Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Hồng Lĩnh (Có đáp án)

PHÒNG GD& ĐT HỒNG LĨNH 
------------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN TOÁN – LỚP 9 
Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (5 điểm)
Câu
Đề ra
Kết quả
Câu 1
Giá trị của biểu thức A = là: 


Câu 2
Thu gọn biểu thức A= được kết quả là:


Câu 3
Với thì giá trị của biểu thức bằng:


Câu 4
Giá trị của biểu thức: C = là: 
 

Câu 5
Số đo của góc nhọn x, biết là: 


Câu 6
Biết thì giá trị của biểu thức
 bằng: 

Câu 7
Với một lượng tối thiểu là bao nhiêu HS thì ta có thể tìm được một cặp HS có ngày tháng sinh giống nhau ?

Câu 8
16
15
H
C
B
A
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Biết AB = 15cm, HC = 16cm. 
Độ dài đoạn thẳng BC bằng
Câu 9
45
60
H
C
B
A
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, 
kẻ đường cao AH. Biết BC = 12 cm, 
, . Diện tích tam giác 
ABC bằng bao nhiêu ? 
Câu 10
Tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình là: 
 
II. PHẦN TỰ LUẬN (15 điểm) 
Câu 11.
 a, Tìm GTNN của biểu thức A = 
 b, Cho x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = 1
 Tính giá trị biểu thức: A = x2017 + y2018 + z2019
Câu 12. a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Giải phương trình: 
 c) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 12. Chứng minh rằng: 
Câu 13. a) Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc = 200. Vẽ phân giác trong BI, vẽ = 300 về phía trong tam giác (H AB). Tính .
 b) Cho tam giác ABC. Các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng: AC. cosA = BC. cosC
..............................................Hết ...............................................
PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH
------------------
ĐÁP ÁN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
NĂM HỌC 2018 - 2019
 
MÔN TOÁN - KHỐI 9 
Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 5 điểm (mỗi câu 0,5 điểm)
Câu 
Đề ra
Kết quả
Câu 1
Giá trị của biểu thức A = là:
28
Câu 2
Thu gọn biểu thức A= được kết quả là:
Gợi ý: Ta có: 
A = 

Câu 3

Với thì giá trị của biểu thức bằng:
Gợi ý: Biến đổi B = 
Ta có: nên 
Vậy: A = 82 – 8 – 2 = 54

B = 54

Câu 4
Giá trị của biểu thức: 
C = là: 

C = 0

Câu 5
Số đo của góc nhọn x, biết là: 
Gợi ý: 

x = 300

Câu 6
Biết thì giá trị của biểu thức bằng: 
Gợi ý: 
 
D = -1
Câu 7
Gợi ý:
Năm thường 366 HS; Năm nhuận 367 HS
366; 367 
Câu 8
Gợi ý:x
16
15
H
C
B
A
 Đặt BH = x (x>0). Có AB2 =BH.BC 
152 = x(x+16)
225 = x2 + 16 x
 (x-9)(x+25) = 0 
x = 9
BC = 25

BC = 25

Câu 9
 Gợi ý: 45
60
H
C
B
A
Đặt AH = x, ∆ AHC vuông cân
Nên HC = AH = x
BH = AH. Cot B = 
Ta có: 
SABC = = 

SABC =
Câu 10
Tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình là: 
Gợi ý: 
Do y nguyên dương 
Vì 
mà và (Do )
*Nếu 
*Nếu 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: (8, 1); (6, 3)
(8; 1), (6; 3)
II. PHẦN TỰ LUẬN (15 điểm)
Câu 11 
Nội dung
 Điểm
a)
(2,0 đ)
 = 
Đặt ; 
 (BĐT Cô-si)
Dấu “=” xảy ra a2 = 4b2 1 + x = 4(1 – x) 5x = 3 x = 
1
1
b)
(2,0 đ)
Ta có: x + y + z = 1 (x + y + z)2 = 1 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 1 
 xy + yz + zx = 0 (1)
Ta lại có: x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 
 1 – 3xyz = (1- xy – yz – zx) 3xyz = xy + yz + zx (2)
Từ (1) và (2) 3xyz = 0 
Nếu x = 0 thay vào (2) yz = 0 
Vậy (x, y, z) = (0, 0, 1); (0, 1, 0)
Tương tự, trong mọi trường hợp thì chỉ có 1 số bằng 1, hai số bằng 0. Vậy A = 1

1 
1 
Câu 12
Nội dung
 Điểm
a)
(2,5 đ)
 ĐKXĐ: .
 Ta có: 
 
0,5
1,0
1,0

b)
(2,5 đ)
Điều kiện: 
 (tmđk)
0,25
0,25
0,75
0,5
0,25
0,5
c)
(1,0 đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm, ta có:
0.5

Do đó (1)


Tương tự: (2)
 (3)
 và a + b + c = 12 (4)
0.25

Từ (1), (2), (3), (4) ta có : 
0.25

Câu 13
Nội dung
 Điểm
a)
(3,0 đ)

Qua trung điểm M của BC, dựng đường vuông góc với BC cắt AC tại N.
∆ BNC cân tại N nên = 200, mà = 400 
suy ra = 200, do đó CN là phân giác của , ta có: 
Suy ra: 
∆ ACH vuông tại A, có = 300 nên CH = 2 AH. Thay vào (1) ta có: 
 = cos = cos200 (2)
BI là phân giác của góc B, ta có: = cos = cos200 (3)
Từ (2) và (3) suy ra: suy ra HI // CN dó đó: = 200

1
0,5
1
0,5

b)
(2,0 đ)

Vẽ EFBH thì EF = 
∆ HOC ∆ FOE, suy ra: 
Vì AD là phân giác nên do đó: , suy ra: 
Do đó: hay , suy ra: AB. CH = AC. AH (1)
Xét ∆ HAB vuông tại H có: AH = AB. cosA
Xét ∆ HBC vuông tại H có: CH = BC. cosC
Thay vào (1) ta được:
 AB. BC. cos C = AC. AB. cosA hay BC. cosC = AC. cosA

0,5
0,5
0,5
0,5

Lưu ý: Mọi cách giải đúng đều có thể cho điểm tối đa