Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Đề 7 (Có hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0đ): Cho 
a/ Rút gọn biểu thức P (0,75đ Khá)
b/ Tìm x để P = (0,75đ Khá)
c/ So sánh P2 với 2P (0,5 Khá)
Bài 2 (2,0đ): 
1/ Giải phương trình: (1đ Giỏi)
2/ Trên một mặt phẳng tọa độ, cho các điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA của tam giác ABC.
a/ Viết phương trình của đường thẳng AB; BC. (0,5đ Khá)
b/ Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. (0,5 Khá)
Bài 3 (2,0đ): 
1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: (1đ Khá)
2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó bằng 2023 (1đ Giỏi)
Bài 4 (3,0đ): Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB. Lấy điểm I nằm trên tia đối của BA, kẻ tiếp tuyến IC (C là tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm cố định thuộc nửa đường tròn đường kính AB không chứa điểm C (M khác A;B). Gọi N là giao điểm thứ 2 của IM với (O); H là hình chiếu của C trên AB; K là hình chiếu của O trên IM, E là giao điểm của CH và OK.
a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB (1đ Khá)
b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN (1đ Giỏi)
c/ Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E. (1đ SX)
Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn . Chứng minh a; b là 2 số chính phương liên tiếp. (1đ SX)
-------------- Hết ---------------
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0đ):
Ý
Đáp án
Điểm
a/
(với ; x≠1)
Vậy 
0, 5đ
0,25đ
b/
Ta có: (với ; x≠1)
Vậy với x =4 thì P =
0,25đ
0,5đ
c/
Ta có: ( Với ; x ≠ 1)
 Do ; x≠1 nên 
Ta lại có (vì ; x≠1)
Ta có P2 – 2P = P(P – 2) 0 (vì 0 P2 2P
 Vậy P2 2P
0,25đ
0,25đ
Bài 2 (2,0đ):
Ý
Đáp án
Điểm
1/
ĐK: 
TH1: . VT0 nên PT vô nghiệm.
TH2: x. PT: 
(vì x 1)
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2-a/
+ Viết được phương trình của đường thẳng MP là 
+ Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng 
. Vì N thuộc đường thẳng BC tìm ra b = – 6. Vậy phương trình của đường thẳng BC là .
+ Tương tự ta có ptđt AB là 
0,25đ
0,25đ
2-b/
+ Giải hệ ta suy ra tọa độ đỉnh B(0; – 6)
Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P là trung điểm AC nên P là trung điểm của BD, tìm ra tọa độ điểm D(10;12).
Vậy D(10;12).
0,25đ
0,25đ
Bài 3 (2,0đ):
Ý
Đáp án
Điểm
1/
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
hoặchoặc 
Vậy hoặc .
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2/ 
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó bằng 2023
Gọi số cần tìm là ĐK: 
Theo bài ra ta có: (1)
Vì nên và nên a=1; 2.
TH1: a=1.
Thay vào (1) ta được: (2)
 nên b=9. 
Thay vào (2) ta được: (3)
 nên c=9.
Thay vào (3) ta được: 
Suy ra số cần cần tìm là: 1997.
TH2: a=2.
Thay vào (1) ta được: (4)
 nên b=0. 
Thay vào (4) ta được: (5)
 nên c=0;1;2.
+ Nếu c=0. Thay vào (5) ta được: (loại).
+ Nếu c=1. Thay vào (5) ta được: 
Suy ra số cần cần tìm là: 2015.
+ Nếu c=2. Thay vào (5) ta được: (loại).
Vậy có 2 số tmycbt là: 1997 và 2015.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4 (3,0đ): 
Ý
Đáp án
Điểm
0,25đ
a/
Chứng minh: IC2 =IA.IB 
Chỉ ra: đpcm.2222
0,75
b/
Chứng minh: IH.IO=IM.IN
Chỉ ra: vuông tại C, đường cao CH nên (1)
Chỉ ra: 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: IH.IO=IM.IN đpcm.
0,25đ
0,5đ
0,25đ
c/
Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E.
+ Chỉ ra: đồng dạng với suy ra OK.OE=OH.OI (3)
+ vuông tại C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2. (4)
+ Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2. Chỉ ra đồng dạng với .
Nên suy ra: 
Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM cũng cố định tức là đường thẳng ME cố định. Nên quỹ tích điểm E là nằm trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với OM.
Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn giữa 2 đường tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn . Chứng minh a; b là 2 số chính phương liên tiếp. (1đ SX)
Ý
Đáp án
Điểm
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn
 . Suy ra .
 là số chính phương suy ra a là số chính phương 
Nên đặt a = x2 (x là số nguyên). Khi đó: 
Ta thấy x và (x+1) hoặc (x-1) và x là các số nguyên liên tiếp.
Suy ra: x2 và (x+1)2 hoặc (x-1)2 và x2 là các số chính phương liên tiếp.
Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Ghi chú: Các cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.