Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 (Có hướng dẫn chấm)

 UBND HUYỆN KINH MễN
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mụn : Toỏn lớp 9
Năm học 2014-2015
( Thời gian làm bài 150 phỳt)
Cõu 1: ( 2,0 điểm)
	1) Tớnh giỏ trị của biểu thức A = 
	2) Tớnh giỏ trị biểu thức B= x3 + 2013x2y - 2014y3 + 2015, biết = 
Cõu 2: (2,0 điểm) : 
	1) Cho cỏc số nguyờn dương: a1; a2; a3; ; a2015 sao cho : 
	N = a1 + a2 + a3 + + a2015 chia hết cho 30 .
	Chứng minh: chia hết cho 30.
	2) Tỡm số tự nhiờn cú dạng thoả món : 
 và với 
Cõu 3: ( 2,0 điểm)	
	1) Giải phương trỡnh : = 
	2) Cho a > 0, so sỏnh với 
Cõu 4: (3,0 điểm) : 
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, tia phõn giỏc của gúc BAC cắt cạnh BC tại D. Gọi E, F theo thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của D trờn AB, AC. Đặt AC = b, 
AB = c, BC = a, AD = d.
 1) Tớnh chu vi và diện tớch tứ giỏc AEDF theo d.
 2) Chứng minh rằng : .
 3) Chứng minh rằng : 
Cõu 5 ( 1,0 điểm)
	Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A= với xy 2
----------------------------------Hết----------------------------------
 UBND HUYỆN KINH MễN
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 9
Cõu
Phần
Đỏp ỏn
Điểm
Cõu 1
(2đ)
1
(1đ)
A= 
=
=
== 6
0,5
0,25
0,25
1
(1đ)
= . Điều kiện: xy > 0
= 
x2 = y2 x=y ( do xy > 0)
Khi đú B = x3 + 2013x3 - 2014x3 + 2015 = 2015
0,25
0,25
0,25
0,25
Ta cú chia hết cho 6 vỡ cú tớch 3 số tự nhiờn liờn tiếp
Ta xột với cỏc trường hợp sau :
Nếu chia hết cho 5.
 Cỏc trường hợp cũn lại chứng minh tương tự ta cũng suy ra được chia hết cho 5
Mà UCLN(5,6) = 1 nờn a15 – a1 chia hết cho 30
Chứng minh tương tự : 
 a25 – a2; ...; a20155 – a2015 chia hết cho 30
Suy ra :
( a15 – a1) + (a25 – a2) + ... + (a20155 – a2015) chia hết cho 30
Suy ra: M – N chia hết cho 30; mà N chia hết cho 30
Suy ra: M chia hết cho 30
0,25
0,25
0.25
0,25
Ta cú:
Mặt khỏc: 100 ≤ n2-1≤ 999 => 101 ≤ n2 ≤ 1000 
=> 11 ≤ n ≤ 31( do n (**)
Từ (*)(**) => 4n – 5 = 99 => n = 26. Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 3
(2đ)
1
(1đ)
Đặt = y ( Điều kiện y 0) Thỡ =y2
Phương trỡnh trở thành 
y2 + 4= 4y ( y-2)2 =0 y=2 ( Thoả món điều kiện y 0)
Với y =2 ta cú : =2x2 -3x +1 =4x2 -3x -3 =0
= x-=x=
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm là x=
0,25
0,25
0,25
0,25
Đặt 
Áp dụng bất đẳng thức cụ si cho hai số dương (a+1) và (a+2), 
Ta cú: 
Dấu “ = ’’ khụng xảy ra vỡ a + 1 ≠ a + 3
A2 < 2a + 4 + 2a + 4 = 4a + 8 = B2 
A2 0; B > 0 => A < B
0,25
0,25
0,25
0,25
1
Tứ giỏc AEDF cú gúc DEA bằng gúc EAF bằng gúc AFD 
bằng 900
Tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật mà cú AD là tia phõn giỏc của gúc A nờn tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng
Xột AED vuụng cõn tại E . ÁP dụng định lý Pitago ta cú 
AD2=AE2+ED2 => AD2 =2AE2
AE= 
Vậy chu vi tứ giỏc AEDF bằng 
Diện tớch tứ giỏc AEDF bằng 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Ta cú SABC = SABD+ SACD
=
 = 
 bc = 
 = cd + bd
=
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Kẻ BH vuụng gúc với AD tại H
Xột ABH vuụng tại H 
S=
Theo tớnh chất đường phõn giỏc tacú: ====
=>S=>
Tương tự: 
=>
=>
Áp dụng Cosi ta cú :
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay tam giỏc ABC đều, trỏi giả thiết tam giỏc ABC vuụng 
=>
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1đ)
A= với xy 2
A= 
 Đặt x= a; = b ab= 1
( Vỡ với mọi a.b)
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
Chỳ ý: Nếu học sinh làm bằng cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa.