Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 8 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học:2015-2016
Môn thi: Toán9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
 Cho biểu thức: 
 a)Rút gọn P.
 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
 c)Xét biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2. Cho đường thẳng (d): y = (m + 4)x - m + 6.
 a,Tìm m để (d) cắt đường thẳng (d1) y = 2x + 4 tại một điểm trên trục hoành.
 b,Chứng minh rằng: khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. 
 Bài 3: (2,0 điểm)
 1.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy- 2x + 3y = 21
 2.Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với AB.Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt đường thẳng xy tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh MC OC.
b) Chứng minh K là trung điểm của CH.
c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Câu 5: (1điểm )
 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
-------------- HẾT ---------------
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
MÔN: TOÁN 9
Bài 1(2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
 a
Đk : 
Vậy , với 
0,25
0,25
0,25
0,25
 b
dấu bằng xảy ra khi x = , thỏa mãn đk.
Vậy GTNN của P là khi 
0,25
0,25
 c
. Với thì Q = > 0. (1)
Xét 
Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện .
suy ra Q < 2.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
Chứng tỏ 0 < Q < 2.
0,25
0,25
Bài 2(2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
 1
Điều kiện 
x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. 
0,25
0,25
0,25
0,25
 2
a) Đường thẳng (d1) y = 2x + 4 cắt trục hoành tại M(-2;0) 
Khi đó (d) cắt đường thẳng (d1) tại một điểm trên trục hoành
 0 = (m + 4).(-2) - m + 6 m = 
Vậy m = thì (d) cắt (d1) tại điểm M(-2;0) trên trục hoành
b) Giả sử M(x0;y0) là điểm cố định thuộc đường thẳng (d)
Khi đó M(x0;y0) Î (d) m
(x0 - 1)m = y0 - 4x0 - 6 m
 x0 = 1 và y0 = 10
Vậy với mọi m thì (d) luôn đi qua điểm cố định M(1;10)
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3(2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
 1
Ta có : xy- 2x + 3y = 21
 óx(y-2) + 3(y-2) =21
 ó(x+3).(y-2) =21
Vì x,y nguyên dương nên x+3 nguyên dương và x+3≥4
Vì (x+3).(y-2) =21 nên x+3 là Ư(21) 
 Có Ư(21)={-1 ;-3 ;-7 ;-21 ;1 ;3 ;7 ;21}
Vì x+3≥4 nên x+3 =7 hoặc x+3 =21
x=4 hoặc x= 18
y=5 hoặc y= 3
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x ;y)=(4 ;5) hoặc (x ;y)= (18 ;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
 2
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x + y)(x + 4y). (x + 2y)(x + 3y) + y4 
 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 
Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z 
 A là số chính phương
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4(3 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
Vẽ hình
0,25
 a
a) Chứng minh MC OC (0,75 điểm)
- Chứng minh .
- Chứng minh AOM = COM
- Chứng minh 
0,25
0,25
0,25
 b
. b) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 1 điểm)
MAB có KH//MA (cùng AB) (1)
Chứng minh cho CB // MO (đồng vị).
C/m MAO đồng dạng với CHB (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH.
0,25
0,25
0,25
0,25
 c
c) Xác định vị trí của C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó( 1 điểm).
Chu vi tam giác ACB là 
Ta lại có 
.
Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB.
Suy ra , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB
Vậy max đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB.
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5(1 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
Có: 
Þ = 
Þ 
Tương tự: 
P £ =
 = = 
Dấu “=” xảy ra khi 
Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 
0,25
0,25
0,25
0,25