Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC: 2016 - 2017
PHẦN THI CÁ NHÂN 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút.

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ bên. 
Câu 2. Tìm số hạng thứ 7 của dãy số sau đây 1; 1; 2; 5; 29; ....

Câu 3. Có 5 đôi giày màu xanh và 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được.
Câu 4. Có một nhóm bạn rủ nhau đi câu cá, bạn câu được ít nhất câu được tổng số cá câu được, bạn câu được nhiều nhất câu được tổng số cá câu được. Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn là khác nhau. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người. 
Câu 5. Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức 
Câu 6. Giải phương trình .
Câu 7. Giải hệ phương trình 
Câu 8. Cho các số thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của 
Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AC và các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy tại điểm K nằm trong tam giác . Biết và có diện tích lần lượt là và . Tính diện tích . 
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác trong CD đồng quy. Tính .
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. Tìm số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn 
Câu 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn và có các cạnh đối không song song. Gọi F là giao điểm của AB và CD, E là giao điểm của AD và BC; H, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Đường phân giác góc cắt GH tại điểm I.
 a) Chứng minh rằng 
 b) Cho độ dài CD = 2AB. Tìm tỉ số diện tích . 
Câu 13. Cho hình tròn (C) có bán kính bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho với mọi cách vẽ k điểm bất kỳ và phân biệt thuộc hình tròn (C) thì luôn tồn tại hai điểm trong k điểm đó thỏa mãn khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1.
--------- HẾT---------
Lưu ý: 	- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Hướng dẫn chấm

Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.
 - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
Đáp số: Số hình chữ nhật là (1+2+3+4+5).(1+2+3+4) =150
Cách tính: Xét các hình chữ nhật kích thước m.n 

Câu 2
Đáp số: 
Quy luật với 
Suy ra 

Câu 3
Đáp số: 16.

Câu 4
Đáp số: 8
Giả sử có n bạn và số cá của các bạn là .
Ta có 

Câu 5
Đáp số: 

Câu 6
Đáp số: 
Cách giải: Đặt ẩn phụ

Câu 7
Đáp số 
Đặt . Ta có phương trình 

Câu 8
Đáp số: 
; 
 

Câu 9
Đáp số: 
Ta có , suy ra 
M trung điểm AC nên 
. Vậy 

Câu 10
Đáp số: 
Sử dụng định lý Ceva và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 11
Do là số hữu tỉ và là số nguyên dương nên từ là số chính phương

Do 

Thử lại các trường hợp ta có suy ra số cần tìm là 27

Câu 12a

a) Ta có và đồng dạng nên các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. Suy ra:
Ta có (cùng nhìn cung AB) và đồng dạng. 

Kéo theo , suy ra EI là phân giác góc 

Do đó (đpcm).

Câu 12b
Ta có và đồng dạng
 và đồng dạng.
FI là phân giác góc 
Suy ra FI là phân giác góc 

Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ I lên các đường thẳng AB, CD. 
Khi đó IM = IN

Ta có .

Câu 13
Xét k =7, vẽ 7 điểm gồm 1 điểm ở tâm và 6 điểm trên đường tròn tạo thành lục giác đều. Lúc đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ bằng 1. Suy ra 




Với k =8, luôn tồn tại ít nhất 7 điểm không trùng tâm đường tròn. 
Ta kẻ các bán kính đi qua 7 điểm đó.
Khả năng 1: Nếu có 2 điểm thuộc cùng một bán kính thì khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1 (vì không có điểm nào trùng tâm)

Khả năng 2: Không có 2 điểm nào cùng thuộc một bán kính, lúc đó có 7 bán kính, suy ra có hai bán kính tạo với nhau một góc nhỏ hơn 600.
Giả sử hai bán kính đó chứa A và B. Vì góc không là góc lớn nhất của tam giác OAB nên 
Vậy trường hợp k = 8 thỏa mãn.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 8.


--------- HẾT ---------