta suy ra 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB 
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có : ;
Do đó: 

Thật vật: Áp dụng bất đẳng thức về 3 cạnh của các tam giác OMN, OIN, OMI
và đường trung bình của tam giác ABC ta có: 
Cộng cùng chiều các bất đẳng thức trên ta được (đpcm)
2) 
(Hình 2)

Vẽ tam giác ABC có , vì nên tam giác ABC tù tại B (Hình 2)
Vẽ các đường cao AH, BK của tam giác ABC, vì tam giác ABC có B tù nên H nằm ngoài đoạn BC, K nằm giữa A và C. Ta có 
Ta có ; 
Do đó: 
 (luôn đúng).
Do đó ta có điều phải chứng minh.

Lưu ý: Mọi đáp án đúng đều cho điểm tối đa theo thang điểm.