Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 (Có hướng dẫn chấm)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
MễN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2015
( Đề thi gồm cú 01 trang )
Cõu 1 (2,0 điểm):
Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = 
với 
b) Cho x, y thỏa món:
Chứng minh: 
Cõu 2 (2,0 điểm):
a) Giải phương trỡnh 
b) Giải hệ phương trình sau: 
Cõu 3 (2,0 điểm):
a) Tỡm số nguyờn tố p sao cho cỏc số đều là số nguyờn tố.
b) Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y, z thỏa món: .
Cõu 4 (3,0 điểm):
Cho đường trũn (O;R) đường kớnh BC. Gọi A là điểm thỏa món tam giỏc ABC nhọn. AB, AC cắt đường trũn trờn tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trờn cung khụng chứa D lấy F(F B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường trũn (O;R) tại N(N F) và cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADE tại P(P A). 
a) Giả sử , tớnh DE theo R.
b) Chứng minh AN.AF = AP.AM 
c) Gọi I, H thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của F trờn cỏc đường thẳng BD, BC. Cỏc đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Tỡm vị trớ của F trờn cung để biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 5 (1,0 điểm):
Cho cỏc số dương x, y, z thay đổi thỏa món: . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: .
------------- HẾT ------------
Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh .
 Chữ kớ giỏm thị 1  Chữ kớ giỏm thị 2 ..
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MễN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
Lưu ý: Thớ sinh làm theo cỏc khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm trũn đến 0,25 điểm
CÂU
PHẦN
NỘI DUNG
ĐIỂM
Cõu1
2,0
điểm
a)
1,0điểm
Đặt , a > 0
0,25
0,25
0,25
B = 2x3 + 3x2 – 4x + 2 
B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + 1 = 1 
0,25
b)
1,0điểm
(1)
ĐKXĐ: 
(1)
Nếu x khỏc y và thỡ >0;
>0;>0 , do đú (1)
0,25
(2)
0,25
Khi đú dễ chứng tỏ 
0,25
Mà nờn (2) vụ lý vỡ VT(2) luụn khỏc 0
Nếu x=y dễ thấy (1) đỳng. Vậy x = y.
0,25
Cõu 2
2,0
điểm
a)
1,0 điểm
 (1)
ĐKXĐ:
Đặt: Khi đú (1) cú dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2)
Chứng minh được (2) (x+y)(x+z)(z+x) = 0
0,25
Với: x + y = 0 ( Thỏa món)
0,25
Với: x + z = 0 ( khụng thỏa món).
0,25
Với: y + z = 0 - vụ nghiệm
Vậy phương trỡnh cú nghiệm:
0,25
b)
1,0 điểm
0.25
Ta cú:
 hoặc 
0.25
Với thay vào (2) ta được: x2 – 2x +1 = 0 suy ra x = 1
 Ta được nghiệm (1;1) 
0.25
 thay vào (2) ta được: 5x2 – x – 4 = 0 , suy ra x = 1;
Ta được nghiệm (1;1) và ()
Vậy hệ cú nghiệm (1;1) và ()
0.25
Cõu 3
2,0
điểm
a)
1.0 điểm
Tỡm số nguyờn tố p sao cho cỏc số đều là số nguyờn tố.
+) Nếu p=7k+i; k,i nguyờn, i thuộc tập. Khi đú chia cho 7 cú thể dư: 1;4;2
0.25
Xột 
 Nếu chia cho 7 dư 1 thỡ chia hết cho 7 nờn trỏi GT
 Nếu chia cho 7 dư 4 thỡ chia hết cho 7 nờn trỏi GT
 Nếu chia cho 7 dư 2 thỡ chia hết cho 7 nờn trỏi GT
0.25
+) Xột p=2 thỡ =16 (loại)
0.25
+) Xột p=7k, vỡ p nguyờn tố nờn p=7 là nguyờn tố, cú: đều là cỏc số nguyờn tố
Vậy p =7
0.25
b)
1,0 điểm
Giả thiết (1)
+) Lập luận để (*)
0,25
(1)
(2)
 vỡ y nguyờn dương
0,25
Nếu thỡ (1) cú dạng: (vỡ cú(*))
Khi đú , x nguyờn dương nờn tỡm được x=6
0,25
Nếu (vỡ y nguyờn dương) thỡ (1) cú dạng: (vỡ z nguyờn dương)
Suy ra (vỡ x nguyờn dương)
Đỏp số 
0,25
Cõu 4
3,0
điểm
a)
1,0 điểm
Vẽ hỡnh (1 trường hợp)
0,25
Sđ
0,25
Suy ra nờn tam giỏc OED đều 
0,25
suy ra ED = R.
0,25
b)
1,0 điểm
 (2 gúc nội tiếp chắn cung AE)
 (Cựng bự với gúc EDC)
Suy ra: nờn tam giỏc APE đồng dạng với tam giỏc ABM
0,25
Nờn (1)
0,25
 Tương tự chứng minh tam giỏc ANE đồng dạng với tam giỏc ABF
 (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM 
0,25
c)
1,0 điểm
Xột I nằm giữa B, D( Nếu I nằm ngoài B,D thỡ vai trũ K với DC sẽ như I với BD)
 Tứ giỏc BIHF, BDCF nội tiếp nờn ( cựng bằng ), suy ra tứ giỏc CKFH nội tiếp nờn .
0,25
Lý luận tam giỏc DFK đồng dạng tam giỏc BFH nờn:
Tương tự tam giỏc CFK đồng dạng tam giỏc BFI nờn:
Suy ra: 
0,25
Mà suy ra: 
0,25
Vậy nờn nhỏ nhất khi FH lớn nhất khi F là trung điểm cung BC
0,25
Cõu 5
1,0
điểm
Cú (1)
Ta chứng minh với x, y dương: 
(*) luụn đỳng; “=”=0a=
0,25
Áp dụng(*) ta cú: 
0,25
 x=y=z)
0,25
Tương tự: 
( theo (1))
Vậy M đạt GTLN là khi x = y = z = 3( theo (1))
0,25
--Hết--